книги / Структурно-аналитическая теория прочности

При втором напряженном состоянии ползучесть описывается сле­ дующей системой уравнений:

Соотношения аналогичного характера можно получить и для других напряженных состояний.

3.4. Учет микронапряжений. Температурное последействие

Любое реальное твердое тело, особенно поликристалличе-

не одинаковы в разных частях поликристалла коэффициенты теплового расширения, упругие постоянные, вязкопластические свойства и т. д. Вследствие этого при механическом нагру­ жении, температурном воздействии и пластическом течении среды в ней возникает неоднородное напряженное состояние. В условиях стационарной ползучести распределение напряже­ ний характеризуется не изменяющимися во времени, но за­ висящими от температуры и напряжения полями. Когда тем­ пературу или напряжения повышают или понижают, им от­ вечают новая скорость стационарной ползучести и другое детальное напряженное состояние. По названной причине по­ ле напряжений эволюционирует от первоначального уровня к новому, причем этот процесс совершается во времени, а сле­ довательно, приводит к эффектам деформационного последей­ ствия. Расчет механического поведения среды с учетом ее неоднородности является очень сложной задачей. Он требует корректного учета условий локального равновесия для напря­ жений, условий совместности для деформаций, характера рас­ пределения свойств среды по соответствующим переменным. В любом случае, однако, вычисляемые деформации механиче­ ского или температурного последействия [228, 235, 241, 242, 251, 351, 353—359, 368—370, 406, 437] оказываются малыми.

ми и опытом. Мы воспользуемся простейшими моделями сре­ ды с целью расчета последействия.

Главная трудность заключается в выборе определяющих со­ отношений для микродеформаций. Здесь сделаем следующие предположения. Во-первых, допустим, что все реологические свойства могут быть определены и выражены исключительно через деформацию /?зь Во-вторых, будем считать в этой связи, что все нужные физические свойства, определяющие деформа­ цию /?зь зависят от переменной х таким образом, что имеет место равенство

^31 (*>“ ^ 5 ^ + >'(*)*’+ & ( * ) •

Здесь G(x) и у (х) - соответственно эффективный модуль сдвига и эффективный коэффициент теплового расширения. Обе эти константы являются именно эффективными и не тождествен­

ными соответственно C ^ i и Узь Такие довольно сильные пред­ положения, казалось бы, противоречащие законам Гука и теп­ лового расширения, вообще-то говоря, не являются обязатель­ ными, но резко упрощают математические выражения и, как можно показать, качественно не влияют на конечный результат вычислений. Они оправдываются тем, что для любого конкрет­ ного вида нагружения все комцоненты напряжений и деформа­ ций эволюционируют во времени синхронно.

Третье предположение сформулируем, приняв для микроуров­ ня схему Фойгта, согласно которой

031 (*) ” 031 >

(3.24)

S Р О) *31 (*) dx= г31.

И

Здесь 031 и тз1 уже не зависят от переменной х; Р (х) - функция распределения по х; jx 1 есть совокупность переменной х. Если ввести переменную Д гз1 (х), равную

то (3.24) можно переписать в форме

м

Уравнение (3.26) выражает условие равновесия для микронап­

ряжений. В качестве определяющих соотношений для 31 при­ мем одно из следующих:

0 31 (*) = П\Т (*) 11*31 (*) sgn г31 (х) ]'*sgn г31 (х ), (3.27а)

кой к экспоненциальной. Ниже для определенности будем счи­

последействие, возникающее только при скачкообразном изме­ нении температуры от То до Т. Ограничимся вначале анализом

/?з\ непосредственно после скачка температуры от То до Т. Эта

После сделанных здесь замечаний рассмотрим ряд частных случаев.

3.4.1. Последействие, связанное с дисперсией скорости ползучести

Положив G (x) = G (G — эффективный модуль сдвига), у{х) = у

ипроделывая описанные вычисления, легко найдем, что для (3.27а)

и(3.27в) после скачка температуры от То до Т начальная скорость последействия составит

Здесь /?3i и Tj имеют смысл величин, усредненных в соответствии

Й. - Й. (г. r31) [(1 + ^ - ) ЛТ/Т - 1] - Й,(Г. г31) I АЛ I АТ ,

(3.31)

ще АЛ = Лэф - Л, ДГ = Г - То.

Наиболее существенный вывод теории сводится к следующему

предсказанию: в соответствии с (3.28)-(3.31), Г31) АТ не должно вовсе зависеть от напряжения и не должно сильно изменяться с интервалом температур АТ. Оба эти вывода полно­ стью согласуются с экспериментами. Кроме того, в материалах с сильно выраженной гетерогенностью структуры, когда последей­ ствие определяется именно данным механизмом, оно должно быть преимущественно отрицательным при нагреве и положительным

касается относительно чистых и сравнительно однородных однофаз­ ных материалов, то в них знак последействия должен быть пред­

почтительно положительным при нагреве и отрицательным при охлаждении.

Лишь при специальном (и, видимо, физически мало оправ­ данном) подборе коэффициентов в (3.27) имеет место обратный вариант.

3.4.2. Последействие, связанное с дисперсией температурной зависимости модулей упругости

Если т}(х) = rj и у(х) = у, то последействие в состоянии воз­ никнуть только из-за дисперсии напряжений, создающейся в процессе изменения температуры, т. е. только из-за того, что A^3i(7\ T Q, Т31, JC) * 0. Это в свою очередь в рамках рассматри­ ваемой модели может быть обусловлено лишь температурной зависимостью модулей упругости.

