книги / Физические основы нанотехнологий фотоники и оптоинформатики

3.Ghosh R., Mendel L. Observation of nonclassical effect in the interference of twophons // Phys. Rev. Lett. – 1987. – Vol. 59. – P. 1903–1905.

4.Aspect A. Bells theorem: the naive views of an experimentalist // Quantum [Un]speakables – From Bell to Quantum information / eds. by R.A. Bertlmann, A. Zeilinger. – Berlin: Springer, 2002. – Р. 119–153.

5.Гринштейн Дж. Зайонц Квантовый вызов. Современные исследования оснований квантовой механики. – 2-е изд. – Долгопрудный:

Интеллект, 2012. – 432 с.

6.Баргатин И.В., Гришанин Б.А., Задков В.Н. Запутанные квантовые состояния атомных систем // Успехи физических наук: журнал. – 2001. – Т. 171, № 6. – С. 625–647.

7.Квантовая криптография. Идеи и практика / под ред. С.Я. Килина, Д.Б. Хорошко, А.П. Низовцева. – Минск: Белорусская наука, 2007. – 391 с.

281

ГЛАВА 11. КВАНТОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ

Идея о квантовых вычислениях была высказана Ю.И. Маниным в 1980 г. [1]. Одна из первых моделей квантового компьютера была предложена Ричардом Фейнманом в 1981 г. [2]. Вскоре П. Бениоф описал теоретические основы построения такого компьютера.

Необходимость в квантовом компьютере возникает тогда, когда мы пытаемся исследовать методами физики сложные многочастичные системы, подобные химическим и биологическим. Пространство квантовых состояний таких систем растет как экспонента от числа n составляющих их реальных частиц, что делает невозможным моделирование их поведения на классических компьютерах уже для n 10 . Ввиду этого Манин и Фейнман высказали идею построения квантового компьютера.

Квантовый компьютер – вычислительное устройство, работающее на основе квантовой механики. Квантовый компьютер принципиально отличается от классических компьютеров, работающих на основе классической механики.

Полноценный квантовый компьютер является пока гипотетиче-

и сложных экспериментов. Эта работа является приоритетной для современной физики.

Элементы квантовых компьютеров могут применяться для повышения эффективности вычислений на уже существующей приборной базе. Первый разработанный высокоуровневый язык для такого вида компьютеров – Quipper.

Квантовый компьютер использует для вычисления не обычные (классические) алгоритмы, а процессы квантовой природы, так называемые квантовые алгоритмы, использующие квантово-механические эффекты, такие как квантовый параллелизм и квантовая запутанность.

Если классический процессор в каждый момент может находиться ровно в одном из состояний, обозначаемых кет-векторами:

0, 1, ..., N 1 , то квантовый процессор в каждый момент находит-

ся одновременно во всех этих базисных состояниях, при этом в каждом состоянии j – со своей комплексной амплитудой λj . Это кван-

282

товое состояние называется квантовой суперпозицией данных классических состояний и обозначается как

N1

j j .

j 0

Условие нормировки

02 12... 2N 1 0 .

Базисные состояния могут иметь и более сложный вид. Квантовое состояние может изменяться во времени двумя

принципиально различными путями:

1.Путем измерения.

2.С помощью унитарной квантовой операции (quantum gate – квантовый вентиль), в дальнейшем – просто операция.

11.1. ИЗМЕРЕНИЕ (НАБЛЮДЕНИЕ)

Если классические состояния j есть пространственные поло-

жения группы электронов в квантовых точках, управляемых внешним полем V, то унитарная операция есть решение уравнения Шредингера для этого потенциала.

Измерение есть случайная величина, принимающая значения

стоит квантово-механическое правило Борна. Измерение есть единственная возможность получения информации о квантовом состоянии, так как значения j нам непосредственно недоступны. Измерение

квантового состояния принципально не может быть сведено к унитарной шредингеровской эволюции, так как, в отличие от последней, оно необратимо. При измерении происходит так называемый коллапс вол-

новой функции , физическая природа которого до конца не ясна.

Спонтанные измерения состояния в ходе вычисления ведут к декогерентности, т.е. отклонению от унитарной эволюции, что является главным препятствием при построении квантового компьютера.

Квантовое вычисление есть контролируемая классическим управляющим компьютером последовательность унитарных операций простого вида (над одним, двумя или тремя кубитами). В конце вычисления

283

состояние квантового процессора измеряется, что и дает искомый результат вычисления.

