книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Г.Г. Кашеварова, Т.Б. Пермякова, М.Е. Лаищева

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬСТВА

В двух частях

Часть 1

Рекомендовано Учебно-методическим объединением РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия

для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Строительство»

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2015

1

УДК 69:519.6(075.8) К31

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор П.П. Гайджуров (Ростовскийгосударственный строительный университет); д-р техн. наук, профессор Н.М. Труфанова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Кашеварова, Г.Г.

К31 Численные методы решения задач строительства : учеб. пособие: в 2 ч. Ч. 1. / Г.Г. Кашеварова, Т.Б. Пермякова, М.Е. Лаищева. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. поли-

техн. ун-та, 2015. – 161 с.

ISBN 978-5-398-01328-3 Ч. 1. – 161 с.

ISBN 978-5-398-01329-0

Изложены основные численные методы, применяемые в практических расчетах строительных объектов и в процессах управления и организации строительным производством. Большинство численных методов, представляющих интерес для спе- циалиста-строителя, легко реализуется в табличном процессоре Excel. Поэтому это программное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ.

Предназначено для студентов-бакалавров по направлению подготовки «Строительство» и может быть использовано студентами других направлений и факультетов, а также инженерами и научными сотрудниками.

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основе учебного пособия – курс лекций «Численные методы решения задач строительства на ЭВМ», читаемый студентам-бакалаврам строительных специальностей в Пермском национальном исследовательском политехническом университете. Это связано с широким внедрением ЭВМ в практику расчетов строительных объектов (конструкций) и в процессы управления и организации строительного производства

Внедрение информационных технологий во все сферы деятельности человека, в том числе и строительную отрасль, позволило рассчитывать стержневые и нестержневые системы (пластинчатые, оболочечные, массивные, комбинированные) на действие самых разнообразных нагрузок (статических, динамических, тепловых и др.), рассматривая их с единых позиций. Современные универсальные программные комплексы позволяют выполнять расчеты не только задач строительной механики, но и других физических явлений, таких как теплопередача, течение жидкостей и газов и др. От расчетчика (пользователя программных комплексов) не требуется детального знания всех математических, вычислительных и компьютерных проблем. Однако ему необходимо иметь представление о том, как математически формулируются эти задачи и что собой представляют численные методы их решения. Без этого трудно рационально выбрать расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов.

Для реализации численных методов на ЭВМ существует множество разнообразных программ и программных комплексов (MathCAD, MATLAB, Maple и др.). Может по-

казаться, что это богатство программного обеспечения из-

3

бавляет специалиста-прикладника от необходимости глубокого знания отдельных разделов математики. Однако, чтобы воспользоваться этим богатством, надо владеть базовыми знаниями высшей математики. Кроме того, каждая программа имеет свою специфику и особенности и, естественно, требует навыков работы и наличия данного программного средства на компьютере.

Табличный процессор Microsoft Excel, изучаемый студентами в курсе информатики, является весьма доступным, постоянно совершенствующимся программным средством, обеспечивающим пользователю возможность самостоятельно решать различные задачи, не прибегая к услугам программиста. Для этого только нужно уметь сформулировать интересующую проблему, как математическую задачу, и выбрать соответствующий численный метод для ее решения. Большинство численных методов, представляющих интерес для специалиста-строителя, успешно реализуется в табличном процессоре Excel. Поэтому именно данное программное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ.

Первая часть учебного пособия включает шесть глав, освещающих аспекты следующих численных методов: ре-

шение нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); вычисление определенного интеграла; аппроксимация (среднеквадратичное приближение);

математическое (линейное) программирование. Теоретический материал снабжен большим количест-

вом примеров, которые носят поясняющий характер.

При изучении данного курса предполагается, что читатель знаком с классическим курсом высшей математики в объеме, соответствующем программе вуза, основами сопротивления материалов и классической строительной механики, а также владеет навыками работы на персональном компьютере в объеме вузовского курса информатики.

4

Учебное пособие предназначено для студентов-бака- лавров строительных специальностей, может быть использовано студентами других факультетов, а также инженерами и научными сотрудниками.

Авторы выражают благодарность доценту кафедры «Строительные конструкции и вычислительная механика» Пермского национального исследовательского политехнического университета С.Г. Кузнецовой за помощь в подготовке практических задач по строительной механике.

5

ВВЕДЕНИЕ

Одной из характерных особенностей нашего времени является широкое применение быстродействующих элек- тронно-вычислительных машин (ЭВМ) в самых различных сферах человеческой деятельности, в том числе и строительной отрасли при решении задач проектирования сооружений или управления строительной отраслью.

Эффективность применения ЭВМ во многом зависит от опыта, профессиональной квалификации и компьютерной грамотности специалиста.

Одной из составляющих компьютерной грамотности на современном этапе является умение формализовать свои профессиональные знания и довести их до алгоритма. Это умение построить математическую модель технического процесса или изучаемого объекта. Знание численных методов, которыми может быть решена та или иная задача. Умение выбрать наиболее рациональный из них и оценить достоверность полученных результатов.

Общие сведения о вычислительном эксперименте

иматематическом моделировании

Внастоящее время широко используется методика исследования сложных технологических проблем, основанная на построении и анализе математических моделей изучаемого объекта с помощью ЭВМ. Такой метод исследова-

ния называют вычислительным экспериментом.

