книги / Теплотехнические измерения и приборы
..pdfВыражение (1-4-7) при ограниченном числе наблюдений дает несмещенную оценку среднего квадратического отклонения резуль тата наблюдений [1].
Для получения полного представления о точности и надежности оценки случайного отклонения результата наблюдения должны быть указаны доверительные границы, доверительный интервал и довери тельная вероятность. При известном а доверительные границы
указываются следующим |
образом: |
_нижняя |
граница — а |
или |
X — о, верхняя граница |
+ о или |
X + о (сокращенно ±ог |
или |
|
X ± а), за пределы которых с вероятностью Р = |
0,683 (или 68,3%) |
|||
не выйдут значения случайных отклонений xt ■— X или результатов отдельных наблюдений х,- ряда измерений. Доверительный интервал выражается в виде
1р = ( Х - а ; Я+ ст).
В зависимости от целей измерения могут задаваться и другие доверительные границы: *—tpa или X •— tPa и -j-/Pcr или X + tPo. Чтобы избежать при определении значения величины
t p - a g o f f î
обратного интерполирования табличной функции Ф (t) (1-4-6), пользуются специально составленной таблицей [1]. Значения tP для наиболее употребительных доверительных вероятностей при п -> оо приведены в табл. 1-4-1. В инженерной практике предпочте ние отдается вероятности 0,95 и 0,997.
Таблица 1-4-1
Значения tp для наиболее употребительных вероятностей при я->оо
р |
0,683 |
0 ,90 |
0,95 |
0,98 |
0 ,99 |
0,9 9 7 3 |
tp |
1 |
1,645 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,000 |
Оценка точности результата измерения. Для оценки достоверности_результата измерения, принимаемого равным среднему значе нию X, применяют показатель точности, аналогичный показателю точности результата наблюдения. При этом согласно теории погреш ностей оценка среднего квадратического отклонения результата
измерения Gj в У п раз меньше оценки среднего квадратического
отклонения результата наблюдения (1-4-7). Таким образом, при числе измерений п оценка среднего квадратического отклонения результата измерения
= V lü h ïh * - ^ - |
<Ь4-8) |
Доверительные границы погрешности результата измерения ука зываются следующим образом: нижняя граница <— или X — Oj,
верхняя граница или X + сг^, за пределы которых с вероят
ностью 0,683 не выйдут погрешности результата измерения или среднее арифметическое значение X. Доверительный интервал пред ставляют в виде
Ip = (X — aу; X -f-o'j).
В зависимости от назначения измерений может быть задана и дру гая доверительная вероятность. В этом случае доверительные гра ницы записываются как -—ipo^ или X •— tPсг^ и + / Ра^ или X +
+ tpOjr, a доверительный интервал
Ip —{X —tpOx', X + tpQj).
Оценка точности результата измерения при малом числе наблю дений. На практике, как правило, число измерений конечно и в боль шинстве случаев не превышает 15—20 отдельных наблюдений, а при ответственных измерениях <— нескольких десятков. При малом числе наблюдений (п < 20) и условии, что распределение погреш ностей отдельных измерений следует нормальному, пользуются для определения tP таблицей, основанной на распределении Стьюдента.
Измерения при малом числе наблюдений чаще дают преумень шенное значение средней квадратической погрешности по сравнению с погрешностью для достаточно большего ряда тех же измерений. Распределение Стьюдента, упрощенно говоря, учитывает это об стоятельство, и при одинаковой доверительной вероятности значе ние t = via больше в распределении Стьюдента, чем в нормальном. Иными словами, вероятность появления, например, одинаково боль ших погрешностей в распределении Стьюдента, т. е. при малом числе измерений, •— больше.
В табл. 1-4-2 приведены вычисленные по распределению Стью дента, вероятности (1 <— Р) появления погрешностей, превышающих
и За* в зависимости от числа измерений п.
