книги / Mathematica 5. ╨б╨░╨╝╨╛╤Г╤З╨╕╤В╨╡╨╗╤М

есть общий численный множитель — так называемое содержание многочлена. Если содержание многочлена равно единице, то список начинается с {1,1}.

FactorList[хЛ3+уЛ3+гЛ3-3*х*у*г] {{1 / 1 }/ {х + у + z, 1 },

{х2 - х у + у2 - X Z - у Z + Z2, 1}} FactorList[(b-c)А3+(с-а)л3+(а-b)л3]

{{-3,1},{a-b, 1}, {а-с, 1},{b-c,1}}

...} ] дает список множителей poly. Первый элемент в списке есть общий числовой множитель, второй — множитель, не зависящий ни от одного из х7, х2, После­ дующие элементы есть множители, не зависящие от как можно большего числа пере­ менных х7, х2,

Деление многочленов

PolynomialQuotient [polyl, poly2] дает частное от деления многочлена polyl на

[ многочлен poly2, a PolynomialRemainder [polyl, poly2] — остаток.

[

[ Наибольший общий делитель многочленов

Важнейшими операциями при работе с полиномами являются нахождение наиболь­ шего общего делителя и наименьшего общего кратного. Выражение PolynomialGCD [polyl, poly2] представляет собой наибольший общий делитель многочленов polyl и polyl. При вычислении наибольшего общего делителя все символьные параметры в полиномах трактуются как переменные, и деление на них не допускается.

PolynomialGCD [хЛ3000-1, хЛ1503-1 ]

-1 +х3

Наименьшее общее кратное многочленов

Выражение PolynomialLCM[/?o/y2, poly2] представляет собой наименьшее общее кратное многочленов polyl и poly2.

Результант

Выражение Resultant [polyl, poly2, var] представляет собой результант много­ членов polyl и poly2, рассматриваемых как многочленов от переменной var.

'Resultant [а*хЛ2+Ь*х+с, 2a*x+b, х]

-аЬ2+ 4 а2 с

Поле рациональных дробей

Дробь, числитель и знаменатель которой — полиномы, называется рациональной дробью. Уже знакомые нам функции Expand и Factor могут применяться к рацио­ нальным дробям. Функция Expand раскрывает произведения и целые положительные степени в числителе и представляет рациональную дробь в виде суммы дробей, зна­ менатели которых совпадают со знаменателем исходной рациональной дроби, а чис­ лителями этих дробей служат отдельные слагаемые в раскрытом числителе исходной рациональной дроби.

Функция Apart раскладывает рациональную дробь на простейшие.

Функция Factor, примененная к сумме рациональных дробей, приводит их к об­ щему знаменателю и раскладывает*на множители числитель и знаменатель получен- j ной рациональной дроби: ]

Factor[ххх]

(110 (-701258342400 + 800072494848 х2 -

266656848480 х А + 38998452592 хб-

2961041910 х8 + 126478473 х10 - 3131480 х12 + 44286 х14 - 330 х16 + х*8)) /

Функция Together приводит рациональные дроби к общему знаменателю и после их сложения сокращает общие множители, в числителе и знаменателе.

Together[ххх]

(110 (-701258342400 +800072494848 x2 -

266656848480 x4 + 38998452592 x6 -

2961041910 x8 + 126478473 x10 -

3131480 x12 + 44286 x14 - 330 x16 + x18)) / ((-100 +x2) (-81 + x2) (-64 + x2) (-49 + x2)

(-36 + x2) (-25 + x2) (-16 + x2) (-9 + x2) (-4 + x2) (-1 + x2))

Общие множители в числителе и знаменателе рациональной дроби не сокращают­ сяавтоматически. Чтобы их сократить, прибегают к функции Cancel:

х2 - 4 х х 2 + 3 х - 4

Можно раскрывать скобки только в числителе или только в знаменателе рацио­ нальной дроби. Для этого предназначены функции ExpandNumerator и Expand Denominator. Получить числитель и знаменатель рациональной дроби можно с помо­ щью функций Numerator и Denominator, т.е. тех же самых функций, что используются для получения числителя и знаменателя рационального числа.

Для упрощения различных выражений, в том числе и рациональных, полезно применять функцию Simplify, которая выполняет алгебраические преобразования над выражением и приводит его к простейшей (с точки зрения системы Mathematica) форме. Данную функцию удобно применять в постфиксной входной форме, т.е. при­ писывая ее имя после / / в конце входного выражения:

xxx=Sum[2*п/(хА2-пА2)-11/((х-(11-n)) (x+n)),{n,1,10}]

-25 + х2 + -16 + х2 + -9 + х2 + -4 + х2 + -1 + х2

ххх//Simplify

О

Функцию sim plify можно применять также для упрощения выражений при оп­ ределенных условиях. Вот пример.

S i m p l i f y[аА3+ЬА3+сА 3-3 *а*Ь*с,+ + = 0 ]

О

Линейная алгебра

Произведения векторов и матриц

Скалярное произведение векторов и матриц обозначается точкой.

