книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках
..pdf3.4. Метод квадратур решения интегральных уравнений |
91 |
Уравнение относительно компоненты вектора скорости |
|
V'ci(r), как следует из (3.3.29), является независимым |
и |
может быть решено отдельно от остальных уравнений системы (3.1.39). Следовательно, в рамках гипотезы тонкого слоя в линеаризованной постановке поперечное и вращательное движения не оказывают влияния на продольное движение твердого тела.
3.4. |
Метод квадратур численного решения |
интегральных уравнений. Движение твердого шара |
|
Соотношение (3.1.39) представляет собой систему инте гральных уравнений Вольтерра II рода, его численное решение не требует регуляризации и может быть найдено методом квад ратур [14].
Рассмотрим численный алгоритм решения следующей задачи
на отрезке времени [О, Т\. |
|
|
|
|
|
|
V (т) + |
A ( r - i ) - V ( i ) d i |
= X (r); |
(3.4.1) |
|||
о |
|
|
|
|
|
|
|
V (0) = V0, |
|
|
(3.4.2) |
||
|
|
ъ |
|
|
|
|
А (т) = |
G(C‘, т)В |
С1 |
di, |
|
||
|
|
|
|
|
|
(3.4.3) |
X (r) = V о+ |
F ( t ) d t+ |
H (r,t)dt; |
|
|||
|
|
о |
|
|
о |
|
|
b |
2тт |
|
|
|
|
F (£) = | d£l | Ф1(C U 2,* ) ^ 2, |
|
|||||
|
a |
0 |
|
|
|
|
b |
|
2TV |
|
|
|
|
H (r , t) = \G (z i, T - t ) d t i |
Ф2( ^ , ^ , т 2. |
(3.4.4) |
||||
Функция влияния (^(^^т) задается формулами (3.1.31), |
||||||
(3.1.32), а компоненты |
матриц А (т), |
В |
£' и векторов F (t), |
|||
H (r,f), |
(к |
= 1,2) |
удовлетворяют |
следующим |
||
92 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде
условиям:
А (т) = (aij(T))nxn , в |
с1 = |
М С 1) |
||
|
|
|
|
п х п |
F ( t ) = (f \ ( t ), |
f n ( t ) ) T , Н ( r , t ) = ( h i ( r , t ) , |
. . . , h n ( T , t ) ) T , |
||
< м с и 2д) |
= v5fc)(c1, c2,*).......^kfe)(c1, c2, * ) T - |
|||
|
|
|
|
(3.4.5) |
aij(T) E C ([0,T]), bi:j(Cl)eC([a,b}), |
fi(t) |
€ C ([0,T ]), |
||
|
hi(r,t) eC([0,T] |
x [0,T}), |
|
|
Vi(£l, t 2,t) G C([a,b] x [0,2тг] x [0, T ]), i,j = l,n , /s = 1,2.
Будем искать решение системы интегральных уравнений (3.1.39) с начальными условиями (3.1.44) на отрезке [0, Т]. Для этого введем на [0,Т] конечно-разностную сетку Т/у
u>h= Ti G [0, Т];тг = ih, i = 0, M , h = T / M , (3.4.6)
где М — количество отрезков разбиения; h — постоянный шаг по времени.
Ядро А (т) (3.4.5) интегрального уравнения (3.4.1) непрерыв но на отрезке [0, Т], и, следовательно, интеграл по i в (3.4.1) может быть приближенно вычислен с помощью квадратурных формул Ньютона-Котеса [14]:
т£ |
к |
+ 0 ( h n), |
А (тк - t ) ■V (t) dt = h |
S3iA(k~*> • V « |
|
|
i=o |
(3-4.7) |
A ^ = A (rj), |
V (i)= V ( n ) , |
|
где fit — коэффициенты квадратуры [14]; степень n определяется
порядком квадратурной формулы. |
и одномерных интегралов |
|||||
Для вычисления |
двумерных |
|||||
(3.4.3), (3.4.4) по областям fii = |
[о, Ь] и |
£^2 |
— [о, Ь] х [0,2-тг] |
|||
введем пространственную сетку шуу,: |
|
|
||||
^6162 |
Cn> Cm |
^ ^ ’ |
Cra |
TlS\, |
ТГ182, |
|
____ |
____ |
, S\ = |
|
|
|
(3.4.8) |
п = 0, N \, |
m = 0, N 2 |
(a — b )/N \, |
82 = |
2TT/N 2- |
||
Здесь N\ и N2 — количество участков разбиения по координатам и ( 2 соответственно; 8{ — шаги по пространственным перемен
ным.
