книги / Численный расчёт стержневых систем

Если перемещения узлов найдены, то для любого конструктив-

ного элемента будет известна матрица v(e) перемещений в общей системе координат. Применяя формулу (1.7), можно найти узловые

перемещения элемента в местных координатах v = λv(e) , а по фор-

муле P = kv + P0 вычислить узловые силы, действующие на эле-

мент.

Мы рассмотрели случай, когда конструкция закреплена на опорах. Если система свободна, то непосредственно из уравнения (3.1) перемещения найти нельзя, так как матрица жесткости k для всей конструкции является вырожденной. Действительно, силы, действующие на свободную конструкцию, не могут быть произвольными; они должны удовлетворять уравнениям равновесия всей системы в целом. Таких уравнений будет 6 для пространственной и 3 для плоской стержневой системы. Таким образом, в случае пространственной конструкции 6 элементов матрицы P − P0 в уравне-

нии (3.1) определяются через остальные элементы, являясь некоторыми линейными комбинациями последних. Но тогда и соответствующие 6 элементов матрицы-столбца kv будут также линейными комбинациями остальных. Это говорит о том, что строки матрицы жесткости связаны между собой линейными зависимостями. Определитель подобной матрицы равен нулю, т.е. матрица жесткости для свободного тела является вырожденной.

Это обстоятельство математически отражает тот факт, что перемещения свободного тела не определяются однозначно действующими на него силами, поскольку оно может получить произвольное перемещение в пространстве как жесткое тело (т.е. без деформации). Перемещение системы как жесткого целого можно устранить, закрепив ее статически определимым образом. В случае пространственной конструкции мы должны наложить 6 соответствующим образом ориентированных связей, а в случае плоской – 3. Дальнейший расчет выполняется так же, как и в случае закрепленной конструкции.

51

Изложенный метод расчета стержневых систем носит название матричного метода перемещений. В нем в качестве основных неизвестных принимаются перемещения узлов. Процедура матричного метода перемещений не зависит от того, является ли система статически определимой или неопределимой. Причем чем больше внешних связей наложено на систему, тем ниже порядок разрешающей системы уравнений (3.8), так как количество неизвестных в ней равно числу элементов матрицы vα.

В заключение отметим, что для решения системы линейных алгебраических уравнений (3.8) могут быть использованы различные методы, как точные, так и итерационные. Чаще всего применяется одна из разновидностей метода последовательного исключения неизвестных (метода Гаусса). Для достижения необходимой эффективности решения должны учитываться такие специфические свойства матрицы жесткости, как симметрия и ленточная структура.

52

4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

4.1. Расчет плоской фермы

Ферменная конструкция (рис. 4.1, а) состоит из трех стержней, каждый из которых одним концом закреплен неподвижно, а другим связан шарнирно с остальными стержнями. К свободному узлу приложена горизонтальная сила S, направление которой указано на рисунке. Компоненты узловых сил и перемещений перенумеруем последовательно, как показано на рис. 4.1, б (цифры у стрелок означают узловые неизвестные, цифры в скобках – элементы, цифры в кружках – узлы). Площади сечений F и модули упругости E всех трех стержней примем одинаковыми. Поскольку узлы 1, 3 и 4 неподвижны, матрица неизвестных перемещений будет содержать всего две компоненты:

vα = vv3 .4

Матрица сил

Матрица kαα , связывающая vα и Pα, имеет вид

k= k33 k34 .

ααk43 k44

Для отыскания элементов этой матрицы рассмотрим прежде всего жесткостные характеристики стержней в местных координатах. Для определенности будем принимать, что местная ось x на-

правлена от узла с меньшим к узлу с большим номером.

53

Длины всех стержней, а также косинусы углов между местными и общими осями находим по формулам (1.15), получаем сле-

Используя полученные значения λxx , λxу, выпишем матрицы λ0 для каждого стержня в соответствии с (1.20):

Применяя формулы (1.18) и (1.19) к каждому стержню, получаем матрицы жесткости отдельных элементов в общей системе координат:

Наконец, сформируем матрицу kαα. Для этого просуммируем

соответствующие элементы матриц жесткости отдельных стержней, стоящие на пересечении строк и столбцов с индексами 3 и 4. В результате получим:

55

Наконец, по формуле P = kv вычисляем узловые силы, действующие на каждый стержень вдоль его оси:

Как видно на рис. 1.6, а, для растянутого стержня первый эле-

мент матрицы P является отрицательным, а второй – положительным, и наоборот. Таким образом, стержни 1 и 2 сжаты, а стержень 3 растянут; осевые силы в этих стержнях равны соответственно –

0,615S, –0,175S и 0,633S.

4.2. Расчет многоопорной балки

Многоопорная балка постоянной жесткости (рис. 4.2, а) нагружена сосредоточенным моментом M0 . Момент инерции сечения балки относительно оси z равен Jz ; ось y совпадает с одной из главных осей инерции поперечного сечения.

Вданном случае имеет место изгиб балки в плоскости xy,

ив каждом узле достаточно рассмотреть два перемещения – вертикальное и угол поворота. Узловые перемещения перенумеруем последовательно в соответствии с рис. 4.2, б. Неизвестными являются

углы поворота v4 , v6 , v8; все остальные перемещения равны нулю.

57

Рис. 4.2

Таким образом, матрица неизвестных узловых перемещений имеет вид

v4 vα = v6 .

v8

Матрица сил, действующих в направлении перемещений vα,

Поскольку внеузловые силы отсутствуют, матрицы Pα и vα связаны соотношением

Pα = kααvα,

где

k44 k46 k48 kαα = k64 k66 k68 .

k84 k86 k88

Для вычисления коэффициентов матрицы kαα рассмотрим

сначала отдельные элементы балки в местных осях координат (рис. 4.3, а). Поскольку рассматриваются лишь перемещения изгиба в плоскости xy, матрицы узловых сил и перемещений каждого эле-

мента совпадают с Pb и vb:

58