книги / Прочность и колебания элементов конструкций

влияние отбрасывания усилий Y y, мы можем утверждать, что в случае растяжения пластинки конечной ширины 2b при отношении 8/6=1/4 растягивающие усилия в точках а, а не больше 3,18/7. То есть возрастание напряжений в опасных точках для данного слу­ чая не превосходит 6%. При меньшем отношении р/b влияние конеч­ ности ширины пластинки будет еще меньшим.

§ 9. Работа П. А. Велихова

Статья П. А. Велихова нас заинтересовала потому, что мы ожи­ дали в ней найти прямое решение задачи, поставленной и путем под­ бора решенной Г. Киршем. Первую часть своей статьи автор посвя­ тил изложению начал гидродинамики и описанию некоторых гид­ родинамических аналогий. Аналогии эти весьма важны в теории упругости, они придают большую наглядность задачам о кручении призм, они же помогли А. Фёпплю решить поставленную им задачу о скручивании валов переменного диаметра 1). Мысль о применении гидродинамической аналогии к решению задачи о распределении на­ пряжений в пластинках не представляется новой. В 1898 году проф. X. Хелл-Шоу2) пользовался прибором, в котором для иллюстрации распределения напряжений в пластинке жидкость пропускалась тонким слоем между двумя параллельными стеклянными пластин­ ками. Этим прибором пользовался Джон Смит 3) для изучения рас­ пределения напряжений в некоторых частях обшивки судов. Гид­ родинамическая аналогия в таком виде, как она представлена у П. А. Велихова, дает только указания на характер распределения напряжений, но не дает никаких численных результатов, как то имеет место в случае кручения. В конце концов автору все же приш­ лось определять коэффициенты, идя медленным и утомительным пу­ тем последовательного подбора. Цель этого подбора для нас тем бо­ лее не ясна, что заранее известен тот результат, к которому при­ дешь — решение Г. Кирша.

Для получения экспериментальным путем закона распределения напряжений интересно было бы в этом случае воспользоваться дру­ гой аналогией, именно аналогией между распределением напряже­ ний в случае плоской задачи и изменением кривизны изогнутой

application to the teeth of wheels and for other purposes. Report of the sixty-eighth meeting of the British Association for the advancement of science. Held at Bristol

tion and approximate magnitudes of the principal stresses in certain parts of ships. Engineering, 1906, vol. 82, September 28, pp. 436—439.

122 О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ

Г. Лэмба 2), но изложение не везде достаточно ясно, есть и ошибки.

функции координат и при переходе от одного элемента тела к дру­ гому меняют свою величину.

Вторая часть работы П. А. Велихова посвящена подбору выра­ жений для напряжений. В самом начале автором не установлено, что он будет трактовать задачу как случаи плоской деформации, и потому в дальнейшем изложении ему приходится делать ряд огово­ рок, например, на стр. 41 при определении напряжений Y z,Zx, на стр. 46 относительно напряжения Z*— это делает само изложение запутанным. При составлении выражений для перемещений на стр. 48 автор почему-то пропускает произвольные функции, которые войдут при интегрировании, они должны быть так определены, чтобы исключить перемещения пластинки, как целого. При опреде­ лении коэффициентов, на стр. 50, автор пользуется положением, что распределение напряжений не зависит от упругих свойств мате­ риала. В случае плоской задачи это всегда верно только для одно­ связных контуров, для сложных контуров необходимо еще вы­ полнение дополнительных условий3). (В случае, разобранном у П. А. Велихова, эти условия соблюдены.)

При исследовании пластинки конечной ширины автор подби­ рает коэффициенты таким образом, чтобы сумма растягивающих усилий по поперечному сечению, проходящему через центр отвер­ стия, равнялась силе, растягивающей пластинку; при этом автор почему-то пропускает напряжения Х у, которые, при выбранных величинах коэффициентов, будут действовать по продольным сто­ ронам пластинки. Результаты, полученные автором для отношения а/Ь= 1/4, кажутся нам несколько преувеличенными. Вычисленные автором величины наибольших деформаций также отличаются от

3) W i e g h a r d t [К.]. Ober ein Verfahren, verwickelte theoretische Spannungsverteilungen auf experimentellem Wege zu finden. Zeitschrift des Vereines deut-

*) М i с h е 1 1 J. Н. On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates. Proceedings of the London Mathematical Society [1899], 1900, vol. 31, № 686, pp. 100— 124. CM. p. 112.

полученных нами, так как они определялись при условии существо­ вания напряжений 1 г.

Третья часть работы П. А. Велихова посвящена опытам и прак­ тическим выводам. Важно отметить, что автор стоит на точке зре­ ния «теории максимальных касательных напряжений» и, следова­ тельно, теория эта у нас в России уже находит практическое приме­ нение, чего нельзя не приветствовать. Нужно пожалеть, что при изучении влияния четырех отверстий на распределение напряже­ ний автор не применил световой методы, которая могла бы дать дос­ таточно точные числовые результаты.

Полученные автором теоретические выводы вполне применимы к случаю отверстий, не заполненных заклепками. При наличии за­ клепки задача становится гораздо сложнее — здесь пока теория ничего не дает, и выводы, сделанные автором относительно диаметра заклепочной головки, относительно влияния направления зигзага и расстояния между осями заклепок, можно принять только в том случае, если они не уклоняются от выработанных практикой норм.

12 октября 1907 года

Напряжение, соответствующее функции (1), составится из трех элементов:

1) из равномерного растяжения в плоскости кольца

_ Р CTl — InR ’

2) из сжатия по направлению /V

3) из сжатия по направлению г,:

Рассмотрим закон распределения напряжений по горизонталь­ ному диаметральному сечению ab диска (рис. 3).

Для любой элементарной площадки этого сечения, находящейся на расстоянии х от центра О,

Г1 = гг= У & + х*

и

Радиальные напряжения аГ1 и <хг> в сумме дадут напряжение, нормальное к площадке тп и равное

Тангенциальное напряжение по той же площадке, очевидно, будет равно нулю. На рис. 4 закон изменения напряжения а представлен

графически. Наибольшее напряжение соответствует центру диска и равно 3P/lnR.

Ряд значений заключенного в скобки множителя формулы (2) приведен в таблице А.

Если в центре диска сделать отверстие, то произойдет перераспре­ деление напряжений, и если диаметр отверстия мал по сравнению с диаметром диска, то значительные изменения в величине напряже­ ний произойдут лишь вблизи отверстия. Изменения напряжений по горизонтальному диаметральному сечению с достаточной точностью