книги / Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Многие задачи гидродинамики, теплообмена и массообмена, с которыми в настоящее время приходится сталкиваться иссле­ дователям и инженерам, не поддаются аналитическому решению,

иединственная возможность их теоретического анализа — полу­ чение численного решения.

Прогресс в разработке численных методов позволил сущест­ венно расширить круг задач, доступных анализу; полученные на их основе результаты используются практически во всех обла­ стях техники. Особенно велика их роль в таких областях, как ракетная техника, авиация, энергетика, в частности ядерная, где численные решения прочно вошли в практику.

Вотечественной литературе указанные вопросы нашли доста­ точно широкое освещение в основном на страницах журналов и сборников. Различные их аспекты содержатся в общих руковод­ ствах по численному решению уравнений в частных производных. Однако монографии, специально посвященные численному решению задач гидродинамики и теплообмена, немногочисленны и в. них рассматриваются в основном решения задач для прогнозирования погоды. Имеющаяся переводная литература 1также не в состоянии ответить на все существующие вопросы.

Можно надеяться, что книга профессора Миннесотского уни­ верситета С. Патанкара (США) будет с интересом встречена читателями. Несмотря на то что она не охватывает даже и части существующих методов численного решения задач гидродинамики

итеплообмена, а посвящена лишь методу, разработанному авто­

ром, многие из идей, содержащихся в книге, будут интересны даже тем читателям, которые предпочтут в своей практике ис­ пользовать другие методы численного решения. Книга насыщена идеями, причем одни из них разработаны достаточно подробно, другие только указаны.

Книга предназначена читателям, которые начинают использо­ вать численные методы в своей работе, однако, по-видимому, она окажется полезной и для тех, кто уже имеет достаточные навыки

1 См., например, Численные методы исследования течений вязкой жидкости/ А. Д. Госмен, В. М. Пан, А. К. Ранчел, Д. Б. Сполдинг, М. Вольфштейн: Пер. с англ. М.: Мир, 1972 г .— 326 с.; Роуч. П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. — 481 с.

3

в этой области. Усвоению материала книги должны способство­ вать задачи, приведенные в конце отдельных глав.

Интересна форма изложения материала. Автор стремится сде­ лать ее как можно более физичной, приводя физическую интерпре­ тацию довольно сложных и абстрактных математических понятий или получая их из простых физических соображений. Он как бы беседует с читателем, вводя его в наиболее простой форме в круг проблем, волнующих автора.

Главы 1 и 2 книги имеют вводный характер и посвящены мате­ матической постановке рассматриваемых задач и общим чертам метода численного решения, развитого в книге. Введение единой формы записи используемых уравнений позволяет развить единый метод их решения, постепенно усложняя его по мере учета отдель­ ных членов общего уравнения, определяющего зависимую пере­ менную. Интересна физическая трактовка параболического или эллиптического характера используемых уравнений. Проводя про­ цесс построения метода, автор стремится показать его тонкости,, которые обычно не рассматриваются, но очень важны при практи­ ческой реализации метода. Примером этого могут служить четыре основных правила (см. гл. 2), лежащих в основе метода. Подход автора может оказаться чрезвычайно полезным и при использо­ вании других численных методов.

Схема построения метода (гл. 3—5) не совсем обычна. Исходя из обобщенной записи исходных уравнений автор начинает с про­ стейшего случая задачи теплопроводности, затем переходит, вводя в рассмотрение конвективные члены, к задаче конвективного теп­ лообмена и к развитию метода на задачи определения поля скорости жидкости. Эта схема позволяет лучше понять общностьтаких переменных, как температура и количество движения, и очень, полезна для понимания и интерпретации результатов расчетов.

Вгл. 6 и 7 приведены дополнительные соображения по прак­ тической реализации метода и рассмотрены некоторые специаль­ ные случаи его использования. Здесь, в частности, проведен численный расчет параболизованных течений и установлена связь предложенного метода с методом конечных элементов. Интересна трактовка схемной вязкости (диффузии), данная автором.