{ a i, а2 , а3}.{!>!, Ь2 , Ь3} ai bi + а2 b2 + а.зЬ3

Для вычисления векторного произведения векторов применяется функция C r o s s . Она обозначается крестиком. Вот как вычисляется обобщенное векторное произведе­ ние пяти векторов в шестимерном пространстве.

{1,3,4,5,7,6}х{2,4,5,7,8,1}х{4,5,3,1,2,7}х{3,3,3,4,2,5}х{4,2,1,2,2,5} {522,-1076,1379,-580,60,-55}

Нормы векторов и матриц

С помощью функции Norm можно вычислять разнообразные нормы векторов и матриц.

Norm[{а,b, с} ]

VAbs [а] 2 + Abs [b] 2 + Abs [с] 2

Norm[ {a,b, с} ,m]

(Abs [a]m + Abs [b]m + Abs [c]m)m

Norm[{{a,b},{c,d} },°°]

Max [Abs [a] +Abs [b] ,Abs [c] +Abs [d] ]

Norm[{{a,b},{c,d}},1]

Max[Abs[a]+Abs[c],Abs[b]+Abs[d]]

Обратные и псевдообратные матрицы

Совсем просто выполняется обращение неособенных матриц.

I n v e r s e к:а .b)]"' MatrixForm

(

са

Особенная матрица не имеет обратной, но для нее можно определить псевдообратную, т.е. такую, произведение которой на исходную наименее уклоняется (по сум­ ме квадратов) от единичной матрицы. (Конечно, для неособенной матрицы ее псевдообратная совпадает с обратной.)

P s e u d o in v e r s e [ | ^ * ) ] / / M atrixForm

Inverse[m]

Inverse::sing

Matrix {{1, 2}, {1, 2}} is singular. More...

Inverse[{{1,2},{1,2}}]

MatrixForm[p=PseudoInverse[m]]

С помощью псевдообратных матриц можно находить решения несовместных сис­ тем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений

Пусть имеем систему линейных уравнений т х = v, где т — матрица системы, а V—вектор правых частей. Ее решение можно найти так.

{ 9 , - 5 , 0 }

Вот как проверяется результат.

m.x-v

{0,0}

Имеются, конечно, и функции для специализированных методов, таких как Гауссово исключение, разнообразные декомпозиции, вычисление миноров и т.д.

Анализ

Пределы

Для вычисления пределов предназначена функция Limit. Вот примеры нахожде­ ния нескольких пределов.

Limit[Sin[Pi*x]/Sin[4Pi*x] ,x->l]

" 4

Limit[хЛ2*(Exp[1/x]-Exp[1/(x+1)]), x->Infinity]

1

Limit[(ArcSin[3x] -Sin[x]л2)/ (Tan[x]A2+Log[l+7x]),x->0]

3_

7

Limit[(ал (хл2)-Ьл (хл2))/Log[Cos[2x]],x->0] у (-Log[a] + Log[b])

Абсолютно ничего сложного. Но помните, что если двустороннего предела нет, система Mathematica может пытаться подсунуть односторонний вместо него, причем даже предупреждения не будет! Вот тривиальный классический пример, показываю- [ щий, что в случае разных односторонних пределов система Mathematica в качестве

двустороннего предела просто подсовывает любой из односторонних.

Limit[ArcTan [1 / (1-х) ],х->1]

п_

"У

Limit[ArcTan[1/(1-х)]>х->1,Direction->l]

л

Т

Limit[ArcTan [1 / (1 -х) ],х->1 ,Direction->-l]

Я

‘ У

Дифференцирование

Для дифференцирования в системе Mathematica предусмотрена команда (функция)

12 х5

(1 +х!2)2

Заметьте, что выражение, полученное в результате дифференцирования, пришлось упрощать, так как автоматически упрощение не выполняется!

Вот еще один пример.

D [Abs [хЛ2],х]

2 Abs [х] Abs'[х]

Подход, я бы сказал, весьма формальный. (Зато он работает даже для функций комплексного переменного!) Из-за формализма вычисления зачастую могут выпол­ няться не до конца.

D[Abs[хЛ2],х]/.х->1

2 Abs'[l]

Но в целом, если подобные примеры во внимание не принимать, система Mathematica успешно справляется и с вычислением частных (в том числе и смешан­ ных) производных.

Для вычисления полных дифференциалов предусмотрена команда Dt.

Ряды

Разложение в ряд Тейлора

Вот как функция tg(x+x3)—sir^x+x3) разлагается в ряд Тейлора:

Чтобы отбросить остаточный член, можно воспользоваться командой Normal:

Ниже приведен пример разложения в ряд Тейлора функции двух переменных.