Т а б л и ц а 1-4-2 Вероятности (1 — Р) появления погрешностей, превышающих о%, ^ах , 3°х
Число |
ах |
2ffx |
3ох |
Ч исло |
ах |
2<7х |
измерений |
измерений |
|||||
п |
|
|
|
п |
|
|
2 |
0,500 |
0,295 |
0,205 |
12 |
0,339 |
0,071 |
3 |
0,423 |
0,184 |
0,095 |
15 |
0,334 |
0,064 |
5 |
0,3 7 4 |
0,116 |
0,030 |
18 |
0,331 |
0,062 |
7 |
0,356 |
0,092 |
0,024 |
20 |
0,330 |
0,050 |
10 |
0,343 |
0,077 |
0,015 |
оо |
0,317 |
0,046 |
F со •
0,012
0,010
0,008
0,007
0,003
Распределение Стьюдента с k степенями свободы определяется следующим выражением:
|
A±1 |
|
a(t, k) |
2 |
(1-4-9) |
|
где Г (х) ■— гамма-функция:
Х - х
t
ах
Выражение (1-4-9) позволяет решить вопрос о вероятности не
равенств—tP < .t< .tp ,tp > |
0 для любого значения tP. Вероятность |
||||||
Р того, что ■—tp d с |
ip, |
определяется так: |
|
|
|||
|
|
|
tp |
|
|
ip |
|
P = P(— t p < t < t P)= |
$ |
a(t, |
k)dt = 2 $ a(t, |
k)dt. (1-4-10) |
|||
|
|
|
— t p |
|
0 |
|
|
Из (1-4-10) следует равносильная |
вероятность |
|
|||||
_ |
X < |
_ |
|
tpGx) = P = 2 |
* р |
k) dt. (1-4-11) |
|
Р ( Х - tp<5j < |
X + |
$ a (i, |
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
Если задана вероятность, то, пользуясь выражением для Р,
можно найти положительное число tp, которое будет зависеть только от Р и п.
Полагая
z = tpOJt |
(1-4-12) |
получаем из уравнения (1-4-11) |
|
Р ( Х - е < Х < Х + е) = Р; |
(1-4-13) |
при этом е будет зависеть от п, Р и значений xlt лга, л3, .... хп, кото.-, рые входят в е через <т^. Выражение (1-4-13) позволяет достаточно
точно произвести оценку приближенного равенства X » X.
При практическом применении распределения Стьюдента по грешность е среднего арифметического значения (результата изме рения) при малом числе наблюдений (п ^ 20) и заданной доверитель ной вероятности Р определяется из значений а или <т^, вычисленных
по формулам (1-4-7) или (1-4-8), с помощью выражения
в = = (1-4-14)
Значения tP для наиболее употребительных доверительных ве роятностей Р и различных k = 1 приведены в табл. П1-4-1.
При п |
оо ( п > 200) распределение Стьюдента сходится с нор |
мальным. |
_ |
Для оценки среднего арифметического значения X, принимае мого как окончательный результат измерения, указываются дове рительные границы и доверительный интервал при выбранной дове рительной вероятности. Доверительные границы указываются сле
дующим образом: нижняя |
граница X — е, верхняя граница X + |
|
+ |
е или сокращенно X ± |
е. Доверительный интервал выражается |
в |
виде |
|
Ip = (X — е; X + s),
где е определяется формулой (1-4-14) и выражается в единицах изме ряемой величины.
Если 8 выражается в долях среднего арифметического значения измеряемой величины, то доверительные границы указываются следующим образом:
Х ( \ ± е 0), 80 = ^ .