Квантовый параллелизм– принцип, лежащий в основе работы квантовых компьютеров и позволяющий им потенциально превзойти в производительности классические компьютеры. В основе квантового параллелизма лежит использование при вычислениях суперпозиций базовых состояний, что позволяет одновременно производить большое количество вычислений с различными исходными данными. Например, 64-разрядный квантовый регистр может хранить до 264 значений одновременно, а квантовый компьютер может все эти значения одновременно обрабатывать. Тем не менее извлечение результатов таких вычислений затруднено, что ограничиваетобластьприменения квантовых компьютеров.

Содержание понятия «квантовый параллелизм» в вычислении может быть раскрыто следующим образом: «Данные в процессе вычислений представляют собой квантовую информацию, которая по окончании процесса преобразуется в классическую информацию путем измерения конечного состояния квантового регистра. Выигрыш в квантовых алгоритмах достигается за счет того, что при применении одной квантовой операции большое число коэффициентов суперпозиции квантовых состояний, которые в виртуальной форме содержат классическую информацию, преобразуется одновременно».

11.1.1. Кубиты1

Куби́т (q-бит, quantum bit, квантовый бит) – квантовый разряд или наименьший элемент для хранения информации в квантовом компьютере (рис. 11.1).

Система, обладающая двумя различающимися состояниями, называется двоичной цифрой или битом. Бит всегда имеет только одно из двух возможных значений: 0 или 1.

Один классический бит может находиться в одном и только одном из состояний: 0 или 1. Квантовый бит, называемый кубитом,

находится в состоянии

1 По материалам работ [3, 4].

284

Условие нормировки

a 2 b 2 1,

так что |a|² и |b|² – вероятности получить 0 или 1 соответственно при измерении этого состояния.

Все состояния однокубитовых систем, описываемые вектором состояния a 0 b 1 , называются чистыми состояниями. Состоя-

ния, которые не описываются векторами , а описываются стати-

стическими операторами ˆ (матрицами плотности), называются

смешанными состояниями.

Сразу после измерения кубит переходит в базовое квантовое состояние, соответствующее классическому результату.

Кубиты могут быть связаны друг с другом, т.е. на них может быть наложена ненаблюдаемая связь, выражающаяся в том, что при всяком изменении над одним из нескольких кубитов остальные меняются согласованно с ним. Иными словами, совокупность запутанных между собой кубитов может интерпретироваться как заполненный квантовый регистр. Как и отдельный кубит, квантовый регистр гораздо информативнее классического регистра битов. Он может не только находиться во всевозможных комбинациях составляющих его битов, но и реализовывать всевозможные тонкие зависимости между ними.

Кубиты в квантовом регистре могут обмениваться своим состоянием и преобразовывать его. Тогда есть возможность создать компьютер, способный к параллельным вычислениям на уровне своего физического устройства, и проблемой остается лишь прочитать конечный результат вычислений.

Обобщением понятия «кубит» является кунит (Q-энк, qudit), способный хранить в одном разряде более двух значений (например,

кутрит, qutrit – 3, куквадрт – 4, …, куэнк – n) [2].

Идея квантовых вычислений состоит в том, что квантовая система из L двухуровневых квантовых элементов (кубитов) имеет 2L линейно независимых состояний, а значит, вследствие принципа квантовой суперпозиции пространство состояний такого квантового регистра является 2L-мерным гильбертовым пространством. Операция в квантовых вычислениях соответствует повороту вектора состояния регистра в этом пространстве. Таким образом, квантовое вычислительное

286

устройство размером L кубитов фактически задействует одновременно 2L классических состояний.

Квантовый регистр из двух кубитов хранит четыре числа в су-

перпозиции: 00, 01,10,11:

00 0110 11 .

Квантовый регистр из трех кубитов может одновременно хранить восемь чисел в суперпозиции: 000, 100,010, 001,110, 101, 011, 111:

000 011 010

100 001 .101 110 111

Упражнение: постройте квантовый регистр из четырех кубитов –

куквадрт.

Физическими системами, реализующими кубиты, могут быть любые объекты, имеющие два квантовых состояния:

1)поляризационные состояния фотонов;

2)электронные состояния изолированных атомов или ионов;

3)спиновые состояния ядер атомов и т.д.

Приведем примеры из квантовой механики. Пример 11.1. Система из одного кубита.

