книги / Прикладная математика, механика и процессы управления.-1

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

АНАЛИЗ ЗОНЫ КОНТАКТА АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ КОНТАКТНОЙ ПАРЫ

А.А. Каменских, И.О. Ширяева

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

В рамках механики деформируемого твердого тела как отдельную научную проблему можно выделить исследование контактного взаимодействия тел. В различных промышленных отраслях, таких как машиностроение, медицина, строительство, технологические процессы производства и т.п., ежедневно появляются новые задачи исследования, связанные с механикой контактного взаимодействия. Их решения требуют верификацию и апробацию моделей поведения материалов контактной пары и моделей контакта на тестовых задачах. В работе рассмотрено аналитическое решение тестовой контактной задачи, направленное на исследование влияния физико-меха- нических свойств материалов оптоволоконного кабеля на параметры зоны контакта: площадь контактной поверхности и контактное давление.

Для анализа влияния физико-механических свойств контактной пары материалов была рассмотрена классическая задача о контакте цилиндров с параллельными осями под действием сжимающих воздействий с известным аналитическим решением [1]. Исследование включало несколько этапов: первый – повторение аналитического вывода решения задачи контакта; второй – оценку влияния радиусов контактирующих цилиндров

3

и величины нагрузки на параметры зоны контакта; третий – оценку влияния физико-механических свойств материалов контактной пары. В рамках материалов контактных пар рассматривались: сталь, алюминий, кварц, полимер (поликарбонат). Контактные пары материалов были рассмотрены для тестового анализа зоны контакта, который необходим для дальнейшей верификации моделей поведения материалов и моделей контактного взаимодействия, необходимых при решении контактных задач, выделенных в результате технологического процесса производства оптоволоконного кабеля. Задача решалась в рамках теории упругости, постановка задачи включает: уравнения равновесия, физические соотношения, контактные граничные условия, которые подробно описаны в [2].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, про-

екты № 16-38-00390 мол_а, № 16-48-590660 р_а.

Список литературы

1.Кац А.М. Теория упругости. – 2-е изд. – СПб.: Лань. – 2002. – 208 с.

2.Каменских А.А., Труфанов Н.А. Закономерности взаимодействия элементов сферического контактного узла с антифрикционной полимерной прослойкой // Трение и износ. – 2015. –

Т. 36. – № 2. – С. 222–229.

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ МЕТОДОМ SIMP И СОЗДАНИЕ ГЕОМЕТРИИ НА ИХ ОСНОВЕ

К.В. Фетисов, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Создание новых изделий при помощи топологической оптимизации очень актуально в современной промышленности. При всех своих достоинствах, таких как упрощение и ускорение

4

проектирования, она имеет ряд проблем, а именно анализ полученных результатов и создание новой геометрии, основанной на них. Цель данной работы состоит в решении обозначенных проблем.

В качестве результатов топологической оптимизации, полученных при помощи метода SIMP [1-3], будет область с оптимальным распределением материала. При этом каждый элемент имеет так называемую плотность, которая изменяется от 0 до 1, что, по сути, является относительным значением энергии деформации в элементе, т.е. 0 соответствует элементу с наименьшей энергией деформации в системе, а 1 – наоборот, наибольшей. Таким образом, варьируя диапазон плотности (например, от 1 до 0,5), можно получить различный вид области, с большей или меньшей массой. Поскольку метод SIMP основан на методе конечных элементов, то качество области зависит от размера конечного элемента, а сама область представляет собой набор граней тетраэдра. Далее данный набор граней можно экспортировать в формате STL.

Файл STL можно сразу использовать для аддитивного производства, но для получения более качественного изделия следует построить новую геометрию или обработать существующую. Были рассмотрены следующие варианты создания новой геометрии: построение геометрии в системах автоматизированного проектирования (САПР), построение геометрии PolyNURBS сплайнами, обработкой и сглаживанием STL-файла. Предложенные варианты имеют свои преимущества и недостатки. Так, создание геометрии в САПР подходит для геометрии простой формы (например, плоские изделия с постоянной толщиной), при попытке построения геометрии сложных форм может потребоваться некоторое упрощение поверхности). При создании геометрии PolyNURBS сплайнами можно получить плавные и при этом достаточно сложные формы, т.е. любая поверхность в месте контакта с другой поверхностью имеет одинаковое значение кривизны на границе. Обработка и сглаживание STL фай-

5

ла позволяют быстро получить качественную геометрию, которую нельзя никак параметризовать или управлять ею при помощи размеров, что является минусом данного способа.

Описанные способы построения геометрии были неоднократно опробованы при решении практических задач, где они доказали свою эффективность.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (договор №02.G25.31.0168 от 01.12.2015 г. в составе мероприятия по реализации Постановления Правительства РФ № 218).

Список литературы

1.Bendsøe M. P. Optimization of Structural Topology, Shape, and Material. – Springer, 1995. – P. 267.

2.Huang X., Xie Y.M. Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures: Methods and Applications. – Wiley, 2010. – P. 237.

3.Bendsøe M. P., Sigmund O. Topology Optimization: Theory, Methods and Applications. – Springer, 2003. – P. 393.

АНАЛИЗ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДИНАМИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МАЯТНИКОВОГО АКСЕЛЕРОМЕТРА

А.В. Ковязин, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

В работе приводятся реализация численного метода решения задачи о динамическом поведении и дальнейший анализ особенностей движения чувствительного элемента (ЧЭ) маятникового акселерометра.