3.4. Метод квадратур решения интегральных уравнений |
93 |
Аппроксимируем интегральные операторы (3.4.3) и (3.4.4) кратными и одномерными квадратурами Ньютона-Котеса [14]:
N\
А « |
= |
' P j G ^ B j + 0(5\y, |
(3.4.9) |
||
|
Ni |
|
з=о |
|
|
F (fc) = 5\8c |
JV2 |
|
|
||
|
|
a a Л {k) |
(3.4.10) |
||
l °2 |
|
|
/Зп/зт ФП™ + ° ( <51 + 52п); |
|
|
n=0 m=0 |
|
|
|||
iVi |
-/V2 |
|
+ 0 (3 f + 8T{), |
(3.4.11) |
|
n=0m=0 |
|
||||
|
|
|
|||
в j = В ( ф , |
F « |
= F(Ti), |
H<fe<>= H (rk, n), |
(3.4.12) |
|
|
|
|
o |
f = G(£j,rk). |
|
|
|
|
|
||
Подставим выражения (3.4.7) и (3.4.9)—(3.4.12) в (3.4.1) и по лучим конечномерную аппроксимацию системы интегральных уравнений (3.4.1) (остаточные члены в квадратурных формулах опущены):
к |
• V w = |
X (fc), |
(3.4.13) |
|
V {k) + h |
||||
2=0 |
|
|
|
|
к N\ |
N 2 |
,£г(*:-г)ф(0 |
||
x W = v 0+/r<M2 |
PiPnPl1 |
|||
1 ,nm + |
T 2,nm |
|||
г=0 тг=0m=0 |
|
(3.4.14) |
||
|
|
|
||
Выражение (3.4.13) представляет собой систему линейных |
||||
уравнений относительно вектора неизвестных |
на к-м шаге |
|||
по времени. Ее решение имеет вид |
|
|
||
_ j |
к—1 |
|
■V w , |
|
V (fc) = Е + Л0кА (О> |
X (fc>- h |
|
||
|
i=0 |
|
(3-4.15) |
|
к = Т7м,
где Е —единичная матрица размерности п х п .
Достоинством полученной разностной схемы (3.4.15) является необходимость однократного обращения матрицы Е + ЛД*А<°>, так как коэффициент квадратурной формулы 0к фактически не зависит от номера шага к. Это связано с тем, что точка тк на каждом шаге является границей отрезка [0, тк], по которому проводится интегрирование.
Помимо вектора обобщенных скоростей V W (3.1.38), иско мым также является вектор обобщенных перемещений U (r),
ЗА. Метод квадратур решения интегральных уравнений |
95 |
||
*11(т) = } /(С 1) |
П а ' ) 2 N - \ e ) G { i \ T ) d e - |
(3.4.19) |
|
X i( r ) = [ p \ { t ) + i > \ { T , t ) ] d t , |
|
||
Ь |
о |
2 л - |
|
|
|
||
Ч>\(т) = —т ~ {| |
P |
^ l, f r ) d ^ 2, |
(3.4.20) |
Ь |
|
2ж |
|
^ i( r J ) = - m " 1|/( C 1) / ,(C1)G'(C1, r - |
i)dC‘J |
. |
|
a |
|
|
0 |
|
|
|
(3.4.21) |
Рассмотрим следующую параметризацию кривой Г и вычис лим геометрические характеристики тела и среднюю кривизну к, входящие в ядро F n (r) (3.4.19):
Г : У1 = |
С1, У2 = /(С 1) = |
1 - (С1)2 - |
С1 е |
[-1,1], |
|
/ ' ( 0 |
= - ^ = , |
/"(€ ') = - |
1 |
|
|
, |
, 3 / 2 ’ |
(3.4.22) |
|||
|
1-СС1)2 |
|
1+(«')2 |
||
|
|
|
|||
Щ 1) = Г 1(£1) = |
1 . k = i . |
|
i - ( F ) 2 |
В силу постоянства средней кривизны Н = 1 функция влияния (?(£*,т) не зависит от пространственной координа ты £* и согласно (3.1.16), (2.3.46) и (3.1.31)
G(C1,r) = Я3(т) = Д з (г ) - 1. |
(3.4.23) |
Вычисляя интеграл (3.4.19), получим выражение для ядра Fn(r):
F n (r) = | д 3(т). |
(3.4.24) |
Для вычисления интегралов (3.4.20), входящих в правую часть уравнения (3.4.18), рассмотрим параметры падающей вол ны. Плоская волна амплитуды р*о с фронтом, перпендикулярным оси Ох 1 и касающимся в начальный момент времени точки А
3.5. Динамика твердых тел вращения в акустической среде |
97 |
по времени до достижения погрешности е = 10_3 в метрике пространства сеточных функций W ^ .
