книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации

-Нт - су

+q -q

В области между плоскостями Ё+ и Ё_ имеют одинаковое направление, поэтому величина напряженности Е результи­ рующего поля имеет удвоенное значение

(1.93)

Таким образом, поле двух бесконечных разноименно за­ ряженных плоскостей является однородным (1.93) и сосредото­ чено между этими плоскостями.

Формулу (1.93) можно применять и для случая плоскостей конечных размеров, если расстояние d между плоскостями зна­ чительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом случае однородность поля и справедливость формулы (1.93) заметно нарушается только вблизи краев пластин (краевой эффект) (рис. 1.49).

Теперь полезно вернуться к рис. 1.37 в параграфе 1.21. На этом рисунке изображен результат суперпозиции двух однород­

ных полей: внешнего поля Е0 и поля, созданного связанными зарядами, расположенными по бесконечным параллельным по­

верхностям диэлектрической пластины с плотностями + а ' и - а ' Поле этих плоскостей аналогично полю, изображенному на рис. 1.48. Следовательно, вне диэлектрической пластины оно

не изменяет внешнего поля Е0.

1.23. Силы, действующие на заряженное тело в диэлектрике

Сначала поместим в электрическое поле в вакууме тело, обладающее зарядом q. Если размеры тела столь малы, что

внешнее поле с напряженностью Е0 в пределах него можно

считать однородным, то сила, действующая на тело, может быть найдена по формуле (1.5)

^вак —ЧДо* Теперь поместим то же самое заряженное тело в жидкий

или газообразный диэлектрик. В этом случае тело будет нахо­ диться в полости, образованной им самим путем вытеснения ди­

отличаться от напряженности Ё поля, которое было в этом мес­ те в сплошном диэлектрике до внесения тела.

Кроме того, на границе с телом в диэлектрике возникают механические напряжения, приводящие к появлению дополни­

тельной механической силы Ёмех, действующей на тело.

Таким образом, на заряженное тело в диэлектрике дейст­ вует результирующая сила

которая обычно вычисляется весьма сложно.

Для жидкого и газообразного диэлектрика вычисления да­ ют удивительный и удобный для проведения расчетов результат.

Оказывается, что результирующая сила F (1.94) в точности рав­

на q £ :

Сообщим ему заряд q. В результате заряд проводника ста­ нет равным qnpoB.=q. Как было выяснено в параграфе 1.13, такой заряд распределится по поверхности проводника так, чтобы на­ пряженность поля внутри проводника стала равной нулю(ЕВщпр=0), а его поверхность стала эквипотенциальной. Пусть значение потенциала этой поверхности равно фпров=ф.

Если теперь вновь сообщить проводнику такой же заряд q, то предыдущий заряд на проводнике никак не будет влиять на распределение нового заряда, так как внутри проводника на­

пряженность поля Евну1р = 0 , а на поверхности проводника тан­

генциальная составляющая напряженности Е т = 0 . Следова­

тельно, новый заряд q распределится по поверхности точно так же, как и первый. В этом случае, очевидно, и заряд и потенциал проводника увеличатся вдвое:

qnpoB~2q, фпров~2<р.

При сообщении проводнику заряда q в n-ый раз все повто­ рится: qnpoB^nq, Фпров^иф.

Таким образом, потенциал фпр0в. уединенного проводника будет все время пропорционален находящемуся на нем заряду дпров.. Записывается это в виде

где С - коэффициент пропорциональности, назьшаемый элек­ троемкостью (или просто емкостью) уединенного проводни­ ка.

Для выяснения физического смысла коэффициента С пе­ репишем (1.97) так:

Фпров

В соответствии с (1.98) электроемкость уединенного провод* ника численно равна заряду, который нужно сообщить это* му незаряженному проводнику, чтобы его потенциал стал равны м единице флр0в=1 В.

Единицей.емкости в СИ является фарад (Ф): 1Ф = 1Кл 1В '

Теперь найдем выражение для емкости уединенного про­ водящего шара радиуса R, находящегося в однородном и изо­ тропном безграничном диэлектрике с проницаемостью 8 (рис. 1.51).

Рис. 1.51. Электростатическое поле уединенного заряженного

проводящего шара радиуса R, находящегося в среде с диэлектрической

проницаемостью е

Дляэтого сообщим шару заряд q и вычислим его потенциал <р на

Сопоставив (1.99) с (1.98), получим искомую формулу для ем­ кости уединенного проводящего шара:

Из выражения (1.100) следует, что электроемкость уеди­ ненного проводящего шара определяется его размерами (R) и диэлектрическими свойствами среды (е), в которой он находит­

где Б - величина напряженности поля между оболочками на произвольном расстоянии г от их центра, dr - модуль вектора элементарного перемещения по радиальному направлению.

Подставляя (1.81) в (1.101), получаем пропорциональную

Действительно, вследствие наложения полей при возрастании величины заряда q в п раз увеличивается в п раз напряженность Бполя (1.81) в каждой точке между оболочками, следовательно, увеличивается в п раз разность потенциалов (pt -ср2 между ни­

ми.

где С - коэффициент пропорциональности, называемый элек­ троемкостью конденсатора.

При этом рассмотренную систему из двух концентрических ме­ таллических оболочек называют конденсатором, а сами обо­ лочки - обкладками конденсатора. Электроемкость конденса­ тора представляет собой взаимную электроемкость его обкла­ док.

В общем случае конденсатор (простой конденсатор) пред­ ставляет собой систему из двух проводников (обкладок), распо­ ложенных на малом расстоянии друг от друга и обладающую относительно большой взаимной электроемкостью. Заряды об­ кладок разноименны по знаку и равны по абсолютной величине.

Под емкостью конденсатора по аналогии с (1.98) понима­ ют отношение

но, изменяют его емкость. Чтобы внешние тела не влияли на ем­ кость, обкладкам придают такую форму и так их располагают друг относительно друга, чтобы поле заряженного конденсатора было сосредоточено только в пространстве между ними. При этом заряды на обкладках должны быть одинаковыми по абсо­ лютной величине и противоположными по знаку (+q и -q). Как былопоказано в параграфе 1.22, такому условию удовлетворяют близко расположенные друг к другу обкладки в виде: двух кон­ центрических сфер; двух коаксиальных цилиндров; двух парал­ лельных плоскостей. Соответственно различают сферический, цилиндрический и плоский конденсаторы.

Найдем формулу для емкости плоского конденсатора, являющегося самым распространенным в технике. Его поле изображено на рис. 1.48 и 1.49. На рис. 1.49 показано искажение поля конденсатора на краях обкладок, называемое краевым эф­ фектом. Используя (1.93), выразим величину напряженности Е поля плоского конденсатора без учета краевого эффекта через площадь обкладки S и абсолютную величину заряда q на ней:

и — — ■ . 80е e0eS

В соответствии с (1.37) разность потенциалов между обкладка­ миравна

Ф1-Ф 2 =E d = - ^ - e0sS

гдеd - расстояние между плоскими обкладками.

Отсюда, на основании (1.104), получаем формулу для емкости плоского конденсатора

(1.107)

где 8 - диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего зазор между обкладками, d - величина зазора между обкладками, S - площадь обкладки.

Чем меньше величина зазора d по сравнению с линейными раз­ мерами обкладок, тем меньше краевой эффект, тем точнее фор-