6

Система уравнений движения ЧЭ сформулирована на основе уравнения Лагранжа 2-го рода. Численное решение задачи выполнено с помощью метода Рунге–Кутты четвертого порядка [1]. Для анализа динамического поведения ЧЭ составлена программа на языке Matlab, описывающая движение чувствительного элемента акселерометра, подверженного влиянию силы тяжести, внешнего ускорения, вибраций для четырех углов установки корпуса акселерометра. Проведена верификация численного метода решения на основе результатов представленных

вработе [2].

Входе анализа динамики маятникового акселерометра, работающего в режиме прямого измерения, проведены серии вычислительных экспериментов с целью определения характера движения ЧЭ при различных параметрах внешнего воздействия. Исследовано влияние коэффициента диссипации и виброперемещений на движение ЧЭ акселерометра, проведено исследование резонансных явлений, построена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) маятника акселерометра, а также исследована зависимость значения собственных частот от угла установки корпуса акселерометра.

Список литературы

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука: Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. – 432 с.

2.Распопов В.Я. Микромеханические приборы: учеб. пособие. – Тула: Изд-во Тул. гос. ун-та, 2002. – 392 с.

7

ВЛИЯНИЯ ФРИКЦИОННЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ НА КОНТАКТНОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОПОРНОЙ ЧАСТИ

А.А. Каменских, Н.А. Труфанов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Одной из важных задач механики контактного взаимодействия является анализ влияния фрикционных свойств материалов на параметры контакта. Особый интерес представляет исследование поведения материалов с учетом их фрикционных свойств в узлах и элементах конструкций с антифрикционными покрытиями и прослойками, которые широко применяются в машиностроении, строительстве, медицине и других отраслях. Такие системы работают в рамках механики контактного взаимодействия, часто обладая сложным нелинейным деформационным поведением, несколькими плоскостями скольжения и сложной пространственной конфигурацией. К таким конструкциям относятся сферические опорные части, где в рамках материалов антифрикционных прослоек используются полимерные материалы и композиты на их основе.

В данной работе рассмотрена численная реализация задачи контактного взаимодействия плит сферической опорной части через антифрикционную прослойку с учетом фрикционных свойств материалов прослойки. С использованием ранее описанной математической модели [1, 2] рассмотрено влияние коэффициента трения на параметры контакта и установлены количественные и качественные закономерности их изменения в зоне соприкосновения антифрикционной прослойки с плитами сферической опорной части. В работе рассматривался контакт через прослойку из модифицированного фторопласта. В рамках исследования получены зависимости коэффициента трения от удельного давления при контакте без смазки и со смазкой. Вы-

8

полнен сравнительный анализ поведения зоны контакта при разных соотношениях «нагрузка – коэффициент трения». Установлены зависимости максимальных значений относительного контактного давления и относительного контактного касательного напряжения от нагрузки, действующей на сферическую опорную часть (каждой нагрузке соответствует свой коэффициент трения). Установлена тенденция уменьшения зоны сцепления при проведении численных экспериментов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, про-

ект № 16-38-00390 мол_а.

Список литературы

1.Каменских АА., Труфанов Н.А. Численный анализ напряженного состояния сферического контактного узла с прослойкой из антифрикционного материала // Вычислительная механика сплошных сред. – 2013. – Т. 6, № 1. – С. 54–61.

2.Каменских А.А., Труфанов Н.А. Закономерности взаимодействия элементов сферического контактного узла с антифрикционной полимерной прослойкой // Трение и износ. – 2015. –

Т. 36. – № 2. – С. 222–229.

МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА SIMP-МЕТОДА И ЕГО АПРОБАЦИЯ

А.А. Кротких, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Работа посвящена модификации метода топологической оптимизации (SIMP метод), назначение которого заключается в снижении податливости конструкции за счет определения оптимального поля виртуальной плотности материала в заданной области пространства при известных граничных условиях.

9

Процесс поиска оптимальной топологии представляется

ввиде нескольких последовательно выполняемых шагов. На первом шаге с целью определения напряженно-деформирован- ного состояния рассматриваемой конструкции решается задача теории упругости с известными краевыми условиями. Решение задачи производится численно при помощи метода конечных элементов с использованием симплекс-элемента. Численное решение задачи позволяет нам вычислять чувствительность целевой функции податливости в каждом конечном элементе. Второй шаг алгоритма заключается в том, что на базе решения МКЭ строится решение SIMP. Устраняется «черно-белое» решение с помощью процедуры фильтрации. Изменяем топологию тела

всоответствии с решением метода SIMP, и на базе новой топологии снова решаем задачу ТУ. Необходимо пояснить, что изменение топологии тела в алгоритме не вызывает нарушения краевых условий. Метод SIMP характеризуется большим числом параметром, каждый из которых влияет на какую-либо характеристику. Один из таких параметров – коэффициент оптимизации Лагранжа. Его необходимо подбирать в каждой задаче, так как его корректное значение заранее не известно.

Врамках этой работы предлагается способ модификации метода SIMP, позволяющий устранить проблему ручного определения коэффициента оптимизации Лагранжа. Необходимо также исследовать эффективность предложенного метода. Для оценки эффективности метода будет рассмотрена плоская задача теории упругости. Дана плоская пластина, один из краев которой будет защемлен, на противоположном ему крае приложена точечная сила либо распределенная на достаточно малом участке границы. Проанализируем результаты, получаемые методом SIMP с применением коэффициента оптимизации, и результат модифицированного алгоритма. Сравнивать будем перемещения в реперной точке, которая находится на достаточно близком расстоянии от области приложения внешней нагрузки. Результаты конечноэлементного моделирования показывают, что с увеличением коэффициента Лагранжа метод начинает сходиться к некоторому

10