книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем.-1

Принадлежность элемента к нечеткому подмножеству можно

обозначить следующим образом: x1 A, x2 A, x4 A. Эти обозна-

0,2 0 1

чения могут быть истолкованы следующим образом:

–x2 не принадлежит к А ( А(x2) = 0));

–x1 в небольшой степени принадлежит к А ( А(x1) = 0,2));

–x4 принадлежит к А ( А(x4) = 1)).

Возвращаясь к обозначениям теории множеств, можно говорить, что

– эквивалентно , – эквивалентно .

Определение: Пусть Е – множество, счетное или нет, и х – элемент Е. Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар {(x| A(x))} x E, где A(x) – ха-

рактеристическая функция принадлежности, которая принимает свои значения во вполне упорядоченном множестве М и указывает вероятность принадлежности элемента х подмножеству А. Множест-

во М будем называть множеством принадлежностей.

Если М = {0,1}, то нечеткое подмножество А переходит в «обычное» четкое подмножество.

Приведем несколько примеров.

Пример 1.3. Запишем нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных данному действительному числу n, где n R (R – множество действительных чисел):

А = {…(n – 1|0,8), (n – 0,5|0,9), (n|1), (n + 0,5|0,9), (n + 1|0,8)…}.

Пример 1.4. Пусть N – множество натуральных чисел,

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}.

Рассмотрим нечеткое подмножество «небольших» натуральных чисел:

А = {(0|1), (1|0.8), (2|0,6), (3|0,4), (4|0,2), (5|0), (6|0)…}.

31

Разумеется, µA(x) в этих примерах задается субъективно. Последнее выражение можно переписать в виде

0 A, 1 A, 2 A, 3 A, … .

1 0,8 0,6 0,4

1.4.3. Отношение доминирования

Рассмотрим два упорядоченных набора из n чисел: ν = (k1, k2, k3,…, kn) и ν′ = (k1′, k2′, k3′, … kn′), в которых ki и ki′ принадлежит к одному и тому же вполне упорядоченному множеству K. Отноше-

ние порядка на K будем обозначать через знак ≥.

Будем говорить, что ν′ доминирует над ν, и записывать

только тогда, когда

k1′≥ k1, k2′≥ k2, k3′≥ k3, … kn′≥ kn.

При этом знак ≥ обозначает нестрогий порядок, а знак > – строгий порядок. Так, если записано

то это говорит об отношении строгого доминирования.

Пример 1.5. Пусть заданы 3 упорядоченных набора: u = (7, 3, 1, 5),

v = (2, 2, 0, 4), w = (3, 4, 1, 4).

Очевидно, что u ≥ v, так как 7 > 2, 3 > 2, 1 > 0, 5 > 4. Также u > v, поскольку каждый из vi меньше ui. Однако u и w несравнимы.

С технической точки зрения очень часто наибольший интерес представляет последний случай, когда из двух или нескольких вариантов построения системы ни один не имеет явных преимуществ [4].

32

В такой ситуации пользуются дополнительными критериями, позволяющими провести обоснованный выбор, как это будет показано

вподразд. 2.5.

1.4.4.Простейшие операции над нечеткими множествами

Включение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Будем говорить, что А содержится в В, если x E B(x) ≥ A(x), и обозна-

чать эту операцию А В.

Пример 1.6. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4}, 0 ≤ M ≤ 1, А = {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)},

B= {(x1|0,3), (x2|0), (x3|0), (x4|0)}.

Всоответствии с определением В А.

Равенство: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Будем говорить, что А и В равны тогда и только тогда, когда x E B(x) = = A(x).

Пример 1.7. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4}, 0 ≤ M ≤ 1, А = {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)},

B= {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)}.

Всоответствии с определением В = А.

Дополнение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Скажем, что А и В дополняют друг друга, если x E B(x) = 1 – A(x).

Пример 1.8. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4}, 0 ≤ M ≤ 1, А = {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)},

33

B= {(x1|0,6), (x2|0,8), (x3|1), (x4|0)}.

Всоответствии с определением В = A или А = B . Пересечение: пусть Е – множество, М – множество принад-

лежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Пересечение А ∩ В определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

Пример 1.10. Если А – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, и В – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10,

А = {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1) ), (7,5|0,5)}, B = {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},

34

Объединение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Объединение А В определяют как наименьшее нечеткое подмножество,

Пример 1.11. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4, x5}, 0 ≤ M ≤ 1, А = {(x1|0,2), (x2|0,7), (x3|1), (x4|0), (x5|0,5)}, B = {(x1|0,5), (x2|0,3), (x3|1), (x4|0,1), (x5|0,5)},

тогда А В = {(x1|0,5), (x2|0,7), (x3|1), (x4|0,1), (x5|0,5)}.

Пример 1.12. Если А – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, В – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10,

А = {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1) ), (7,5|0,5)}, B = {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},

то А В – нечеткое подмножество действительных числе, очень близких к 5 ИЛИ 10. Тогда А ∩ В = {(9|0,8), (6|0,8), (5|1), (10|1), (7,5|0,5)}.

1.4.5. Расстояние Хэмминга

Для определения того, насколько далеко отстоят друг от друга разные подмножества, существует несколько подходов, задействующих разные метрики. Наиболее распространенным является определение количества мест, в которых отличаются эти упорядоченные подмножества (кортежи, вектора), с учетом того, насколько далеко

35

каждый элемент одного подмножества отстоит от соответствующего элемента другого упорядоченного подмножества. Это и будет расстояние Хэмминга.

