книги / Системы экстремального управления

Резюмируя сказанное, можно утверждать, что поро­ говую фильтрацию следует применять для объектов, на которых основные затраты идут на производство рабочих шагов, а пробные шаги делаются почти без затрат. В этом

Рис. 9.1.4. Поведение среднего смещения к цели в функции зашум­ ленности объекта.

случае простои не будут оказывать влияние на быстродей­ ствие поиска и среднее смещение к цели на один рабочий шаг будет равно

где Р°ошопределено выше в (9.1.10). Делая порог Ôдоста­ точно большим, можно эффективно увеличивать среднее

смещение S0 вплоть до максимального Sm&x =

§ 9.2. Накопление в процессе поиска с дискретными помехами

Для того чтобы снизить эффект действия помех, можно ввести накопление, которое заключается в повторном те-кратном измерении показателя качества в одной и той же точке £/. Среднее значение этих замеров и принимается

гд е | т — о ср е д н е н ы а я п о м е х а

(9.2.2)

i= l

Ее математическое ожидание также равно нулю, а дис­ персия в т рае меньше

Это и обеспечивает успех накоплению.

Рассмотрим статистические свойства поиска с накоп­ лением. В качестве исходного алгоритма возьмем, как обычно, поиск с парными пробами.

Получаем выражение для вероятности ошибочного решения

и среднего рабочего смещения

Введем понятие среднего относительного смещения, ко­ торое численно равно среднему рабочему смещению, де­ ленному на число определений показателя качества, не­ обходимых для того, чтобы сделать этот рабочий шаг;

< 9 - 2 - 6 >

Эта характеристика наиболее полно определяет быстро­ действие поиска. Действительно, почти все затраты поис­ ка связаны, прежде всего, с определением показателя качества, поэтому, естественно, затраты здесь равны 2т (по т измерений в каждой точке x t ±g). Проанализируем полученные формулы. На рис. 9.2.1 показано поведение вероятности ошибки и среднего относительного смещения

2. Введение накопления снижает быстродействие зна­ чительно сильнее, чем вероятность ошибки.

Указанное вовсе не означает, что не могут встретиться случаи, когда следует выбирать объем накопления т до­ статочно большим. Это, например, необходимо, когда нельзя уровень ошибок делать больше, чем допустимо.

В этом случае объем накопления либо должен быть рассчитан на самый худший случай, либо изменяться в за­

висимости от величины х= . Такая последняя система поиска является самонастраивающейся. Рассмотрим ее.

§ 9.3. Самонастраивающаяся система экстремального управления

Проблема самонастройки здесь возникает в связи с тем, что в процессе поиска величина одного из важнейших па­ раметров — коэффициента зашумленности х —изменяет­ ся. Это изменение может происходить по двум причинам; 1) изменение уровня помехи а и 2) изменение величины

В большинстве же случаев параметр к { изменяется в зна­ чительных пределах, изменяя и параметр зашумленно­ сти х.

Задача самонастройки заключается в том, чтобы оце­ нить величину х и определить объем накопления т таким образом, чтобы уровень ошибок в системе поиска не пре­ вышал заданного значения {};

где Е (•) —целая часть (по не меньше единицы), а вели­ чина q зависит от уровня (3 очевидным образом;

Здесь и далее значком сверху обозначена приближенная

оценка, a AQa —приращение показателя качества в ;-м цикле (; = 1, . ?П{). Теперь оценка объема накопления будет выглядеть так:

На рис. 9.3.1 показана блок-схема самонастраиваю­ щейся таким образом системы поиска. Здесь значение AQ' осредняется на базе те* измерений в накопителе Н и поступает в вычислительное устройство ВУ. На выходе

этого устройства получается оценка те*+1:

1^1 ч

которая используется на следующем этапе поиска после того, как будет сделан рабочий шаг.

Как видно, такая система самонастройки будет в сред­ нем стремиться к оптимальному объему накопления те, которое соответствует заданной вероятности ошибки р. Однако ввиду конечности те полученная оценка будет слишком приближенной и будет сильно колебаться относительно оптимального значения те*. Эти колебания могут быть значительными особенно при высоком уровне помех.

Поэтому при высоком уровне помех целесообразно введение операции сглаживания, срезающей эти случай­ ные колебания. Работает это сглаживание следующим образом:

где у —целое положительное число. Очевидно, что такое сглаживание не позволяет изменять объем накопления больше чем на величину у за один этап поиска. Эта мера «срезает» всплески и делает работу самонастройки более равномерной. Однако, как всякое сглаживание, она уменьшает быстродействие системы самонастройки.