Результаты расчетов приведены на рис. 3.3 для падающей волны давления единичной амплитуды (р*0 =1) . На рисунке представлены временные зависимости для поступательной ско рости шара Vci(r) (кривая 1) и линейного ускорения VC\{T ) (кривая 2). На графике символами «о» также отмечено решение задачи о движении шара в точной постановке, приведенное в ра боте [50]. Необходимо отметить практически полное совпадение результатов точного аналитического решения и подхода, осно ванного на гипотезе тонкого слоя.
3.5. Динамика абсолютно твердых тел вращения под действием акустической волны давления
Рассмотрим ряд задач на определение кинематических пара метров абсолютно твердых тел, ограниченных поверхностями вращения, при действии сферической волны давления [61].
Вначале рассмотрим абсолютно твердый эллипсоид вращения с большой полуосью а = 1 и малой полуосью Ь, помещенный в неограниченную акустическую среду. Ограничимся случаем, когда эллипсоид обладает «нулевой плавучестью» (ро = р), и рас смотрим динамику тела при действии сферической волны дав ления, источник которой находится в точке 0% с координатами
(жю,Ж20,жзо)- Для направляющей Г воспользуемся следующей параметри
зацией:
Г : 2/1 = С1. У2 = / ( с 1) = А
/ ( С 1) = - |
, |
|
l-(C')2 |
I + (A2—щ е1)2
N ( H l)
i - i c 1)2
1 —(С1)2 , |
£‘ €[ - 1,1], |
|||
/ V |
)--------= |
1)2 |
(3.5.1) |
|
|
l - d |
|||
l - d ' f + A 2 |
l + d 1)2 |
|||
2A |
1+ |
A2 - |
1 |
(£‘)2 |
где A = bja = b — отношение полуосей эллипса.
В частном случае А = 1 соотношения (3.5.1) совпадают с (3.4.22) для абсолютно твердого шара.
Массово-инерционные характеристики эллипсоида определя ются с использованием формул (3.3.25) и имеют вид:
т = l^rA2, J\ = у^тгА4, J2 = J 3 = ^тгА2 1+ А2 . (3.5.2)
4 С. И. Жаворонок, М. Ю. Куприков, A. J1. Медведский, Л. Н. Рабинский
98 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде
Без потери общности будем предполагать, что в начальный
момент времени |
т = 0 связанная система координат 0 \у\у2Уз |
и неподвижная |
Ох 1x 2x 3 совпадают, а эллипсоид неподвижен. |
Это соответствует однородным начальным условиям задачи
(3.1.3) и (3.1.5): |
(3.5.3) |
U0 = V 0 = О. |
Рассмотрим воздействие на абсолютно твердое тело сфери ческой волны давления с экспоненциально затухающей ампли тудой. Давление р* и скорость v* в акустической среде в этом случае имеют вид:
|
Р. = Е ^ е -Р О -г2+ с )& (т _ |
Г2 + с ) ; |
(3 5 4) |
||
|
г2 |
|
|
|
|
щ = E zlL |
e - P ( T - r 2+c ) ! _ |
1 |
+ 1 |
0 ( т _ г2 + С), |
|
Г2 |
|
РГ2 |
РГ2 |
|
|
где (3 € |
характеризует интенсивность затухания |
давления |
|||
(имеет размерность с-1); г | = |
(ж* —х ^) (ж* —ж*о) — расстояние |
||||
от источника волны точки О2 с координатами (жщ, ж2о, жзо) до рассматриваемой точки с координатами (жьж2,жз); константа C e l также определяет положение фронта волны при г = 0.
Вектор скорости v* = »,п, = (п* — внешняя нормаль к фронту волны) в базисе е* системы координат 0 Ж1Ж2жз имеет следующие компоненты (г = 1,2,3):
= (ж*/г2) (жi - x i0) . |
(3.5.6) |
Определим константу С в указанных формулах из усло вий касания двух поверхностей: граничной поверхности твердо го тела П (3.3.1) и сферы радиуса С с началом в точке 0 2. Радиус-вектор R* (рис. 3.1) должен быть ортогонален в точке А касательной плоскости к поверхности П, построенной на ковариантных базисных векторах щ и г2:
R* • га = О, R* = ж*(£1,£2) - жщ |
е*, |
ra = daXi{t}, ^2)ej, |
||
£&, |
о; |
1, 2, |
h |
(3.5.7) |
1,2,3. |
||||
Здесь учтено, что в |
силу |
линейности задачи и совпаде |
||
ния неподвижной и связанной систем координат в начальный момент времени координаты радиуса-вектора R* заданы через параметризацию поверхности твердого тела. В скалярном виде соотношения (3.5.7) представляют собой нелинейную систему