Фотон находится в состоянии a 0 b 1 суперпозиции двух

поляризаций. Это состояние есть вектор в двумерной плоскости, систему координат в которой можно представлять как две перпендику-

лярные оси, так что а и b есть проекции кет-вектора на эти оси.

Измерение раз и навсегда коллапсирует состояние фотона в одно из состояний 0 или 1, причем вероятность коллапса равна квадрату

соответствующей проекции |a|² или |b|². Полная вероятность получает-

287

мерения кубит переходит в новое квантовое состояние 0, т.е.

при следующем измерении этого кубита мы получим 0 со 100%-ной вероятностью (предполагается, что по умолчанию унитарная операция тождественна; вреальныхсистемахэтоневсегда так).

Пример 11.3. Система из двух кубитов.

Измерение каждого из них может дать 0 или 1, поэтому у системы есть четыре классических состояния: 00, 01, 10 и 11. Аналогичные

им базовые квантовые состояния: 00 , 01 , 10, 11. И наконец, общее квантовое состояние системы имеет вид

a 00 b 01 c 10 d 11.

Теперь |a|² – вероятность измерить 00 , |b|² – вероятность изме-

a2 b2 c2 d 2 1.

1. Если мы измерим только первый кубит квантовой системы, находящейся в состоянии , у нас получится следующее:

2. Если теперь снова измерить первый кубит, с вероятностью

в гильбертовом пространстве состояний. Такое состояние, в котором участвует наше незнание о том, какой же результат получится на пер-

288

вом кубите, называют смешанным состоянием. В этом случае такое смешанное состояние называют проекцией исходного состояния

на второй кубит и записывают в виде матрицы плотности вида2 р0 0 р1 1 , где матрица плотности состояния определяется

как .

В общем случае системы из L кубитов у нее 2L классических со-

стояния (00000… (L-нулей), …00001 (L-цифр), …, 11111… (L-единиц)),

каждое из которых может быть измерено с вероятностью 0–100 %. Таким образом, одна операция над группой кубитов затрагивает

все значения, которые она может принимать, в отличие от классического бита. Это и обеспечивает беспрецедентный параллелизм квантовых вычислений.

Томография квантового состояния

Томография квантового состояния – процедура определения матрицы плотности неизвестного состояния системы. Томография кван-

тового состояния состоит в определении всех элементов матрицы ik

или, если система находится в чистом состоянии cx x в бази-

x

се x , всех амплитуд cx cx exp i , включая их фазы.

Томография квантового состояния является развитием идеи измерения состояния системы в некотором базисе.

Пример 11.4. Матрицу плотности одного кубита можно разложитьпостандартномунаборуматриц преобразованиякубита I, X ,Y , Z :

Sp I I Sp X X Sp Y Y Sp Z Z,

где средние значения наблюдаемых X, Y, Z определяются по формулам

Найденные из измерений приближенные значения элементов матрицы кубита следующие:

289

Тензорные произведения

Разложение системы из многих кубитов по отдельным кубитам можно представить в виде тензорного произведения

Томографияквантовогосостоянияn кубитовквантовогокомпьютера

21n Sp A1 A2 ... An (A1 A2 ... An ),

где A I, X ,Y , Z .

11.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ НА КВАНТОВОМ КОМПЬЮТЕРЕ

Упрощенная схема вычисления на квантовом компьютере выглядит следующим образом:

1.Берется система кубитов, на которой записывается начальное состояние.

2.Затем состояние системы или ее подсистем изменяется посредством унитарных преобразований, выполняющих те или иные логические операции.

3.Вконцеизмеряетсязначение, иэторезультатработыкомпьютера. Квантовая схема состоит из входного квантового состояния не-

скольких кубитов и квантовой цепи.

Квантовые цепи обратимые, не имеют циклов, читаются слева направо и состоят из следующих компонентов:

–квантовые логические элементы, вентили (унитарные операто-

ры), выполняют логические операции над входными сигналами. Действие логического элемента описывается его таблицей истинности;

–квантовый регистр – набор ячеек, содержащих значение 0 или 1, т.е. набор кубитов;

–абстрактные провода передают сигналы между логическими элементами и регистрами.

Роль проводов квантового компьютера играют кубиты, а роль логических блоков квантового компьютера играют унитарные преобразования. Такая концепция квантового процессора и квантовых логиче-

290