П р н м е р 1. В табл. 1-4-3 приведены данные 12 измерений термо-э. д. с. платинородий-платинового термоэлектрического термометра при температуре
рабочего конца 419, 58°С |
и |
свободных концов 0°С. Результаты измерений не со |
|||||||
держат систематических |
погрешностей. |
|
|
|
|
||||
Используя |
формулу |
(1-4-3), получаем среднее арифметическое значение |
|||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х =— У дгг= |
3436,4 |
мкВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
i== 1 |
|
|
|
|
Случайные |
отклонения |
результатов |
наблюдений хь — X и их |
квадраты |
|||||
(Xi — X ) 2 приведены |
в табл. |
1-4-3. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1-4-3 |
|
|
Данные измерения термо-э.д.с. платинородий-платинового |
|
|||||||
|
термоэлектрического термометра при температуре рабочего конца |
||||||||
|
|
|
419,58°С и свободных концов 0°С |
|
|
||||
|
|
|
Случайные отклонения |
|
|
Случайные отклонения |
|||
i |
Термо-э.д.с. |
и их квадраты |
|
Термо-э.д.с. |
и их квадраты |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
(xi), м«в |
х1 ~ х |
(xi~ X)2 |
|
t o ) , мкВ |
х1 ~ Х |
(*; ~ х) 2 |
||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
3436,8 |
+ 0 ,4 |
0,16 |
7 |
3436,0 |
- 0 ,4 |
0,16 |
||
2 |
3435,8 |
—0,6 |
0,36 |
8 |
3436,1 |
—0,3 |
0,09 |
||
3 |
3437,0 |
+ 0 ,6 |
0,36 |
9 |
3436,7 |
+ 0,3 |
0,09 |
||
4 |
3436,1 |
—0,3 |
0,09 |
10 |
3436,7 |
+ 0,3 |
0,09 |
||
5 |
3436,7 |
+ 0 ,3 |
0,09 |
11 |
3435,6 |
—0,8 |
0,64 |
||
6 |
3437,2 |
+ 0 ,8 |
0,64 |
12 |
3436,1 |
—0,3 |
0,09 |
||
Средние квадратические отклонения результатов наблюдения и измерения определяются соответственно по формулам (1-4-7) и (1-4-8):
|
( ^ - A ' ) 2 = j / r M i = 0 ,5 мкВ; |
|
О |
— =0, 14 мкВ. |
|
стх = |Л1 |
||
Y 12 |
Истинное значение термо-э. д. с. X термоэлектрического термометра можно приближенно положить равным найденному среднему арифметическому значе нию X , т. е. X « X . Для оценки достоверности этого равенства зададим довери тельную вероятность Р = 0,95 и найдем доверительные границы, соответствую щие этой вероятности. По табл. П1-4-1 для Р = 0,95 и к = п — 1 = 1 1 нахо дим tp — 2,2. Согласно выражению (1-4-14) получим:
в= f S -^ = 2,2 • 0,14= 0,308яв 0,3 мкВ.
В соответствии с принятым условием, т. е. с вероятностью 0,95, мы можем утверждать, что истинное значение термо-э. д. с, заключено между довери тельными границами:
Я —е = 3436,4 — 0,3 = 3436,1 мкВ;
X + е = 3430,4+0,3 = 3436,7 мкВ,
или |
X «г Х = 3436,4 ± 0,3 мкВ. |
Неточность оценки среднего квадратического отклонения и не обходимое число наблюдений. Как было сказано выше, среднее квадратическое отклонение а (или дисперсия сг2) при ограниченном числе наблюдений может быть определено только приближенно. При этом оценка а будет отличаться от среднего квадратического отклонения ап неограниченно большого ряда тех же измерений тем больше, чем меньше произведено наблюдений.
В математической статистике доказывается, что оценка сред него квадратического отклонения о (или а2), найденная при малом числе наблюдений в предположении нормального распределения, позволяет судить о среднем квадратическом отклонении ап (или а„) неограниченно большого ряда тех же наблюдений и найти довери тельный интервал для <т„ с заданной вероятностью Р:
P (kiOsg а„ k2a) — P. |
(1-4-15) |
Коэффициенты kx и k2 для вероятности P находят из условий (1-4-16)
Р (а „ < /г 2а)= -Ц -^ -. |
(1-4-17) |
Значения kx и k2 определяются из выражений
(1-4-18)
при %î* отвечающем вероятности Р х = (1 — Р)/2, k = n — 1;
ь-У Н г |
(1-4-19> |
при %1 для Р 2 = (1 + Р)/2, k = « *— 1.
Для определения значений xî и XÎ » отвечающих соответственно вероятностям Рх= (1 -— Р) /2 и Р 2 = (1 + Р)/2 и числу степеней сво боды k = п <— 1, пользуются таблицами распределения х12, которые обычно составляются только до k = 30, так как при степенях свободы более 30 распределение х2 может быть выражено через нор мальное *.
