книги / Сборник задач по физике.-1

Полная средняя кинетическая энергия молекулы

<εi> = 2i kT ,

где i – число степеней свободы молекулы. 2. Внутренняя энергия идеального газа

U = mµ 2i RT = mµ CV T . 3. Теплоемкость тела Ст = ddQt .

Удельная теплоемкость c = mdQdt .

Молярная теплоемкость C = dQ = µ dQ .

νdt m dt

4.Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сV)

ипостоянном давлении (ср):

cV = 2i Rµ , cp = i +22 µR .

Связь между удельной и молярной теплоемкостями

с = С , С = сµ.

Уравнение Майера

Cр – CV = R. 5. Работа расширения газа:

V2

A = ∫ pdV – в общем случае;

V1

А = р(V2 – V1) – при изобарном процессе;

6. Первое начало термодинамики

Q = ∆U + A,

61

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); ∆U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

7. Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной системе (∑Qi = 0). Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

8.Термический КПД цикла

η= Q1 −Q2 , Q1

где Q1 – теплота, полученная рабочим телом от теплоисточника; Q2 – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

9. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)

η= Q1 −Q2 = T1 −T2 , Q1 T1

где Т1 и Т2 – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

10. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

2 dQ

S 2 − S1 = ∫1 T .

62

Примеры решения задач

№ 1. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

где i – число степеней свободы молекулы газа; µ – молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) i = 3 и µ = 20 10–3 кг/моль. Вычисляя по формулам (1) и (2), получим

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и µ = 2 10–3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим

cр = 2 2 10−3 = 1,46 10 Дж/(кг К).

№2. Вычислить удельные теплоемкости сV и cp смеси неона и водорода, если массовая доля неона ω1 = 80 %, массовая

доля водорода ω2 = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера. 4

63

Р е ш е н и е.

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме сV найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ∆T, выразим двумя способами:

где cV,1 – удельная теплоемкость неона; cV,2 – удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части уравнений (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ∆T, получим

cV (m1 + m2 ) = сV,1m1 + cV,2m2,

откуда

где ω1 и ω2 – массовые доли неона и водорода в смеси,

Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем

сV = (6,24 · 102 · 0,8 + 1,04 · 104 · 0,2) = 2,58 · 103 Дж/(кг·К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

Подставим в формулу (5) числовые значения величин:

ср = (1,04 · 103 · 0,8 + 1,46 · 104 · 0,2) = 3,75 · 103 Дж/(кг·К).

64

№ 3. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3 = 0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу.

Р е ш е н и е.

Изменение внутренней энергии газа выражается формулой

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5); µ – молярная масса.

Начальную и конечную температуры газа найдем из урав-

= 3 м3, р1 = р2 = 0,2 МПа = 2 105 Па, р3 = 0,5 МПа = 5 105 Па.

Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим

Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него, находим

65

∆U = 52 328,3110−3 2(2887 −385) = 3,24 106 Дж = 3,24 МДж.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

A = R mµ ∆T.

Подставляя числовые значения величин, получим

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна А = А1 + А2 = 0,4 106 Дж.

Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы А; Q = ∆U + А, следовательно, Q = 0,4 106 + 3,24 106 =

=3,64 106 Дж = 3,64 МДж.

№4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем

был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах.

Р е ш е н и е.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа

γ = 1,4),

66

n1 = V2/V1 = 5.

Отсюда получаем выражение для конечной температуры

T2 = nTγ1−1 .

1

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

Т2 = 53001,4−1 ≈ 1,91300 ≈157 К.

Работа A1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

A1 = mµ CV (T1 −T2 ) = mµ 2i R(T1 −T2 ),

где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив числовые значения величин R = 8,31 Дж/(моль К)

и i = 5 (для водорода как двухатомного газа), µ = 2 10–3 кг/моль, m = 0,02 кг, T1 = 300 К, T2 = 157 К в правую часть последней формулы, получим

А1 = 0,02 5−38,31 (300 −157) ≈ 2,98 104 Дж. 2 10 2

Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

где n2 = V2/V3 = 5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим

А2 = 20,0210−3 8,31 157ln 15 ≈ –2 104 Дж.

Знак «минус» показывает, что работа при сжатии совершается над газом внешними силами.

67

№ 5. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1 = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Р е ш е н и е.

Термический КПД тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

η= A ,

Qн

где Qн – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

лить температуру охладителя

Т2 = Т1(1 – η).

Подставив в эту формулу полученное значение КПД и температуру T1 нагревателя, получим

Т2 = 500 · (1 – 0,35) К = 325 К.

№ 6. Найти изменение ∆S энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t1 = 0 °С до температуры t2 = 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

68

Р е ш е н и е.

Найдем отдельно изменение энтропии ∆S′ при нагревании воды и изменение энтропии ∆S′′ при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой ∆S′ и ∆S′′.

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим

∆S′ = mcln T2 .

T1

Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг;

Т1 = 273 К; T2 = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.

После вычислений найдем

∆S′ = 0,1 4190 ln 373273 =131 Дж/К.

При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т2 выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

69

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим

Произведя вычисления по формуле (3), найдем

∆S′ = 2,26 106 0,1 = 606 Дж/К. 373

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

∆S = ∆S′+ ∆S′′ = 737 Дж/К.

70