книги / Теоретические основы автоматизированного управления.-1
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания к практическим занятиям
2-е издание, стереотипное
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2020
Составители: Р.А. Файзрахманов, И.Н. Липатов
УДК 681.3 Т 338
Рецензент:
канд. техн. наук, доцент Е.В. Долгова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)
Теоретические основы автоматизированного управления : ме-
Т338 тод. указания к практическим занятиям / сост. Р.А. Файзрахманов, И.Н. Липатов. – 2-е изд., стереотип. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2020. – 83 с.
ISBN 978-5-398-02427-2
Приводятся методические указания к 15 практическим занятиям по курсу «Теоретические основы автоматизированного управления». Каждое практическое занятие включает в себя краткие теоретические сведения, иллюстрируемые решением типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления» дневного и заочного обучения.
УДК 681.3
ISBN 978-5-398-02427-2 |
© ПНИПУ, 2020 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Практическое занятие №1. Определение математического |
|
ожидания, дисперсии, корреляционной функции ........................................... |
4 |
Практическое занятие №2. Определение вероятностных |
|
характеристик интеграла от случайного процесса.......................................... |
7 |
Практическое занятие №3. Определение вероятностных |
|
характеристик производной от случайного процесса..................................... |
9 |
Практическое занятие №4. Определение спектральной плотности |
|
по корреляционной функции........................................................................... |
11 |
Практическое занятие №5. Определение дисперсии |
|
случайного процесса на выходе динамической системы.............................. |
13 |
Практическое занятие №6. Формирующие фильтры.................................... |
18 |
Практическое занятие №7. Цепи Маркова..................................................... |
22 |
Практическое занятие №8. Определение матрицы М среднего |
|
времени перехода к некоторому состоянию из других состояний.............. |
27 |
Практическое занятие №9. Каноническое разложение |
|
случайного процесса......................................................................................... |
31 |
Практическое занятие №10. Задача детерминированного |
|
линейного оптимального управления............................................................. |
34 |
Практическое занятие №11. Стохастическое линейное оптимальное |
|
регулирование с обратной связью по выходной переменной...................... |
40 |
Практическое занятие №12. Система массового |
|
обслуживания с ожиданием............................................................................. |
47 |
Практическое занятие №13. Статистическое упреждение |
|
(прогнозирование)............................................................................................. |
59 |
Практическое занятие №14. Методы теории информации........................... |
67 |
Практическое занятие №15. Параметрическая идентификация |
|
линейных систем............................................................................................... |
75 |
3
Практическое занятие №1. Определение математического ожидания, дисперсии,
корреляционной функции
Теоретические сведения
Пусть (t) – неслучайная функция, X (t) , Y (t) – независимые слу-
чайные функции.
Свойства математического ожидания:
1)M [ (t)] (t).
2)M[ (t) X (t)] (t) mx (t).
3)M[ X (t) Y (t)] mx (t) my (t).
4)M [ X (t) Y (t)] mx (t) my (t).
Пусть (t) – неслучайная функция, X (t) , Y (t) – независимые случайные функции, тогда дисперсия случайно величины X (t) :
D[X(t)] M{[X(t) mx (t)]2} M[X(t)]2.
Свойства дисперсии:
1)D[ (t)] 0.
2)D[ (t) X (t)] 2 (t) Dx (t).
3)D[ X (t) Y (t)] Dx (t) Dy (t).
4)D[X (t)] 0.
Пусть (t) – неслучайная функция, X (t) – случайная функция.
Корреляционной функцией называется математическое ожидание произведения значений случайной функции X (t) для двух моментов вре-
мени t1,t2 :
Kx (t1,t2 ) M[X (t1) X (t2 )] |
|
|
x1 |
x2 |
f (x1, x2 ;t1,t2 )dx1dx2. |
|
|
||||
|
|
|
|
||
Свойства корреляционной функции: 1. Kx (t1,t2 ) Kx (t2 ,t1).
Для стационарных процессов Kx ( ) Kx ( ), где t1 t2 .
2.Kx (t, t) Dx (t).
3.Пусть Y(t) (t) X (t), тогда K y (t1, t2 ) (t1 ) (t2 ) Kx (t1, t2 ).
4. Пусть Y (t) (t) X (t), тогда K y (t1, t2 ) Kx (t1, t2 ). 5. Пусть Z (t) X (t) Y (t), тогда
Kz (t1,t2 ) Kx (t1,t2 ) K y (t1,t2 ) Kxy (t1,t2 ) K yx (t1,t2 ).
4
6. Пусть Z (t) a(t) X (t) b(t) Y (t), где a(t),b(t) – неслучайные,
тогда
Kz (t1,t2 ) a(t1) a(t2 ) Kx (t1,t2 ) b(t1) b(t2 ) K y (t1,t2 )
a(t1) b(t2 ) Kxy (t1,t2 ) b(t1) a(t2 ) K yx (t1,t2 ).