Для двух упорядоченных подмножеств одинаковой размерности расстояние Хэмминга представим в виде

i=1

т.е., расстояние Хэмминга равно сумме по всем элементам подмножеств модулей разности функций принадлежности для каждой пары элементов из этих подмножеств.

Пример 1.13. Рассмотрим два упорядоченных четких подмножества А и В, принадлежащих множеству Е = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}.

Пусть A = {x1, x4, x6}, B = {x2, x6, x7}, в иной форме A = {(x1|1), (x2|0), (x3|0), (x4|1), (x5|0), (x6|1), (x7|0)}, B = {(x1|0), (x2|1), (x3|0), (x4|0), (x5|0), (x6|1), (x7|1)}.

Для этих четких подмножеств А и В

d(A, B) = |1– 0| + |0 –1| + |0 – 0| + |1– 0| + |0 – 0| + |1– 1| + |0 –1| = 4.

Более сложные понятия теории нечетких множеств для рассмотрения проблем надежности технических систем и технической диагностики в данном учебном пособии задействованы не будут.

Выводы

Данная глава имеет двоякую цель.

Во-первых, она знакомит читателя с понятием надежности

исоставными частями надежности, рассматривает виды надежности

иформулирует понятие отказа.

Во-вторых, она позволяет читателю освежить в памяти сведения из математики, которые понадобятся для усвоения последующих разделов книги. В главе рассматривается два математических аппарата.

36

Первый из них – аппарат теории вероятности. Поскольку этот предмет достаточно хорошо знаком каждому инженеру, приводятся только основные сведения, непосредственно используемые в учебном пособии.

Второй – это аппарат теории нечетких множеств. Теория нечетких множеств в последнее десятилетие получает широкое распространение применительно к техническим системам, поэтому авторы сочли необходимым более подробно остановиться на элементах этой теории, сопроводив приводимые понятия комментариями и примерами. В результате читатель из данной главы может получить сведения, необходимые для усвоения материала о теории нечетких множеств, используемого в данном учебном пособии.

Вопросы и задания

1.Сформулируйте определение надежности.

2.Перечислите составные части надежности.

3.Что такое отказ?

4.Какие существуют виды классификации отказов?

5.Одинаковы ли показатели надежности для восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов?

6.Что такое частота случайного события?

7.Чем случайная величина отличается от случайного собы-

тия?

8.Какие существуют законы распределения для случайной величины?

9.Что показывает математическое ожидание?

10.Что показывает дисперсия?

11.Если значения случайной величины: 8, 10, 12, то чему равны математическое ожидание и дисперсия?

12.Как определяются надежностные характеристики системы, если известны надежностные характеристики составляющих ее элементов и эти элементы соединены последовательно?

37

13.Как определяются надежностные характеристики системы, если известны надежностные характеристики составляющих ее элементов и эти элементы соединены параллельно?

14.Является ли корректным следующее представление нечеткого подмножества «небольших» натуральных чисел:

А= {(0|1), (1|0.6), (2|0,7), (3|0,4), (4|0,8), (5|0), (6|0)…}.

15.Какие операции наиболее часто употребляются для четких множеств?

16.Как определяется понятие принадлежности для нечеткого множества?

17.Приведите пример нечеткого подмножества.

18.Как определяется операция «включение» для нечетких множеств?

19.Как определяется операция «пересечение» для нечетких множеств?

20.Как определяется операция «объединение» для нечетких множеств?

21.Какова мера для определения того, насколько далеко отстоят друг от друга разные подмножества?

Список литературы

1.Денисенко В.В. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием. – М.: Горячая линия-

Телеком, 2009. – 608 с.

2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: КноРус, 2010. –

664 с.

3.Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. – М.: Радио и связь, 1982. – 432 с.

4.Батыршин И.З. Основные операции нечеткой логики и их обобщения. – Казань: Отечество, 2001. – 100 с.

38

2.НАДЕЖНОСТЬ АППАРАТУРНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Сточки зрения теории надежности все объекты делятся на вос-

станавливаемые и невосстанавливаемые. Показатели надежности и методика расчета надежности для этих объектов принципиально различается.

2.1. Надежность невосстанавливаемых систем без резервирования

2.1.1. Показатели надежности невосстанавливаемых объектов

Технические системы, их подсистемы и элементы систем могут работать в режиме, когда восстановление со стороны ремонтного персонала возможно, и в режиме, когда это невозможно либо нецелесообразно. Поэтому для восстанавливаемых и для невосстанавливаемых элементов и систем применяются различные показатели надежности и различные методы расчета надежности.

1.Вероятность безотказной работы объекта P(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект не откажет к моменту времени t.

2.Если F(t) – вероятность того, что невосстанавливаемый объект откажет к моменту времени t , то P(t) = 1 – F(t).

P(t) обладает следующими свойствами:

а) P(0) = 1 (предполагается, что до начала работы изделие является безусловно работоспособным);

б) lim P(t) = 0 (предполагается, что объект не может сохранить

t→∞

свою работоспособность неограниченно долго);

в) если t2 > t1, то P(t2 ) ≤ P(t1 ) (вероятность безотказной работы – функция невозрастающая).

Статистически определить P(t) по результатам испытаний можно с помощью следующей формулы:

39

где N(t) – число исправных объектов в момент времени t; N(0) – число исправных объектов в начальный момент времени.

2. Вероятность безотказной работы в интервале времени от t1

3. Вероятность отказа Q(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект откажет к моменту времени t:

где N(t) – число исправных объектов в момент времени t; n(t) – число отказавших объектов к моменту времени t.

4. Вероятность отказа в интервале времени от t1 до t2:

ни ∆t, так как функция f (t) является дифференциальной:

40