книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1

«■= — , тогда е **-ре или

Е

(2-19)

ГТрл деформации стержневой системы, состоящей из п стержней или имеющей п различно нагруженных участка в его материале пакяилнвгется потенциальная энергия, величина которой находится по формуле:

Для призматического бруса с постоянной по длине лроиолыю11 силой выражение (2.20) имеет вил:

ДГ1-/ _ &1гЫА

” 2Е>Л* V '

Удельная потенциальная энергия упругоИ деформации, т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема, будет равна:

2.3 Примеры расч ёт статически определимы! систем растяжения-сжатия

2.3. /. Пример У.

.По оси двухступенчатого стельного стержня приложены силы Л с Э0 к2С, Л=70 кН и /у=ИЮ кН (рис.2.2). Ступени имеют длины 6=25 см, 6=35 ем, 6=49 см. Соответствующие площади поперечных сечений: А>-2 ем1, А>=4 см*.Модуль упругости для

материала стержня А-2-10' МПа.

Построить элюры продольных сил, нормальных напряжении и перемещении.

Решение.

1. Построение эпюры /V, Разбиваем стержень на три участка, границы которых совподают с сечениями, где приложены внешние силы. Знпчениа продольной силы ля каждом участке определяем, пользуясь методом сечснмП.

В сечении 1-1 Лг=Р,=30 к!1. В сечении 2-2 Л*1=Р1-Р1=30-70=- 40 кН. В сечении 3 0 ЛГз=Я,.Ра-^-30-7ОН0ОН5О кП.

По полученным значениям строится эпюра продольных сил (рнс.22).

2. Построение эпюры о. Для вычисления напряженно стержень разбивается на четыре участка. Их. границы определяются не только сечениями, где приложены внешние силы, по н сечениями, где меняются поперечные размеры стержня. Пользуясь эпюрой Л', находим:

<7у =& =: зою ,1а 100.10* Па,

« ^ 1 ^ 1 5 0 |0*Па.

“ V

Проверка прочности стержня на наиболее напряженном

участке: сЬив !5ЙМПа<Й*210 МПа.

По полученным результатам строим эпюру нормалы» напряжений.

3.Построение эпюры перемещений Л.

Определение перемещений начинаем от заделки, где око равно 0. Перемещение произвольного сечения но расстояние г равно абсолютному удлинению части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой.

Так, перемещение произвольного сечения на третьем участке

может быть вычислено по формуле иг(1)= —8— .

Е'Л;

Это есть уравнение наклонной прямой, так кок мъ линейно зависит от переменной г при прочих постоянных для дали ого участка параметрах.

Перемещение сечения О относительно заделки равно абсолютному удлинению участка ЕЕ

6010* 20-КГ2

1,5 1 0 м =0,15 мм.

2Ю *-10в -41<Г

Перемещение сечения С относительно заделки складывается из абсолютного укорочения участка СО и удлинения участка ОЕ

Решение.

I. Определяем усилие, возникающее а тяге ВО под действием приложенной нагрузки. Мысленно рассекаем тягу ОД действие отброшенной верхней части заменяем внутренним усилием Л/м (рис.2.4). Составляем уравнение равновесия системы в. виде суммы моментов, действующих на нес сил относительно точки С.

Тшс = О

-вО-ОД-О^+Л/до •! -51Г130* = о;

30,0-0,8-0,4 = 51,2кН.

0,5-1

Положительный результат означает, что стержень ВО растягивается.

2.Условие прочности для тяги ВО имеет вид:

Так как напряжение в тяге меньше расчетного сопротивления прочность тяги ВОобеспечен а.

3. Для определения перемещения точки Л найдем удлинение Д{ тяги ВО к построим план перемещения данной системы, т.с. покажем положение стержневой системы после приложения нагрузки.

Удлинение тяги ВО равно:

План перемещения показан на рис.2.5.