Решение типовых задач
Задача 1.1. Определить математическое ожидание произведения
двух функций sin t e t , где const.
Решение. Используем первое свойство математического ожидания, так как обе функции неслучайные M[sin t e t ] sin t e t .
Задача 1.2. Определить математическое ожидания следующего вы-
ражения cos( t) e t sin( t) cos( t), где , const.
Решение. Сначала используем третье свойство математического ожидания:
M[cos( t) e t sin( t) cos( t)]
M[cos( t) e t ] M[sin( t) cos( t)].
Затем применим первое свойство математического ожидания
M[cos( t) e t ] M[sin( t) cos( t)]cos( t) e t sin( t) cos( t).
Задача 1.3. Определить дисперсию следующего выражения: cos( t) sin( t) t 1. const.
Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четыре слагаемых данного выражения неслучайные функции:
D[cos( t) sin( t) t 1] 0.
Задача 1.4. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) .
Z(t) sin(w t)X (t) 1 Y (t). cos(w t)
Решение. Используем сначала пятое, затем третье свойства корреляционной функции:
Kz (t1,t2
sin(w cos(w
) sin(w t1 )sin(w t2 )Kx (t1,t2 ) |
|
|
K y (t1 |
,t2 ) |
|
|||||||
cos(w t1 )cos(w t2 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t1 ) K |
xy |
(t ,t |
2 |
) sin(w t2 ) K |
yx |
(t ,t |
2 |
) |
|
|
||
t2 ) |
1 |
cos(w t1 ) |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5
Задача 1.5. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) .
z(t) sin(w t)X (t) 1 Y (t), если X (t),Y (t) – независимые. cos(w t)
Решение. Используем третье свойство корреляционной функции:
Kz (t1, t2 ) sin(w t1 ) sin(w t2 )Kx (t1, t2 ) cos(w t1 ) cos(w t2 ) .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.6. Определить математическое ожидание произведения двух функций cos( t) e t , где , const.
Задача 1.7. Определить математическое ожидание выражения:
e t cos( t) |
1 |
e t , где , const. |
|
sin( t) |
|||
|
|
Задача 1.8. Определить математическое ожидание выражения: e t cos( t) X (t), где , const.
Задача 1.9. Определить математическое ожидание выражения:
cos( t)X (t) 1 Y (t), где , const. sin( t)
Задача 1.10. Определить дисперсию следующего выражения: e t cos( t), где , const.
Задача 1.11. Определить дисперсию следующего выражения: e t cos( t)X (t), где , const.
Задача 1.12. Определить дисперсию следующего выражения:
(e t cos( t) t 2 1)X (t), где , const.
Задача 1.13. Определить дисперсию следующего выражения: e t X (t) cos( t)Y (t), где , const.
Задача 1.14. Определить дисперсию следующего выражения: e t X (t) cos( t)Y (t) t3 , где , const.
Задача 1.15. Определить корреляционную функцию Kz (t1, t2 ) .
z(t) sin( t) 1 X (t) . cos( t)
6
Задача 1.16. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) . z(t) sin(w t)cos(w t)X (t).
Задача 1.17. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) . z(t) sin( t)cos( t)X (t) e t e t .
Задача 1.18. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) . z(t) sin( t)cos( t)X (t) e t e t t 1.
Задача 1.19. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) . z(t) sin(w t)X (t) cos(w t)Y (t).
Задача 1.20. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) .
z(t) a X (t) b Y (t), X ,Y – стационарные процессы, t1 |
t2 . |
Задача 1.21. Определить корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) . |
|
z(t) a X (t) b Y (t), X ,Y – стационарные процессы, t1 |
t2 . |
Практическое занятие №2. |
|
Определение вероятностных характеристик |
|
интеграла от случайного процесса |
|
Теоретические сведения
Пусть Y (t) t X (t)dt, где X (t),Y (t) – случайные процессы.
0
Тогда математическое ожидание: |
|
my (t) t mx (t)dt |
(2.1) |
0 |
|
Корреляционная функция этого процесса: |
|
K y (t1,t2 ) t1 t2 Kx (t1,t2 )dt1dt2 |
(2.2) |
0 0 |
|
Дисперсия случайного процесса Y (t) : |
|
Dy (t) K y (t, t) . |
(2.3) |
Решение типовых задач
Задача 2.1. Случайный процесс задан следующим выражением
Y (t) (sin wt 1)t X ( )d . Определить математическое ожидание, корреля-
0
ционную функцию и дисперсию.
Решение. Для определения математического ожидания воспользуемся выражением (2.1) и вторым свойством математического ожидания:
7
my (t) M[(sin wt 1)t |
X ( )d ] (sin wt 1)M[t X ( )d ] |
0 |
0 |
(sin wt 1)t mx ( )d .