Доверительный интервал |
/ Р для |
среднего квадратического от |
|||||
клонения сг„ находят по выражению |
|
|
|
||||
|
|
1р = |
(/е1ст; |
&о). |
(1-4-20) |
||
Коэффициенты kx и /е2 для |
наиболее часто выбираемых вероят |
||||||
ностей Р (0,90; 0,95; 0,98; |
0,99), которым соответствуют вероят |
||||||
ности |
Рх = |
(1 — Р)/2 (0,05; |
0,025; |
0,01; 0,005) |
и Р 2 = (1 + |
Р)/2 |
|
(0,95; |
0,975; |
0,99; 0,995) со |
степенями свободы |
k = п <— 1, |
даны |
||
в табл. П 1-4-2. |
|
|
|
|
|
||
Следует отметить, что при малом числе измерений границы дове рительного интервала, заключающие внутри себя <х„, не располо жены равносторонне по отношению к вычисленному значению среднего квадратического отклонения. При достаточно большом числе измерений можно ожидать, что ап лежит в равносторонних границах.
П р и м е р 2. Определить доверительный интервал для ап, характеризую щий неточность определения приближенного значения а, по данным примера 1, если известно, что распределение близко к нормальному.
Выбираем вероятность Р = 0,95. По табл. П1-4-2 находим при k = п — 1 = 1 1
для P i = |
(1 — Р) /2 = 0,025 значение kx = |
0,709; для Р 2 = (1 + Р) /2 = 0,975 |
|
значение |
k2 = |
1,697. |
|
Доверительный интервал для а при выбранной вероятности Р = 0,95 и |
|||
значении а = |
0,5 найдем по формуле (1-4-20): |
||
|
|
7 p = ( V : V ) = (°-354; |
0,848) s» (0,4; 0,8). |
При точных измерениях важно знать, сколько нужно сделать наблюдений измеряемой величины X, чтобы в результате независи мых равноточных измерений получить приближенное равенство X ~ X с требуемой точностью и надежностью. Определение числа измерений для заданной точности среднего квадратического откло нения производится соответственно соображениям, изложенным ниже. Задаются вероятностью того, что среднее квадратическое отклонение а„ для большого числа наблюдений находится в неко торых границах, опирающихся на оценку среднего квадратического отклонения о при малом числе наблюдений.
1 Подробные сведения о распределении %2 и о методах нахождения довери тельного интервала для <тя содержатся в [1, 4].
Пусть, например, ставится вопрос о наименьшем числе измерений для опре деления среднего квадратического отклонения оп по небольшому ряду наблюде ний с дисперсией а2 при вероятности 0,95 для отношения верхней границы к ниж
ней |
2,4 (k2/ h — 2,4). Учитывая |
выражения |
(1-4-18) |
и |
(1-4-19), имеем: |
|
|
|
п |
1= к\Ул= |
î |
|
|
|
По табл. П1-4-2 для |
вероятностей Рх = |
0,025 |
и |
Р2 = 0,975 находим для |
|
заданного отношения k jki |
= 1,697/0,709 = 2,4 и наименьшее число наблюдений |
|||||
п = |
12. |
|
|
|
|
|
Если взять не столь широкие границы, то число наблюдений оказывается более значительным. Пусть при вероятности 0,95 границы установлены в zh0,l.
Определим |
число |
измерений |
для заданных условий, пользуясь формулой [4]: |
||
|
|
% 1 __*а _ |
t p + V 2 ( n — 2 ) - 1 |
||
|
|
Х2 ~~ |
~~ - t p + V 2 ( n - 2 ) - l ' |
||
Для k2 = 1,1, |
ki = 0,9 и |
tp = |
1,96, отвечающего вероятности 0,95, имеем: |
||
откуда п = |
194. |
|
|
W |
1-96" 19-6. |
|
|
|
|
||
С умёньшением ширины доверительной границы значительно растет число наблюдений. Поэтому для достижения желательной точности измерений необходимо заботиться не только о числе, но и о точности измерений отдельных наблюдёний, отражающейся на значении оценки среднего квадратического отклонения а.