Вгл. 8 показаны результаты расчетов некоторых задач, полу­

ченных рассмотренным методом, которые иллюстрируют его воз­ можности на двухмерных эллиптических, трехмерных параболиче­ ских и трехмерных эллиптических задачах.

Перевод осуществлен И. Г. Зальцманом (Введение, гл. 1, 2,. 6—8) и II. В. Медвецкой (гл. 3—5).

В. Д. Виленский

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 1972 г. я прочитал курс лекций по численному решению задач теплообмена и гидродинамики небольшой группе исследова­ телей в Имперском колледже (Лондон). Затем содержание этого курса в расширенном виде было прочитано аспирантам универ­ ситета в городе Уотсрлу (Канада, 1974 г.), Норвежского техноло­ гического института (Тронхейм, 1977 г.) и Миннесотского универ­ ситета (1975, 1977 и 1979 гг.). В последние два года этот же материал, но в сокращенном виде, представлялся на националь­ ные конференции Американского общества инженеров-механиков. Восторженные отклики на эти лекции побудили меня написать данную книгу, которую можно использовать в качестве учебного пособия для аспирантов, а также как справочник по вопросам чис­ ленного решения задач теплообмена и гидродинамики.

Несмотря на обширную литературу по численному исследова­ нию задач гидродинамики и теплообмена, исследователь, впервые столкнувшийся с данным предметом, испытывает, большие трудно­ сти. Аспиранту, научному работнику и инженеру часто приходится довольствоваться элементарным изложением интересующего их вопроса в книгах по численному анализу. Часто успех или неудача численного расчета определяются на первый взгляд довольно не­ значительными деталями, однако в печати редко появляются со­ ответствующие рекомендации и подробности методик численного решения, успешно применяемые в практике расчетов различными группами исследователей. Это часто приводит либо к отказу от использования численного решения, либо к составлению неэффек­ тивных программ для ЭВМ.

Зная эту ситуацию, я попытался в настоящей книге дать само­ стоятельное, простое и практически полезное изложение предмета. По своему характеру книга является вводной и предназначена всем, кто только приступает к расчетам задач теплообмена и гид­ родинамики, а не специалистам в данной области. При изложении методики численного расчета особое значение придавалось, ско­ рее, физическому смыслу, чем математическим выкладкам. Боль­ шая часть использованного математического аппарата ограничена простой алгеброй. В результате, в то время как содержание книги дает читателю возможность пройти весь путь от математической постановки задачи до современных проблем дальнейшего развития методов численного решения задач гидродинамики и теплообмена,

5

само путешествие происходит среди простых и наглядных физи­ ческих концепций и соображений. При использовании такого под­ хода в процессе изложения данного материала я часто бывал приятно удивлен тем фактом, что студенты не только обучались численным методам, но и начинали лучше понимать соответствую­ щие физические процессы.

Мне приходилось часто использовать численные методы в своей работе. Со временем я стал отдавать предпочтение опре­ деленному классу методов и определенному набору практических рекомендаций, которые частично брал из литературы, а затем усовершенствовал, приспосабливал к рассматриваемым условиям, модифицировал. Таким образом, так как уже была проведена большая (хотя и субъективная) работа по сортировке и анализу имеющихся методов, я ограничил содержание этой книги лишь методами, которые и хочу рекомендовать. Здесь не делается попыт­ ки провести сравнительный анализ всех существующих методов; другие методы упоминаются исключительно редко. Исследователи, работающие в других условиях, могут с успехом отдавать пред­ почтение другим методам.

Для иллюстрации изложенного материала в конце некоторых

из них необходимо использовать ЭВМ. Эти задачи предназначены не для проверки обучающегося читателя, а, главным образом, для расширения и обогащения процесса обучения. В них включены дру­ гие методики и содержится дополнительный материал. Иногда, стремясь облегчить решение, я почти полностью решаю задачу. В таких случаях получение правильного ответа не является основ­ ной целью; читатель должен сконцентрировать свое внимание на смысле, который вкладывался в эту задачу.

