книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

мого прямой на оси OY

или

начальная ордината.

Замечание. Уравнение прямой

с угловым коэффициентом раз-

решено относительно текущей

Рис. 3

координаты y.

где k = tg ϕ – угловой коэффи-

циент (рис. 3).

5. Уравнение прямой в отрезках

Следует запомнить, что

а –

(рис. 4)

величина отрезка,

отсекаемого

x

+

y

= 1 .

(5)

прямой на оси OX ; b – вели-

чина

отрезка,

отсекаемого

a

b

прямой на оси OY.

Замечание.

Особенности этого уравнения

такие: в левой части уравнения

между

дробями

стоит

знак

плюс, величины a и b могут

быть как положительными, так

Рис. 4

и отрицательными, правая часть

уравнения равна единице.

6. Нормальное

уравнение

пря-

p – длина перпендикуляра,

мой (рис. 5):

опущенного из начала коорди-

x cos α + y sin α − p = 0.

(6)

нат на прямую; α – угол, кото-

рый образует этот перпендику-

ляр

с положительным направлени-

ем оси OX .

Следует запомнить: для при-

ведения

общего

уравнения

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

прямой

к

нормальному виду

обе его части надо умножить

на нормирующий

множитель

µ = ±

1

,

причем перед

A2 + B2

дробью следует выбрать знак,

противоположный

знаку сво-

Рис. 5

бодного

члена

С

в

общем

уравнении прямой.

Замечание. Особенности нор-

мального

уравнения

прямой:

сумма квадратов коэффициен-

тов при текущих координатах

равна

единице,

свободный

член отрицателен, а правая

часть его равна нулю.

нии,

определяемом

угловым

коэффициентом k,

y − y1 = k(x − x1 ).

(7)

8. Уравнение прямой,

проходя- Текущие координаты – это

щей

через две данные

точки координаты переменной точки

А(x1, y1 ) и В(x2 , y2 ):

прямой.

y − y1

=

x − x1

,

(8)

y2 − y1

x2 − x1

(x, y)− текущие координаты.

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

по формуле

tg θ =

A1B2 − A2 B1

.

(11)

A1 A2 + B1B2

10.

Пусть две прямые

заданы

Следует запомнить:

уравнениями общего вида:

если прямые пересекаются, т.е.

A1x + B1 y + C1 = 0,

(12)

имеют одну общую точку, то

A2 x + B2 y + C2 = 0.

координаты этой точки долж-

Возможны три случая:

ны удовлетворять обоим урав-

нениям (12).

A1

B1

а)

≠

− прямые пересека-

Следовательно, для нахожде-

A2

B2

ния координат точки пересече-

ются;

ния прямых нужно решить со-

б)

A1

=

B1

≠

C1

– прямые па-

вместно их уравнения.

A2

B2

C2

раллельны;

в)

A1

=

B1

=

C1

− прямые

сов-

A2

B2

C2

падают.

11. Если две

прямые

заданы

уравнениями с угловым коэф-

фициентом

y = k1x + b1 ,

y = k2 x + b2 ,

то прямые:

а) параллельны, если

k1 = k2 , b1 ≠ b2 ;

(13)

б) перпендикулярны, если

k1 k2 = −1.

(14)

12. Расстояние от точки A(x1, y1 )

Расстояние от точки A(x1; y1 )

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

до прямой Ax + By + C = 0

до прямой Ax + Bx + C = 0 есть

d =

Ax1

+ By1 + C

длина перпендикуляра, опу-

(15)

щенного из этой точки на пря-

.

A2 + B2

мую.

1

ли на ней точки A(–2; 3), B(1; 1),

C

−

; − 2 ?

2

A (–2; 3),

2 (− 2)+ 3 3 − 5 = 0,

A лежит на прямой.

B (1;1),

2 1 + 3 1 − 5 = 0, B лежит на прямой.

1

1

C −

; − 2

,

2

−

+ 3(− 2)− 5

≠ 0, C не

лежит на пря-

2

2

мой.

Задача 2.

Построить прямые:

а) 2x − 4y + 1 = 0 ; б) x − 3y = 0;

в) 3x + 5 = 0;

г) 2y − 3 = 0.

Решение.

2x − 4y + 1 = 0

а) Определим точки

пересечения прямой

с координатными осями. Взяв в этом уравнении сначала

y = 0,

найдем из него, что точка

A пересечения прямой с осью OX

1

1

имеет абсциссу x = −

. Координаты точки A

−

; 0 .

Поло-

2

2

4

1

B 0;

. Построив эти точки, соединим их прямой. Эта прямая

4

2x

+

− 4y = 1

x

+

y

= 1

1

− 1

− 1

−

1

2

4

a = −

1

– на оси OX ;

2

вой коэффициент k = tg ϕ = tg π =

3 . Полагая в уравнении (4)

6

3

k = 3 и b = −3, получим искомое уравнение y =

3 x − 3 или

3

3

3x − 3y − 9 = 0.

2

+

5

= 1 ,

а = 7.

a 7

Искомое уравнение прямой

x

+

y

= 1 или x + y − 7 = 0.

7

7

Решение.

Составим нормирующий множитель µ = ±

1

= ± 1 .

32 + 42

5

1

жая на

−

обе части уравнения 3x + 4y + 15

= 0,

приведем его

5

−

3

x −

4

y − 3 = 0 .

5

5

Для

данной прямой,

следовательно, имеем: p = 3,

cos α = −

3

, sin α = −

4

.

5

5

вию задачи cos α = cos120° = −

1

, sin α =

3 , ρ = 7.

2

2

лы (10) возьмем по абсолютной величине: tg θ =

k2 − k1

.

1+ k1k2

1

1

1

1

−

−

3

У нас k1 =

,

k2 = −

,

tg θ =

2

= 1,

откуда θ = 45°.

3

2

1−

1

1

3

2

y = kx, т.к. прямые проходят через начало

координат. Задача имеет два решения (рис.

11). Пусть угловой коэффициент одной из

искомых прямых равен k. Угловой коэффи-

циент заданной прямой равен 3. Поскольку

Рис. 11

угол между этими прямыми равен π ,

4