Наблюдения, не заслуживающие доверия. Выше было сказано, что наблюдения, содержащие грубые погрешности, должны быть отброшены как не заслуживающие доверия. Поэтому необходимо уточнить, в каких же случаях сильно отклоняющиеся результаты измерения должны быть отброшены. На практике часто пользуются простым предложением отбрасывать результаты наблюдения, содер жащие большие погрешности, т. е. превышающие За или 4а. Однако этот прием нельзя считать достаточно строгим, так как погрешности являются случайными и потому появление большой погрешности само по себе не зависит от числа наблюдений.
При малом числе наблюдений для определения, какие наблюде ния из ряда подлежат отбрасыванию, применяют критерий В. И. Ро мановского, основанный на распределении Стыодента. Пусть при измерении некоторой постоянной величины получено п + 1 ре зультатов наблюдения хи х2, ..., хп, д;„+1. При этом п значений ре зультатов наблюдения измеряемой величины не вызывают сомне ний в отношении соответствия их закономерному ряду, а одно наблю дение х па1 кажется сомнительным в этом ряду. Определим для ряда наблюдений от хх до хп среднее арифметическое значение
*■=4 2 *
f=l
и оценку среднего квадратического отклонения
t=i
Далее, исходя из степени достоверности, которая должна быть обеспечена, зададимся вероятностью Pk того, что разность (хп+1 —
— Хп) не превышает некоторое допускаемое значение sft, определяе мое по формуле
еЛ= tkor.
Значения tk для различных Pk и п приведены в табл. 1-4-4.
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
1-4*4 |
|
|
|
Значения t^ для различных Рь и п |
|
|
|
||||
fl |
|
р к |
|
|
|
|
p k |
|
|
|
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,005 |
|
0,05 |
0,0 2 |
0,01 |
0,005 |
2 |
15,56 |
38,97 |
77,96 |
779,7 |
10 |
2,37 |
2,96 |
3,41 |
5,01 |
3 |
4,97 |
8,04 |
11,46 |
36,5 |
12 |
2,29 |
2,83 |
3,23 |
4,62 |
4 |
3,56 |
5,08 |
6,53 |
14,46 |
14 |
2,24 |
2,74 |
3,12 |
4,37 |
5 |
3,04 |
4,10 |
5,04 |
9,43 |
16 |
2,20 |
2,68 |
3,04 |
4,20 |
6 |
2,78 |
3,64 |
4,36 |
7,41 |
18 |
2,17 |
2,64 |
3,00 |
4,07 |
7 |
2,62 |
3,36 |
3,96 |
6,37 |
20 |
2,145 |
2,60 |
2,93 |
3,98 |
8 |
2,51 |
3,18 |
3,71 |
5,73 |
о о |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,29 |
9 |
2,43 |
3,05 |
3,54 |
5,31 |
|
|
|
|
|
Если е* < |
хп+1— Х п, наблюдение |
хп+1 подлежит исключению |
||||
из ряда, как не заслуживающее доверия. |
|
|
||||
П р и м е р |
3. В дополнение к наблюдениям, данные |
которых |
приведены |
|||
в табл. 1-4-3, |
было |
проведено |
тринадцатое |
наблюдение, |
значение |
которого |
*13 = 3440,4 мкВ, а |
отклонение |
от среднего |
х13 — Х п = |
+ 4 ,0 мкВ. Оценка |
||
среднего квадратического отклонения по результатам 12 наблюдений (табл. 1-4-3)
<*12= j/" -- jj~ - = 0 ,5 мкВ.
Задаваясь Pk = 0,005 по табл. 1-4-4, для п = 12 находим tk = 4,62 и опре деляем:
еА = 4,62 • 0,5 = 2,3 мкВ.
Тринадцатое наблюдение, для которого х13— Х 12 = + 4 ,0 мкВ, подлежит исключению из ряда, так как 4 > 2,3.
