книги / Фотоника и оптоинформатика. Введение в специальность

При граничных условиях 3-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается температура окружающей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой:

где Тп, Тс – температуры соответсвенно поверхности тела и окружающей среды; α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К), характеризующий плотность теплового потока при единичной разности температур между поверхностью тела и окружающей средой. В частном случае при излучении нагретой поверхности в открытое пространство по закону Стефана– Больцмана коэффициент теплоотдачи имеет вид

Граничные условия 4-го рода это условия теплообмена на границе контакта двух тел. В частном случае идеального контакта на границе эти условия отражают равенство плотностей тепловых потоков в направлении нормали к границе:

Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу теплопроводности, имеющую единственное решение.

В качестве примера рассмотрим одномерную стационарную задачу теплопроводности плоского слоя толщиной δ, не ограниченного в направлении осей y, z и не содержащего внутренних источников тепла (qV = 0). Его поверхности x = 0 и x = δ поддерживаются изотермическими: T(x = 0) = T1 и T(x = δ) = T2, т.е. заданы граничные условия первого рода. Температурное поле вэтом случае зависит только от одной координаты, и математическая формулировка краевой задачитеплопроводности имеет вид

381

Общее решение уравнения теплопроводности получается после двойного интегрирования:

дающее линейное распределение температуры по толщине слоя. Плотность теплового потока определяется в соответствии

с законом Фурье

и является постоянной. Отношение δk называется тепловым сопротивлением плоского слоя.

13.4. Основы вычислительного эксперимента в теплофизике

Аналитические методы оказываются практически непригодными для нахождения двух- и трехмерных температурных полей в областях сложной конфигурации. От этих недостатков свободны численные методы, в которых дифференциальные операторы заменяются алгебраическими, получающиеся матричные

382

уравнения решаются на компьютерах с нахождением температурного поля в узловых точках конечно-разностной сетки.

Основную идею численных методов рассмотрим на примере одномерной нестационарной задачи теплопроводности. Она состоит в замене непрерывных производных по времени икоординатам, входящих в уравнения теплопроводности и в краевые условия, их приближенными значениями в отдельных точках (узлах) конечно-разностной сетки.

В общем случае расположение узлов сетки в исследуемой области может быть произвольным. На практике часто применяют сетку, равномерно покрывающую расчетную область. Такая сетка с постоянными расстояниями между ближайшими узлами (шагами сетки) называется регулярной. Фрагмент такой сетки показан на рис. 13.1, а ее узлы определяются координатами

где N – число разбиений по толщине слоя Hx; hx, ht – соответственно шаги пространственной (по x) и временной (по t) сеток; i, k – номера узловых точек в направлении координат x, t.

Рис. 13.1. Фрагмент регулярной сетки

С точностью до ошибок аппроксимации входящая в уравнение теплопроводности (13.10) первая производная от темпе-

383

ратуры по времени может быть найдена в i-й точке сетки, а вторая производная от температуры по координате на k-м слое по времени по конечно-разностным формулам

Аппроксимацию уравнения (13.10) можно представить схематически, рассмотрев фрагмент сетки (шаблон) с минимальным количеством узловых точек (рис. 13.2). Существующие схемы аппроксимации делятся на явные, когда все производные по координате в уравнении переноса записываются на «старом» (k– 1)-м временном слое с известным распределением температуры, и неявные, когда все производные по координате в этом уравнении записываются на «новом» k-м временном слое с неизвестным распределением температуры.

Рис. 13.2. Сеточные шаблоны явной (а) и неявной (б) схем аппроксимации уравнения теплопроводности

Явная схема аппроксимации уравнения (13.10) дает соотношение

из которого получается явная формула для неизвестной температуры

384

Полученная формула позволяет последовательно определить температуры во всех узлах конечно-разностной сетки, однако циклические вычисления на компьютере оказываются устойчивыми при существенном ограничении на шаг сетки по времени ht < hx2 (2a ) , что делает явную схему не эффективной.

Неявная схема аппроксимации уравнения (13.10) дает соотношение

которое для всех внутренних узловых точек k-го слоя дает систему линейных алгебраических уравнений (N –1)- го порядка

Неявная схема абсолютно устойчива при любых шагах сетки, однако ее компьютерная реализация усложняется из-за необходимости решениясистем уравнений на каждом слое повремени.