Series [Sin [x y ] ,{x, 0, 9}'t{y, 0, 9} ]

(У + 0 [y ] 10) x+ + O [y ]10| x3 +

(362ШГ +oty]1°) x9 * o[xj10

Normal[Series[Sin[x y] ,{x,0,9},{y,0, 9}]]

Заметьте, что для отбрасывания остаточных членов понадобилась только одна ко­ манда Normal.

Арифметические операции над рядами

Конечно, ряды можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. Причем все действия система Mathematica выполняет практически без дополнительных подсказок. Пусть имеем, например, два ряда Тейлора.

Конечно, это есть начальный отрезок ряда, представляющего частное функций.

Исследование функций и построение графиков

Едва ли можно указать единую схему, пригодную для исследования абсолютно всех функций. Так что едва ли стоит удивляться, что в курсах анализа можно найти множество таких схем — от совсем кратких, похожих на весьма общие указания, до обширных, развернутых, с множеством всевозможных пунктов, в большинстве своем не имеющим никакого отношения к конкретной исследуемой функции. Однако все такие схемы обычно имеют несколько общих пунктов.

Определение интервалов возрастания и убывания функции

Найдем для примера интервалы возрастания и убывания функции

у = х330x4225*+1.

Сначала определим функцию.

у=хлЗ-30*хл2+225*х+1

1 + 225 х - 30 х2 + х3

Данная функция — многочлен, поэтому она всюду дифференцируема. Найдем ее производную.

D[y,x]

225 - 60 х + 3 х2

Так как и производная — многочлен, разложим его на множители.

Factor[%]

3 (-15+х) (-5+х)

Теперь видим, что производная отрицательна только на интервале (5; 15). На этом

интервале функция, следовательно, строго убывает. На интервалах (~°°, 5) и (15, °°) производная положительна. Поэтому на этих интервалах функция строго возрастает.

Нахождение локальных экстремумов

У рассмотренной нами функции у = х3-30х2+225х+1 производная обращается в нуль в точках х = 5 и х = 15. Поскольку это простые нули производной, то именно эти точки и являются точками ее локального экстремума. Легко вычислить значения функции в этих точках и построить ее график.

хлЗ-30*хл2+225*х+1/.х->5 501

хлЗ-30*хл2+225*х+1/.х->15

1

Plot[хлЗ-30*хл2+225*х+1,{х,-20,20}]

4

2

-2

-4

-6

Вот более сложный пример. Пусть нужно найти локальные экстремумы функции

У,= l ] ( l — x)(x — 2 ) 2

Определим нашу функцию в системе Mathematica.

У1=((1-х) (х-2) А2) Л (1/3)

((1-х) (-2 + х) 2)1/3

Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Находим ее про­ изводную.

D[yl,x]

2 (1 - х) (-2 + х) - (-2 + х) 2

3 ((1 - х) (-2 + х)2)2/3

F u l l S i m p l i f у [D [у 1,х] ]

' ( - 2 + х) (-4 + 3 х)

’ 3 (- (-2 + х)2 (-1 + х) )2/3

Видим, что в точках х = 1 и х = 2 производная не существует, а в нуль обращается только в точке х = 4/3. Поэтому только эти точки и являются критическими для дан­ ной функции. Однако при переходе через точку х = 1 производная не меняет знака, поэтому она не является точкой экстремума. При переходе через точку х = 4/3 произ­ водная меняет знак минус на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум. При переходе через точку х = 2 производная меняет знак плюс на минус, поэтому в j этой точке функция имеет максимум. Вычисляем минимум и максимум.

у1/.х—>4/3

Точно так же вычисляется и локальный максимум.

yl/.x- > 2

Вот график данной функции.

Plot[Sign[1-х] (Abs[1-х]*((х-2)л2))л (1/3) ,{х,-1,3}] ;

-Заметьте, что для построения графика знак подкоренного выражения пришлось вынести из под корня, благодаря чему подкоренное выражение оказалось неотрица­ тельным.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов)

Если область определения дифференцируемой функции состоит из нескольких от­ резков, то, чтобы найти ее глобальные экстремумы, можно сначала найти ее локаль­ ные экстремумы, а затем значения на концах отрезков. Из этих значений и нужно выбрать наибольшее и наименьшее. В общем, нет ничего сложного, если, конечно, все вышеперечисленные операции выполняются без проблем.

Нахождение интервалов выпуклости и точек перегиба

Найдем интервалы выпуклости и точек перегиба функции у2 — б^-бгИ. Сначала введем функцию в систему Mathematica.

у 2=хЛ4 - 6 х Л26х+1

1 —6 X —6 X2 + X4

Теперь находим вторую производную.

D [ y 2 , {х , 2 } ] - 1 2 + 12 х 2

Так как вторая производная положительна при |дс| >1, то (-°°, -1) и (1, °°) — интер­

валы выпуклости вниз, а (-1, 1) — интервал выпуклости вверх. Поскольку в точках х = —1 и х = 1 функция меняет направление выпуклости, эти точки являются точками перегиба. Впрочем, в этом можно убедиться и иначе: третья производная

-24

вэтих точках отлична от 0.