Произведя вычисления, легко найти, что

G(T, х) = G (То, л) [1 -* (?(* )Д Г ]

и принимая во внимание , что \K Q (X)&T I << 1 , получим после разложения соответствующих функций в степенной ряд

если для скорости ползучести справедливы соотношения со­ ответственно (3.23) и (3.276).

Здесь сразу необходимо отметить следующее: как известно,

конкретный вид функциональной зависимости /?§i однапряжения (и температуры) определяется не только используемым мате­ риалом, но в значительной степени еще областью температур и уровнем приложенного внешнего напряжения. При больших внешних напряжениях и умеренных температурах наиболее предпочтительной является зависимость типа (3.276). При малых напряжениях, видимо, лучшее приближение дает (3.27а). Учи­ тывая, что Ar3i(jc), как правило, весьма велико, а внешнее напряжение обычно, наоборот, мало, можно думать, что непос­ редственно после скачка температуры будет практически всегда работать формула (3.276), а затем по мере релаксации напря­ жений она либо сохранит свою силу (если внешнее напряжение для этого достаточно), либо перейдет в (3.27а) (если внешнее напряжение невелико). В силу сказанного для рассматриваемого

формула (З.ЗЗв), в которой, однако, /?3i ( T , r 3i) имеет такую зависимость от Г и Т31, какая предписана ей внешними усло­ виями (а не обязательно в формуле (3.276)).

С учетом этого замечания более справедливо соотношение (З.ЗЗв), которое приближенно можно представить в форме

где Ду имеет смысл некоторой эффективной ширины кривой дисперсии коэффициента теплового расширения.

Интересно, что (как и прежде в (З.ЗЗв)) (3.34), т. е.

* Г» * А

Ръ\/ръ\(Т, Г31) , зависит лишь от температуры, притом не очень сильно. Кроме того, последействие положительно как при на­ греве, так и при охлаждении.

Из (3.33) и (3.34) вытекает также следующий крайне важ­ ный вывод: сама по себе дисперсия коэффициента теплового расширения не приводит к последействию, если не приложено

внешнее напряжение, т. е. когда /?31 = 0. Последействие не воз­ никает и тоща, когда относительно Г31 соблюдается линейное приближение (л = 1 в (3.33а)). Оба эти вывода теряют, однако,

время хорошо известен, и к его обсуждению мы еще вернемся в гла­ ве 4 [160—167, 224, 226, 239,252, 352, 357, 365, 376 ].

Если положить G (х) —G , то из (3.36) немедленно последует, что последействие за цикл равно

рина кривой ciieicTpa распределения tj.

Из (3.37) видно, что необходимым условием формоизменения рас­ сматриваемого типа должны быть, во-первых, наличие корреляции между коэффициентом теплового расширения и скоростным коэффи­ циентом ползучести т/ и, во-вторых, зависимость относительной дис­ персии коэффициентов ц от температуры.

Если, с другой стороны, считать, что rj (дс) = rj, то из (3.36) нетрудно установить, что последействие как при нагреве, так и при охлаждении станет отличным от нуля лишь при наличии корреляции между у и G. Интересно, однако, что такая корре­ ляция недостаточна для накопления необратимой деформации за

пературный коэффициент, то при любом характере корреляции

t t

Иными словами, причина неограниченно нарастающей деформа­ ции может быть также обусловлена корреляцией между коэффици­ ентом теплового расширения и температурным коэффициентом мо­ дуля упругости.

Обсуждение проблемы необратимого теплового формоизменения в целом будет проведено в следующей главе.

3.4.4.1. Начальная скорость последействия

Скорость деформации последействия непосредственно после скачка температуры удобно оценивать по величине критерия

Ô = /?з! (Г, Т0, r 3i)//?3j (T, r3I) . Расчеты по приведенным выше фор­ мулам дают следующие результаты: дисперсия модулей упругости не может привести к скорости последействия большей чем 10 - 10 ’ 3 от скорости установившейся ползучести, если принять АТ ~ 50 К ,

KG » 10- 4 К- 1 , п = 4 , уо~ 4 кДж/(моль • МПа). Несколько боль­ шее последействие возникает из-за дисперсии АЛ/А (см. (3.31)). Положив АЛ/А « 1 и Д77Г » 1/4, нетрудно подсчитать, что <5« 0.2. Такой эффект уже нетрудно обнаружить на фоне ползу­ чести. Еще значительнее скорость последействия, обусловленного

таких умеренных условий, что начальная скорость последействия должна в несколько раз превысить установившуюся скорость пол­ зучести. Наконец, если причина последействия заключается в дисперсии теплового расширения, в соответствии с (3.34), положив

типа последействия характерно также, что оно не исчезает и при ^31 = 0 .

3.4.4.2. Величина последействия

Максимальное последействие, обусловленное пространственной дис­ персией в среде, нетрудноориентировочнооценить, либо пользуясь линей­ ным приближением, либо задаваясь такой функцией распределения Р(х), когда можно получить полное решение системы уравнений. Соответствую­ щие вычисления показывают, что дисперсия энергии активации не должна

приводить к последействию, существенно большему, чем приблизительно _а

731 / G , т. е. большему, чем околю 10 относительной деформации. После­

АТ » 10-20 К дает Д $н 1=5 10 ~5. Дисперсия коэффициентов тепло­ вого расширения при больших внешних напряжениях в состоянии

вызвать последействие порядка АуАТ, т. е. около 10 при АТ * 10-20 К. Когда внешнее напряжение отсутствует, последейст­ вие за полный тепловой цикл, согласно вышеприведенным оценкам