Описание численного метода доведено в книге до той стадии, когда читатель может начать составлять программу расчета. Ко­ нечно, читатель должен уметь создавать программы расчета, ко­ торые способны давать результаты, аналогичные приведенным в последней главе книги. В зависимости от стоящей перед иссле­ дователем задачи можно создать множество программ расчета различной общности. Возможно, многие читатели сочли бы полез­ ным включение в данную книгу какой-либо характерной программы расчета. Я рассматривал такую возможность. Однако приведение достаточно общей программы расчета, ее детальное описание и несколько примеров ее использования были бы, по-видимому, на­ столько трудоемкими, что значительно замедлили бы выход в свет этой книги. Поэтому в книге обсуждаются лишь подготовка и отладка программы расчета (см. § 6.4) и помещены многие полез­ ные советы, проверенные на опыте практических вычислений.

В издании этой книги осуществляются желание и мечта, кото­ рые я вынашивал в течение нескольких лет. Еще в 1971 г. про­ фессор Сполдинг и я планировали выпустить книгу такого типа и обрисовали ее предварительный контур. Однако в силу различ-

6

ВВЕДЕНИЕ

В.1. ЦЕЛЬ КНИГИ

Важность процессов теплообмена и гидродинамики. В этой книге рассмат­ ривается решение задач, связанных с тепло-и массообменом, течением жидкости, химическими реакциями и другими процессами, происходящими в элементах технологического оборудования, окружающей среде и живых организмах. Важ­ ность этих процессов очевидна для многих практических задач. Почти все спосо­ бы производства энергии в качестве существенных составляющих включают процессы гидродинамики и теплообмена. Эти же процессы являются определяю­ щими при обогреве и кондиционировании зданий. В основные установки метал­ лургической и химической промышленности входят такие элементы, как топки, теплообменники, конденсаторы и реакторы, в которых имеют место течения жидкостей и газов и теплообмен.

Функционирование самолетов и ракет обусловлено течением газа, тепло­ обменом и химическими реакциями. Теплообмен является лимитирующим фак­ тором при конструировании электрооборудования и электронных схем. С про­

цессами тепломассообмена связано загрязнение окружающей среды. При изме­ нении погодных условий тело человека управляет своим температурным режи­ мом с помощью процессов тепломассообмена.

Необходимость понимания и исследования. Ввиду того что рассматриваемые процессы оказывают такое всеобъемлющее воздействие на человеческую жизнь, мы должны иметь возможность эффективно ими управлять. Эта возможность может быть следствием понимания существа процессов и методологии получе­ ния их количественного описания. Вооруженный этими знаниями конструктор может выбрать из нескольких возможных конструкций оптимальную. С помощью расчета мы имеем возможность выбрать более безопасные и эффективные ре­ жимы работы существующего оборудования. Расчет относящихся к существу процесса явлений помогает нам предугадать и даже контролировать потен­ циальные опасности, такие, как наводнения, штормы и пожары.

Существо расчета. Расчет поведения системы в данной физической ситуации состоит в определении значений соответствующих переменных, описывающих интересующие процессы. Рассмотрим частный пример. Полный расчет процес­ сов в некоторой камере сгорания дал бы нам распределения скорости, давления, температуры, концентраций соответствующих химических компонентов и т. д. в рассматриваемой области: он дал бы также трение, тепловые потоки и потоки массы на ограничивающих камеру сгорания стенках. С помощью расчета можно было бы установить характер изменения любой из этих величин при заданном изменении геометрии, расходов, свойств жидкости и т. д.

8

Назначение книги. Главная цель книги заключается в разработке обобщен­ ного метода расчета тепло- и массообмеиа, течении жидкости и связанных с ними процессов. Среди различных методов расчета многообещающим является численное решение. В этой книге построен численный метод расчета рассматри­

ваемой процессов.

Основная цель книги — построение численного метода, обладающего, насколь­ ко это возможно, наибольшей общностью. Поэтому мы пока воздержимся от принятия каких-либо ограничений, таких, как двухмерность, приближение погра­ ничного слоя и несжимаемость жидкости. В дальнейшем некоторые ограничения будут приняты для упрощения изложения.