Б. Свойства помехи неизвестны. Рассмотрим теперь случай, когда дисперсия помехи неизвестна и изменяется

в процессе поиска. Очевидно, что система самонастройки должна быть расширена с целью оценки дисперсии а2.

Это может быть сделано следующим образом. Извест­ но, что

откуда, учитывая (9.3.11), нетрудно получить оценку дисперсии помехи о2.

Она равна

т .

Вычислительное устройство ВУ реализует оценку (9.3.13) и вычисляет лг,+1 по формуле (9.3.2).

Очевидно, что такая схема имеет более дисперсные свойства, чем предыдущая, так как дополнительные слу­ чайные возмущения получаются за счет введения оценки дисперсии. Снижение дисперсии оценки оптимального объ­ ема накопления можно сделать путем аналогичного введе­ ния операции сглаживания по формуле (9.3.10).

§9.4. Последовательное накопление

Впредыдущемпараграфе рассмотрено поведение экстре­ мального объекта с помехами в процессе поиска при фик­ сированном (на данный момент) объеме накопления т. Задача заключалась в том, чтобы определить такое зна­

чение объема накопления, для которого вероятность ошибки была бы заданной [9.3, 9.4].

Как известно, успех экстремального управления за­ ключается в правильности определения знака прираще­ ния AQ. Измерения позволяют определить лишь

где AQ —действительное приращение функции качества, AQ' — измеренное; для поиска с парными пробами имеем

е1 и е2 —случайные ошибки, к —градиент функции ка­ чества (тангенс наклона характеристики)

Для AQ' получаем при алгоритме с парными пробами

где а2 —дисперсия помехи. Причем m-кратное опреде­ ление AQ’ дает следующее значение суммы;

Видно, что полезный сигнал суммы увеличивается в т раз,

А. Вальд [9.5, 9.6] предложил при выделении полезно­ го сигнала не фиксировать объем выборки в процессе на­ копления, а определять его в момент, когда модуль сум­ мы (9.4.5) достигнет определенного уровня. Если эта сум­ ма окажется равной некоторому положительному порогу А, то естественно (с определенной вероятностью) пред­ положить, что и полезный сигнал имеет положительный знак. Если же сумма (9.4.5) станет меньше отрицатель­ ного порога ( — А), то с той же вероятностью можно счи­ тать, что и полезный сигнал отрицателен. Таким образом,

алгоритм принятия решения о знаке AQ имеет вид:

накопление продолжается, т. е. т -> m -f 1 .

Связь между величиной порога Л и вероятностью ошибки Р для алгоритма с парными пробами имеет вид

(Здесь и ниже к — модуль градиента показателя качества,

которая показана графически на рис. 9.4.1. Отчетливо вид­ но, что с увеличением модуля наклона экстремальной ха­

рактеристики к вероятность ошибки Р уменьшается. Это аналогично случаю с фиксированным объемом на­ копления. Число шагов, необходимое для окончательного принятия решеппя при последовательном накоплении, является случайной величиной. Ее среднее значение

равно при Р<С~2~

— р

(9.4.10)

да = т $ - ( т - />) 1п -

Хорошо видно, что эта величина возрастает с уменьшением вероятности ошибки Р.

Определим среднее смещение к цели на одно вычисле-

ние показателя качества. Оно равно для Р

Эта функция монотонно возрастает с увеличением Р от О до 1/2. Следовательно, оптимальным Р, с точки зрения быстродействия, следует считать Р = 1/2, которое приво­ дит к нулевому порогу А = 0. Нулевой порог означает, что наибольшее быстродействие обеспечивает . 4 = 0 , что и следовало ожидать, так как при этом отсутствует накоп­ ление, которое, как известно, всегда снижает быстродейст­ вие поиска. Заметим, что при А = 0 рассматриваемая система поиска в точности совпадает с обычной системой без накопления (при т = 1 ), рассмотренной в § 8 .2 . Следовательно, максимальное быстродействие (при А = 0 ) равно

Ошибка при этом максимальна и имеет вид

Представляет интерес сопоставить эффективность поис­ ка с фиксированным объемом накопления (он исследован в § 9.2) и с последовательным накоплением, рассмотрен­ ным в этом параграфе.

Прежде всего, сопоставим их быстродействие, т. е. среднее смещение к цели на одну пробу. Для этого рас­ смотрим поведение отношения средних смещений для обоих алгоритмов:

(1 — 2Р) In — р —

где Ф- 1 — функция, обратная Ф. Эта величина показывает, во сколько раз быстродействие алгоритма с последова­ тельным накоплением больше быстродействия алгоритма поиска с фиксированным объемом накопления при одина­