книги / Физика для бакалавра. Ч. 1

стке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2·10–7 Н.

Ампер – основная единица в СИ.

Плотность тока. Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят век-

тор плотности тока j. Модуль этого вектора численно равен

отношению силы тока dI через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения

движения положительных носителей (или направление, противоположное направлению вектора скорости упорядоченного движения отрицательных носителей). Если носителями являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой

где ρ+ и ρ– – объемные плотности положительного иотрицательного зарядов – носителей; u+ u− – скорости их упорядоченного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны (ρ– < 0 и u+ = 0 ), плотность тока

Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора j ), которые проводят так же, как

и линии вектора E.

Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности S, можно найти и силу тока через эту поверх-

Сила тока I является величиной скалярной и алгебраической. Ее знак, как видно из формулы (16.3), определяется, кроме всего прочего, выбором направления нормали в каждой точке

поверхности S, т.е. выбором направления векторов dS. При из-

менении направления всех векторов dS на противоположное величина I меняет знак.

Уравнение непрерывности. Представим себе в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно,

и векторы dS принято брать наружу, поэтому интеграл jdS

дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V:

Это соотношение называют уравнением непрерывности.

Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда.

В случае стационарного (постоянного) тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т.е. в правой части (16.4) dq/dt = 0. Следовательно, для постоянного тока

иначе говоря, линии вектора j в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае постоянного токаполе вектора j не имеетисточников.

Электронная теория проводимости проводников была подтверждена опытами Т. Стюарта и Р. Толмена (1917 г.). Предположим, что на участке АВ проводника (рис. 16.1) имеется внеш-

282

нее электрическое поле, характеризуемое вектором Е. Потенциалы различных поперечных сечений проводника различны: потенциал для сечения А – ϕ1, сечения В – ϕ2.

Рис. 16.1

Под влиянием поля свободные электроны металла приобретают направленное движение со средней скоростью < v >. Значение средней направленной скорости найдем, рассмотрев электрон, находящийся в однородном электрическом поле, на-

пряженность которого Е. На электрон действует со стороны поля сила F, равная F = e E. Под действием этой силы электрон движется равноускоренно с ускорением

a = mF = eEm ,

где m – масса одного электрона.

Электроны между двумя соседними соударениями проходят в среднем путь < λ > (средняя длина свободного пробега), затрачивая на это время t = λ/u, где u – средняя скорость хаотического движения. Предположим, что при соударениях с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения, которую они приобретают под действием внешнего электрического поля за время t свободного пробега. Тогда скорость электрона изменяется от нуля до максимального значения:

vmax = at = a<λ > . u

283

Средняя скорость упорядоченного движения электрона между двумя соударениями

Если в единице объема проводника находится n0 электронов, то числовое значение плотности тока выразится формулой

характеризующую свойства проводника, называют удельной электрической проводимостью (электропроводностью), а об-

ратную величину

удельным электрическим сопротивлением проводника. Следовательно,

Формулы (16.11) и (16.12) выражают закон Ома для плот-

ности тока (закон Ома в дифференциальной форме): плотность тока j в каждой точке внутри проводника равна произведению удельной проводимости проводника на напряженность электрического поля в этой точке.

16.2.Закон Джоуля–Ленца

вдифференциальной и интегральной формах

Рассмотрим превращение энергии, происходящее при соударении электронов проводимости с узлами кристаллической решетки. В конце свободного пробега каждый электрон теряет скорость упорядоченного движения, приобретенную им под действием электрического поля за время свободного пробега. При этом энергия упорядоченного движения электронов преобразуется во внутреннюю энергию проводника, нагревающегося в процессе прохождения по нему электрического тока. Средняя энергия, приобретаемая одним электроном под действием поля на длине свободного пробега и преобразующаяся во внутреннюю энергию при столкновении электрона с ионом металла,

В единице объема проводника n0 электронов проводимости, каждый из которых испытывает в единицу времени в среднем u/<λ> столкновений с ионами – узлами кристаллической решетки. Следовательно, энергия тока, превращающаяся во внутреннюю энергию, в единице объема проводника за единицу времени, будет следующей:

285

Заменяя < vmax > по формуле (16.6), получаем

Выражение, стоящее перед E2, представляет собой удельную электрическую проводимость (см. формулу (16.8)). Следовательно,

Величину ω называют объемной плотностью тепловой мощности тока. Формула (16.14) называется законом Джоуля– Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

Как указывалось ранее при обсуждении основных положений электронной теории электропроводности металлов, энергия упорядоченного движения заряженных частиц, создающих постоянный ток, в результате столкновений с ионами кристаллической решетки проводника преобразуется в энергию беспорядочных тепловых колебаний ионов. Следствием этого обмена является нагрев проводников, несущих электрический ток.