При построении плана перемещения полагаем, что в точке В тяга не соединяется с жестким стержнем АС. Тогда тяга удлинится ни величину Д1. Для того чтобы наЛтн новое положение точки В, которая одновременно должна находится на продолжении тяги и вместе с жестким стержнем перемещаться по дуге радиусом СВ вниз, надо радиусом ОВ+ДГ и радиусом СВ произвести засечки. На основании допущения о том, что перемещения точек тела, обусловленные его упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами самого тела, заменяем дуги перпендикулярами к соответствующим стержням. Тогда отрезок /ДО| будет искомым перемещением точки В, а отрезок АЛ\ есть

(&САЛ1'вАСВВ1) получим перемещение точки Л.

Отрицательное значение усилия Мле указывает на то, что стерженьке' испытывает сжатие.

2. Подбираем из условия прочности размеры стержней.

Принимаем в соответствие с таблицей нормальных размеров (см. страницу 39) г/=45 мм. Площадь стержня ВС

^ г - ^ . 5.9 см!.

5) Дни стержня АС

>М.** 266,7-101

Я= 210 10' *1,27-10'* и1 -12,7см1.

Всоответствии с сортаментом на двутавровые балки па

ГОСТу 8239-72 принимаем двутавр № 12 с /1=14,7 см1.

3. Находим изменение длины каждого стержн п)Удлинс11не стержня ВС

4.Определяем перемещение узловой точки С.

План перемещения представлен на рнс.2.8. Для определения перемещения узла С положим, что стержни в узле С ив соединены между собой. Тогда стержень ВС удлинится на величину Д1дс, н стержень АС укоротится на величину Л^>. Новое положение узла С (точка С,) определится как точка пересечения перпендикуляров к стержнем ВС и АС, проведенных из конца стержней ВС+Мк и АС-А(ас (вместо дуг радиусов ВС+Л.(вс н АС-Мас)> Из схемы

- Дв проведем из точки О перпендикуляр ив продолжение стержня ВС. Тогда удлинение можно представ1гть как разность отрезков СМ - СМ - Л'Д/ или Д/Л*- Дя -ьша - Аг ссиа, откуда

2.3.4.Пример 4*

Подобрал» площади поперечных сечеииП стержне (I статически определимой системы (рис. 2.9).

Исходный данные: Р м 1бОкН; / = 2м; л = 1,5м; 6 = 1ц.

Стержни 1.2 имеют двутавровые сечения, стержень 3 изготовлен из швеллера. Расчетное сопротивление материала стержней равно Л53 210 МГГа, модуль упругост 5=2-10*Ша.

Решение.

нормальные усилия в стержнях мер» нагрузку Р. Для этого каждый

П рассматриваемом примере нормальные силы

проще всего определяется из нижеприведенных уравнений равновесия.

/Vм части Л стержневой системы (см. рис. 2.10)

= ^(л+6)-У,6япв = Р-2,5 -Х,151па =0,

Из рис. 2.9 |6о = я 0,б67;л = ЗЛ,7л;

5«пл = 0,55; следовательно

Проверим правильность вычисления нормальных сил. вычислив сумму моментов относительно точки В (рио.2,10):

-N,4.5+ N,31(10• 2.5- М$тр• I = -1,06? • 4.5+4.5Р.0.55• 2,5- 2Р 0,7I*1»

-4.77Я+6.187Р-1.42Р = О

Таким образом, уравнение равновесия удовлетворено, и нормальные силы выражены правильно:

N. «1.0€Рш 170кП; ДГ, « 2Р- Э20*П; У, = 4.5Г = 720*11.

(2.25)

3. Из условий прочности стержней, составляющих стержневую систему, определяем площади поперечных сечений.

Для первого стержня:

а, = & х А,откуда Ах2 ^ = — ° '10 = (МП-КГ3иг = ВЦси2

Ал 21010*

Подбор двутавра сводится к выбору из таблиц сортамента номера с ближайшей большей площадью сечения. Таковым являете! двутавр №10 с Ах■ 12см3,

Для второго стержня:

Этой площади соответствует швеллер Х*27, у которого площадь сечения л, =35.3си2.

Определяем изменения длины каждого стержня.