0
Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением (2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
K |
y |
(t , t |
2 |
) (t |
) (t |
2 |
)K |
z |
(t , t |
2 |
) (sin wt |
1)(sin wt |
2 |
1)t1 t2 K |
x |
( , |
2 |
)d d |
2 |
. |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
0 0 |
1 |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
D |
y |
(t) 2 (t)D |
x |
(t) (sin wt 1)2 |
t |
t |
K |
x |
( |
, |
2 |
)d d |
2 |
. |
|
|
|
0 0 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2.2. Случайный процесс задан следующим выражением
Y (t) (e t 1)t X ( )d cos wt 1.
0
Опередить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию, если заданы
mx (t) t3 t2 t 1, Kx (t1,t2 ) e t1 e t2 .
Решение. Для определения математического ожидания воспользуемся выражением (2.1), первым и вторым свойствами математического ожидания:
my (t) M[(e t 1)t |
X ( )d cos wt 1] (e t 1)M[t X ( )d ] cos wt 1 |
||||
|
|
|
0 |
|
0 |
(e t 1)t mx ( )d cos wt 1 (e t 1)t ( 3 2 |
1)d cos wt 1 |
||||
|
|
0 |
|
0 |
|
(t 4 |
t3 |
t2 |
t)(e t 1) cos wt 1. |
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением (2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
K |
|
(t ,t |
|
) (t ) (t |
|
)K |
|
(t ,t |
|
) (e |
t |
1)(e |
t |
|
1) |
t1 t2 |
|
|
2 d d |
|
|
|||
y |
2 |
2 |
z |
2 |
1 |
|
2 |
e |
1 e |
|
2 |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(e t1 |
1)(e t2 |
1)(1 e t1 )(1 e t2 ). |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
Dy (t) 12 (e t 1)2 (1 e t )2.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.3. Случайный процесс задан следующим выражением
Y (t) (sin wt 1)t X ( )d 3t 2 2t 1. Определить математическое ожида-
0
ние, корреляционную функцию и дисперсию.
Задача 2.4. Случайный процесс задан следующим выражением
Y (t) t X ( )d . Определить математическое ожидание, корреляционную
0
функцию и дисперсию, если заданы
mx (t) t 1, Kx (t1,t2 ) sin wt1 sin wt2 .
Задача 2.5. Случайный процесс X (t) имеет характеристики
mx (t) t2 2t 1; Kx (t1,t2 ) Dxe (t1 t2 ) .
Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса Y (t)
Y (t) |
sin wt t |
X ( )d 3t |
2 |
e |
t |
. |
||
t 2 |
1 |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||
Практическое занятие №3. Определение вероятностных характеристик
производной от случайного процесса
|
dX (t) |
Теоретические сведения |
|
|
|
|||||||||
Пусть Y (t) |
, где X (t),Y (t) – случайные процессы. |
|
||||||||||||
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда математическое ожидание данного случайного процесса Y (t) : |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
my (t) dmx (t) . |
|
|
|
|
(3.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Корреляционная функция данного случайного процесса Y (t) : |
|
|||||||||||||
|
|
K |
|
(t ,t |
|
) |
2 K |
x |
(t |
,t |
2 |
) |
. |
(3.2) |
|
|
y |
2 |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
t1 t2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если t1 t2 , то корреляционная функция:
9
|
|
K y ( ) |
d 2 Kx ( ) |
. |
(3.3) |
|||
|
|
d 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение типовых задач |
|
|||||
Задача 3.1. Случайный |
процесс задан |
следующим |
выражением |
|||||
Y (t) sin t e t |
dX (t) |
cost 1. |
Определить |
математическое ожидание |
||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
этого процесса и корреляционную функцию.
Решение. Используя свойства математического ожидания и выражение (3.1), определим математическое ожидание заданного процесса:
my (t) M[Y (t)] sin t e t dmdtx (t) cos t 1.
Используя свойства корреляционной функции и выражение (3.2), определим корреляционную функцию:
|
|
|
K |
|
(t ,t |
|
) sin t sin t |
|
e |
t |
t |
2 |
2 K |
x |
(t |
,t |
2 |
) |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
2 |
2 |
1 e |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
t1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача |
3.2. Случайный |
процесс |
задан следующим выражением |
||||||||||||||||||||||
Y (t) |
dX (t) |
. |
Корреляционная |
функция |
определена |
как |
Kx ( ) Dxe |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить корреляционную функцию заданного случайного процесса
Y (t) .
Решение. Для 0 корреляционная функция имеет вид:
K y ( ) d 2 Kx2( ) 2 Dxe . d
Для 0 корреляционная функция имеет вид:
K y ( ) d 2 K x ( ) 2 Dxe . d 2
Для любого корреляционная функция имеет вид:
K y ( ) d 2 Kx2( ) 2 Dxe . d
Задачи для самостоятельного решения Задача 3.3. Случайный процесс задан следующим выражением
Y (t) dXdt(t) . Определить математическое ожидание этого процесса и корреляционную функцию, если заданы
10