Полученную систему линейных алгебраических уравнений (13.25) можно записать в векторно-матричном виде:

385

где [H ] − матрица коэффициентов; {T} − вектор-столбец неизвестных температур в узловых точках; {F} − неизвестный век-

тор-столбец, характеризующий краевые условия и распределение температуры на предыдущем временном слое. Видно, что матрица [H ] обладает рядом специальных свойств, которые

необходимо использовать при решении системы. Она имеет высокий порядок, зависящий от густоты сетки, является редко заполненной с размещением ненулевых элементов по диагонали в три ряда. Такие матрицы называются ленточными трехдиагональными. Важным свойством является симметрия матрицы относительно ее диагонали.

Рассмотрим решение системы уравнений (13.25) методом прогонки, являющимся модификацией метода исключения Гаусса и учитывающим свойства матрицы H.

Решение системы в узловой точке ищется в виде линейной функции. В частности, для (i− 1)-й точки эта функция имеет вид

где βi , zi − неизвестные пока вспомогательные коэффициенты.

Подставим (13.28) в (13.25):

Полученное соотношение имеет ту же форму, что и функция (13.28), толькодля i-йточки

откуда заключаем, что

386

Полученные коэффициенты называются прогоночными коэффициентами, аформулы(13.31–13.32) даютпроцедуру решения.

Сначала при i = 2, 3,..., N считаются прогоночные коэффициенты (13.32), при этом начальные значения прогоночных коэффициентов β2 , z2 определяются из граничных условий на левой границе. Эта операция называется прямой прогонкой. После определения всех βi , zi в обратном направлении (i = N, N− 1,..., 2) с учетом значения температуры TN +1 , найденного из граничного условия на правой границе, по формуле (13.31) последовательно находятся неизвестные значения Ti в узловых точках сетки.

с известным решением (13.18). В качестве теста для проверки алгоритма рассмотрим пример при граничных условиях первого рода: T(x = 0) = Tл, T(x = δ) = Tп. Решение задачи методом сеток дает систему уравнений с граничными условиями

Алгоритм решения этой системы имеет следующий вид:

387

В частности, для числа разбиений N = 4 при граничных условиях Тл = 100, Тп = 200 запишем эту систему в векторноматричной форме:

алгоритм прогонки (13.34) реализуется для этой системы при

А= С = 1, B = −2 следующим образом:

β2 = 0 ; z2 = Tл = 100 ;

388

Таким образом, численным решением получили искомое линейное распределение температуры, что подтверждает правильность работы алгоритма прогонки.

Мы рассмотрели наиболее простые схемы аппроксимации уравнения теплопроводности. Существуют и другие более сложные схемы, позволяющие уменьшить ошибки аппроксимации, вызванные заменой производных в уравнении теплопроводности приближенными значениями. Ошибки аппроксимации можно оценить, находя решение на последовательности сгущающихся сеток.

При выполнении арифметических операций на компьютере числа представляются в экспоненциальной форме с ограниченным числом разрядов и возникают ошибки округления. Ошибки округления можно уменьшить, изменяя метод решения матричных уравнений, последовательность арифметических операций и увеличивая число разрядов для записи чисел в компьютере (например, применяя двойную точность).

Ошибки аппроксимации, округления и другие образуют спектр, оценка которого для реальных задач является далеко не простой. Проблема аппроксимации – одна из основных в вычислительном эксперименте.

В процессе решения на компьютере спектр ошибок проявляется в виде возмущений. Кроме того, возмущения вносятся краевыми условиями. Суммарные возмущения в процессе вычислительного эксперимента могут затухать или возрастать. В первом случае говорят об устойчивом численном алгоритме. Во втором случае появляются осцилляции нарастающей амплитуды, суммарные возмущения увеличиваются до больших значений, и численное решение теряет всякий смысл. Возникает проблема устойчивостичисленного алгоритма.

И, наконец, существует проблема эффективности, связанная с разработкой таких алгоритмов и программ, которые обеспечивают решение задачи с минимальными ошибками аппроксимации за наименьшее время.

389

Вопросы для самоконтроля

1.Запишите первую и вторую производные на регулярной конечно-разностной сетке.

2.Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения теплопроводности, их преимущества и недостатки.

3.Какоценитьпогрешностьввычислительномэксперименте?

4.Метод прогонки решения матричных уравнений и его реализация на компьютере.

5.В чем состоят проблемы вычислительного эксперимента: аппроксимации, устойчивости и эффективности?

390