Вычислительный эксперимент (ВЭ) – это техноло-

гии исследования сложных естественно-научных проблем

спомощью вычислительной математики (или решение инженерных задач с использованием ЭВМ).

Схема вычислительного эксперимента отражает основные этапы процесса познания с использованием совре-

6

менных компьютерных технологий и может быть представлена в следующем виде:

Математическая модель – метод (алгоритм) – программа.

Рассмотрим эти составляющие вычислительного эксперимента.

Что же такое математическая модель (ММ)? При ре-

шении задач строительства мы имеем дело с реальными «нематематическими» объектами. Это задачи производственных процессов, задачи проектирования, задачи управления экономикой и др. Объектом исследования может быть как материальное тело (жидкое, абсолютно твердое, деформируемое), так и технологический процесс или процесс управления.

На первом этапе своего исследования инженерустроителю требуется формализовать задачу, т.е. составить ее математическую модель, поскольку по своей природе математические методы можно применять не непосредственно к изучаемой действительности, а лишь к математическим моделям тех или иных явлений.

Математическая модель – это формализованное уп-

рощенное описание объекта исследования с помощью математических понятий (формулы, уравнения и системы уравнений).

Всвоей практической деятельности инженер-строитель сталкивается с множеством вопросов, на которые трудно,

апорой и невозможно получить ответ с помощью натурных экспериментов, которые обычно весьма дороги.

Вэтих ситуациях на помощь приходит особая форма изучения окружающей действительности – математическое моделирование т.е. построение, изучение и прогнозирование поведения исследуемого объекта с помощью математического аппарата.

7

По словам академика АН СССР А.Н. Самарского, «сущность математического моделирования и его главное преимущество состоит в замене исходного объекта соответствующей математической моделью и в дальнейшем ее изучении (экспериментирование с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов» [7].

Основное требование, предъявляемое к математической модели, это адекватность изучаемому объекту или явлению.

Адекватность – это степень соответствия ММ и изучаемого объекта исследования.

Иными словами, модель должна достаточно точно (в пределах допустимых погрешностей) отражать характерные чертыи поведение изучаемогоявления или объекта [12].

Математическая модель представляет собой компромисс между сложностью изучаемого объекта и желаемой простотой его описания. Построение модели требует глубокого знания изучаемого объекта или явления, математической культуры, развитой интуиции.

Успех решения задачи во многом зависит от верного выбора математической модели.

Рассмотрим примеры некоторых простых математических моделей.

Пример. Необходимо определить площадь поверхности стола.

Реальный объект заменяем абстрактной ММ – прямоугольником. И площадь прямоугольника (абстрактного объекта) принимается за площадь реального объекта.

Если провести более тщательные замеры, то модель «прямоугольника» придется отвергнуть и заменить ее либо «четырехугольником», либо какой-то замкнутой поверхностью.

Этот простой пример уже позволяет сделать некоторые выводы.

8

Математическая модель не определяется однозначно. Для одного и того же объекта исследования можно выбрать ту или иную ММ.

Выбор ММ определяется требованием точности.

С повышением точности приходится усложнять мо-

дель.

Рассмотрим еще один пример математической модели из строительной практики.

Задача об изгибе горизонтальной балки длиной L, лежащей на двух опорах х = 0 и х = L, под действием распределен-

ной поперечной нагрузки с линейной плотностью q = q(x). Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб балки у приближенно удовлетворяет

линейному дифференциальному уравнению

[EI (x) y'' ]'' q(x) ,

где EI(x) – жесткость балки при изгибе.

Добавив условия закрепления балки на концах, получим математическую модель в виде краевой задачи.

Внастоящее время построены математические модели и для описания задач экономики, социологии, медициныи др.

Вопрос применимости той или иной ММ к изучению рассматриваемого объекта решается в процессе практики (критерий практики).

Сравнивают различные ММ и выбирают из них ту, которая является наиболее простой и адекватно описывающей изучаемыйобъектс достаточной для практикиточностью.

Вкачестве ММ широко используются всевозможные уравнения (нелинейные, дифференциальные, интегральные

ит.д.), системы описанных выше уравнений, а также неравенства и системы неравенств.

9

Только после построения ММ можно воспользоваться математическими методами для ее изучения и решения.

Численные методы

С помощью математического моделирования решение строительных задач может быть сведено к решению математических задач, для решения которых могут быть использованы такие группы методов, как аналитические и численные.

Аналитические методы (их еще иногда называют

«точными») позволяют выразить решение в виде формул. Построенная математическая модель в редких случаях

допускает аналитическое решение.

Тогда на помощь приходят численные методы во всем их многообразии.

Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной матема-

тики – «Вычислительная математика».

Численные методы (ЧМ) – это методы решения математической задачи, сводящиеся к конечному числу арифметических и некоторых логических действий над числами, то естьк тем действиям, которые может выполнить ЭВМ.

При использовании ЧМ стремятся найти какой-либо процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, так как выполняется конечное число шагов и вычисления обрываются. Такой подход был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости вычислений.

Применение численных методов на базе ЭВМ позволяет решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать. Это расчет пространственных сооружений, структурных конструкций, которые широко применяются

10