В данной книге вкратце обсуждаются математические формулировки урав­ нений, описывающих интересующие нас процессы. Полный вывод уравнений чи­ татель может найти в соответствующих, стандартных учебниках. Предполагается, что математические модели таких сложных процессов, как турбулентность, горе­

щие методы и обсуждать их достоинства и недостатки. Все внимание будет сконцентрировано лишь на тех методах, которые были использованы, разработа­ ны или усовершенствованы автором книги. Ссылки на другие методы будут сде­ ланы только там, где это необходимо для понимания некоторых вопросов.

Важным свойством численных методов, которые будут развиты в этой книге, является то, что они во многом основаны на физических соображениях, а не только на математических выводах. В книге используются простая алгебра и элементарные выкладки. Значительное преимущество такого подхода заключа­ ется в том, что читатель, хотя и изучавший численные методы, получает более глубокое понимание и может взглянуть в глубь лежащих в основе физических процессов. Такое понимание физического смысла очень полезно при анализе и интерпретации численных результатов. Даже если читатель никогда не будет заниматься численным счетом, подобное изучение численных методов позволяет лучше почувствовать физические аспекты теплообмена и гидродинамики, к тому же физический подход снабдит читателя обобщенным критерием, с помощью ко­ торого можно оценить другие существующие в настоящее время численные ме­ тоды и те методы, которые будут разработаны в будущем.

В. 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Характеристики процессов теплообмена и течения жидкости можно опреде­ лить экспериментально и теоретически. Рассмотрим вкратце каждый из этих под­ ходов, а затем сравним их между собой.

Экспериментальное исследование. Часто наиболее надежную информацию о физическом процессе можно получить путем непосредственных измерений. С помощью экспериментального исследования на полномасштабной установке мож­ но определить поведение объекта в натурных условиях. В большинстве случаев такие полномасштабные опыты чрезмерно дороги и часто невозможны. Альтер­ нативой является проведение экспериментов на маломасштабных моделях. Однако полученную информацию необходимо экстраполировать на натурный объект, а общие правила для этого часто отсутствуют. Кроме того, на мало­ масштабных моделях не всегда можно воспроизвести все свойства полномас­ штабного объекта. Это также снижает ценность полученных результатов. На-

9

конец, надо помнить, что во многих случаях измерения затруднены и измери­ тельное оборудование может давать погрешности.

Теоретическое исследование. При теоретическом исследовании определяются, скорее, результаты решения задачи согласно используемой математической мо­ дели, а не характеристики действительного физического процесса. Для интере­ сующих нас физических процессов математическая модель состоит, главным об­ разом, из системы дифференциальных уравнений. Если бы для решения этих уравнений использовались только методы классической математики, то вряд ли удалось бы рассчитать многие имеющие практический интерес явления. На ос­ новании классических работ по теплообмену или гидромеханике можно прийти к выводу, что в аналитическом виде можно получить решения только неболь-

Рис. В.1. Сетка для численного расчета поля температуры

шой части задач, имеющих практический интерес. Кроме того, эти решения часто содержат бесконечные ряды, специальные функции, трансцендентные урав­ нения для собственных значений и т. д., и их числовая оценка может представ­ лять весьма трудную задачу *.

Но уровень развития численных методов и наличие больших ЭЦВМ позво­ ляют полагать, что почти для любой практической задачи можно составить ма­ тематическую модель и провести ее численное исследование. Идею численного

подхода можно показать с помощью рис. В.1. Предположим, что нам надо по­ лучить распределение температуры в изображенной области. Допустим, что для

этого достаточно знать температуру в дискретных точках области. Один из воз­ можных методов ее получения — нахождение значений температуры в узловых

точках сетки, на которую разбивается область, при этом для неизвестных зна­ чений температуры записываются и решаются алгебраические уравнения. Именно

1 Мы не хотим этим сказать, что точное аналитическое решение не имеет практической ценности. Действительно, как будет показано в дальнейшем, не­ которые особенности численных методов можно установить с помощью простых аналитических решений. Кроме того, нет лучшего способа проверки точности численного метода, чем сравнение с точным аналитическим решением. Тем не менее, по-видимому, не вызывает сомнений, что методы классической математики не дают практических путей решения сложных инженерных задач.'

10