Если нагревание – единственный результат протекания тока, то используя выражение (16.17) для объемной плотности тепловой мощности, можно определить количество теплоты Q, выделяющейся при этом в проводнике:

где V – объем проводника; t – время протекания тока по проводнику.

Так как объем равен произведению длины проводника на площадь поперечного сечения: V = Sl, a γE = j (см. формулу

(16.13)), то

286

W = jSElt, или W = IUt,

где jS = I, a El = U в случае однородного поля. Соответствующее этой энергии количество теплоты, выделяющейся в проводнике,

Формула (16.16) выражает закон Джоуля–Ленца, полученный ими экспериментально независимо друг от друга: количество теплоты, выделяемой током в проводнике, пропорционально силе тока, времени его прохождения и напряжению.

16.3.Электродвижущая сила источника тока

Кхарактеристикам электрической цепи относятся: ε – электродвижущая сила (ЭДС),

U – напряжение, R – сопротивление,

ρ – удельное сопротивление, γ – удельная электропроводность.

Электродвижущая сила ε – основная характеристика

электрической цепи. Если на концах проводника (рис. 16.2, а, участок 1-2) создать разность потенциалов (ϕ1 > ϕ2), то под действием электрического поля в проводнике перемещение носителей заряд приведет к тому, что поле внутри проводника исчезнет и, следовательно, ток прекратится. Для того чтобы поддерживать ток длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом ϕ2 непрерывно отводить приносимые сюда током положительные заряды, а к концу с большим потенциалом ϕ1 непрерывно их подводить. Иными словами, необходимо осуществить круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути (см. рис. 16.2, а, контур 1-2-3-4-1 ). Это возможно только в том случае, если наряду с участками, на которых положительные заряды движутся в сторону убывания ϕ (участок 1-2), есть участки, на которых перенос положительных

287

ское поле уравновешивается сторонними силами. При этом работа электрического поля при переносе единичного положительного заряда с положительного полюса на отрицательный будет равна и противоположна по знаку работе сторонних сил.

Величину работы, которую затрачивают сторонние силы на перемещение единичного положительного заряда с клеммы «–» на клемму «+» внутри источника, называют электродвижущей силой источника (ЭДС).

Напряжение. ЭДС источника в случае разомкнутого источника совпадает по модулю с разностью потенциалов на его клеммах (см. рис. 16.3)

Если к источнику тока подсоединить внешний участок цепи (рис. 16.4, а), то в замкнутой цепи установится постоянный электрический ток. При этом энергия источника тока затрачивается на перемещение +1 заряда не только внутри источника, но и во внешней цепи. Таким образом, напряжение на клеммах источника падает на величину работы, совершаемой источником во внешней цепи. В соответствии с этим ЭДС – величина, изме-

ряемая работой по перенесению единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи:

Рис. 16.4

289

Источники тока создают поле сторонних сил, характеризуемое напряженностью Естор . Тогда напряженность Е резуль-

где Екул – напряженность электростатического поля.

Предположим, что единичный положительный заряд обходит замкнутую цепь тока, содержащую ЭДС. Совершаемая работа определится интегралом по замкнутому контуру:

A+1 = (Elкул + Еlстор )dl = Elкулdl + Еlсторdl,

где индекс l означает проекцию напряженности на перемещение dl. Но циркуляция вектора напряженности, вследствие потенциальности электростатического поля равна нулю:

Elкулdl = 0.

Поэтому результирующая работа перемещения +1 заряда по замкнутому контуру, равная ЭДС источника (см. определение ЭДС), определится циркуляцией напряженности поля сторонних сил:

Величина Естор отлична от нуля только внутри источника

тока. Для всех других участков подынтегральное выражение равно нулю.

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении +1 заряда, называется падением напряжения или просто напряжением U на данном участке цепи.

Рассмотрим произвольно выбранный участок цепи, содержащий ЭДС:

290