Оценка погрешности среднего взвешенного. В некоторых слу чаях при определении значения измеряемой величины приходится иметь дело с обработкой рядов прямых измерений различной досто верности, т. е. измерений, производимых с различной степенью точности или с различным числом наблюдений в каждом ряду и т. п. Вследствие этого не представляется возможным принять за наиболее
достоверное значение измеряемой величины среднее арифметиче ское из всех полученных результатов измерения. В этом случае необходимо ввести понятие о весе измерения как о числе, служащем мерой степени доверия к результату измерения. При этом, чем больше вес измерения (степень доверия к результату), тем большее число ему приписывается.
Учет различной достоверности результатов измерений отдель ных рядов приводит к определению так называемого «среднего взве
шенного» Хс>в по формуле |
|
|
X, |
Pi+Pa + -"+Pm |
(1-4-21) |
|
|
где Xj '— средние значения для отдельных групп наблюдений (/ =
=1 -г- т)\ pj *— соответствующие им веса измерений (/ = 1 н- т). Веса измерений, произведенных с различной степенью точности
чаще всего устанавливают обратно пропорциональными дисперсии а) (pj = I/o)).
Внекоторых случаях (например, при равноточных измерениях
сразличным числом наблюдений в каждом ряду) веса устанавлива ются пропорционально числу наблюдений в каждом ряду, взятых для вычисления среднего арифметического каждого ряда измерений. Вес ряда с наименьшим количеством наблюдений для удобства принимают за единицу, а веса остальных рядов находят как част ное от деления числа наблюдений в данном ряду на число наблюде ний ряда, вес которого принят за единицу.
Для оценки точности среднего взвешенного пользуются средним квадратическим отклонением, вычисляемым по формуле
где т ■— число рядов измерений.
Доверительные границы и доверительный интервал среднего взвешенного при заданной доверительной вероятности определяют аналогично рассмотренному выше.
Оценка точности косвенных измерений. В косвенных измерениях определение значения искомой величины у производится на ос новании прямых измерений других величин, связанных с у функцио
нальной зависимостью |
|
|
y = f(X lt |
X t , .... Хт), |
(1-4-23) |
где Xv (v = 1 ч - m) — средние |
арифметические значения |
прямых |
измерений с одинаковым числом отдельных наблюдений Хц, X 2i, ...
.. *, Xml {j* 1 “ ц)*
При определении искомой величины у полагаем, что результаты измерения величин Xv свободны от систематических погрешностей.
Погрешность результата косвенного измерения величины у зависит от погрешности результатов прямых измерений независимых друг от друга величин Xv.
Для оценки точности результата косвенного измерения величины
У применяют среднее квадратическое отклонение, |
вычисляемое по |
|||
формуле |
|
|
|
|
ОI |
( Л - |
|
( J L |
G'm> (1-4-24) |
- = т : 0Ï + |
'*? + . . . + |
\дХ„ |
||
где (ть сг2, ат— средние квадратические отклонения результа тов измерения величин X lt Х2, ..., Хт.
В зависимости от требований к измерениям может быть задана различная доверительная вероятность. Обозначая для выбранной доверительной вероятности Р через ev погрешности величии Xv, связанные с ovi или crv равенством
e v = |
, / — = tpGv |
Vп
иподставляя ev в формулу (1-4-24), получаем:
8| + ... + ( Л - \ * |
(1-4-25) |
\дХт) |
|
Погрешности <rv и ev в формулах (1-4-24) и (1-4-25) выражаются в тех же единицах, что и искомая величина у.
Если непосредственно измеряемые величины являются по своей природе разнородными, то пользуются относительными погрешно стями этих величин.
При использовании оценок средних квадратических отклонений Ovi значение погрешности результата косвенного измерения также будет приближенно.
Приведенные выше формулы для определения погрешности ре зультата косвенного измерения у могут быть использованы и в том случае, если у находится по отдельным значениям прямых изме
рений, т. е. |
|
y = f(xlt х.2, |
хт). |
В этом случае должно быть известно значение среднего квадра^ |
|
тического отклонения. |
|
1-5. Основные сведения о метрологических характеристиках средств измерений
При оценке качества и свойств средств измерений большое зна чение имеет знание их метрологических характеристик, позволяю щих выполнить оценку погрешностей при работе как в статическом, так и динамическом режиме.
Класс точности и допускаемые погрешности. Класс точности средств измерений является обобщенной их характеристикой,