В комплексе вопросов, которыми занимаются наука о сопротивлении материалов и другие примыкающие к ней науки, призванные обеспе­ чить создание прочных и надежных инженерных машиностроительных и строительных конструкций, особое место занимает теория механиче­ ских колебаний. Это обусловлено распространенностью колебаний в инженерном деле и теми катастрофическими последствиями, которые могут иметь место на практике при пренебрежительном отношении к анализу колебательных процессов той или иной инженерной конструк­ ции в условиях ее эксплуатации.

Можно было бы привести много случаев разрушения мостов, строи­ тельных конструкций и машин из-за неучета имеющих место при экс­ плуатации реальных периодических силовых воздействий на систему, динамических характеристик и демпфирующих свойств этих систем. Не­ обходимо отметить, что вопросу изучения колебаний самых различных механических систем посвящена обширная отечественная и зарубеж­ ная литература.

Здесь хотелось бы указать на доступную для инженеров-механиков отечественную литературу по прикладной теории механических колеба­ ний, такую, как «Теория колебания в инженерном деле» С. П. Тимо­ шенко, «Основы прикладной теории упругих колебаний» Я. Г. Пановко, «Прикладная теория механических колебаний» В. Л. Бидермана, «Колебания деформируемых систем» А. П. Филиппова, шестнтомный справочник «Вибрация в технике», составленный коллективом авторов под редакцией В. Н. Челомея, и др. Особого внимания заслуживают работы школы Н. М. Крылова и Н. Н, Боголюбова.

Однако во всех указанных источниках недостаточно внимания об­ ращено на такой важный фактор, всегда сопутствующий реальной экс­ плуатации любой колебательной механической системы, как рассеяние энергии в колебательной системе. В то же время учет диссипации энер­ гии механических колебаний как фактора, снижающего динамиче­ скую напряженность колеблющихся элементов за счет уменьшения амп­ литуды колебаний, а следовательно и возникновения механических на­

пряжений ь элементах конструкций, особенно в резонансной и околорезонансной зонах, имеет весьма существенное практическое значение.

Вопросами учета рассеяния энергии при расчете колебаний за счет гистерезисных потерь в циклически деформируемом материале мы за­ нялись с начала сороковых годов. Этому вопросу было посвящено че­ тыре наших Монографии. В наших исследованиях получили развитие методы нелинейной механики Н. М. Крылова — И. И. Боголюбова при­ менительно к слабонелинейным колебаниям механических систем, каки­ ми являются системы, описывающие колебания дифференциальными уравнениями с учетом гистерезисных потерь энергии в материале. При этом особое внимание уделялось колебательным системам с распреде­ ленными параметрами, имеющим большое практическое значение.

На основе обобщения наших исследований рассеяния энергии в ма­ териале и учета влияния последних на механические колебания в на­ стоящей монографии при использовании методов нелинейной механики предложена обобщенная модель расчета механических колебаний с уче­ том рассеяния энергии в колебательной системе любого происхождения.

Эффективность предлагаемого подхода иллюстрируется на примере рассмотрения колебаний различных механических систем как с сосре­

доточенными, так и с распределенными параметрами.

Автор считает своим долгом выразить благодарность Е. Е. Зеленюк и О. Е. Богиничу за оказанную помощь при подготовке настоящей

биографии к публикации.

Среди проблем механики вообще и механики твердого д е ­ формируемого тела в частности проблема механических колебаний уж е на протяжении столетий находится в цент­ ре внимания ученых и инженеров. Вопросам механических колебаний посвящена обширная литература отечественных и зарубежных авторов. Тем не менее во многих областях современной техники, таких, например, как турбостроение, транспортное машиностроение, в том числе самолето-, ав­ томобиле- и судостроение, т. е. в области техники, эксплу­ атируемой в экстремальных условиях (при высоких и низ­ ких температурах, высоких скоростях обтекающих газо­ вых и жидких потоков, неустановившихся режимах сило­ вого и теплового воздействия, при использовании новых типов материалов и т. п.), возникает необходимость по­ вышенного внимания к проблеме колебаний и более стро­ гого учета факторов, сопутствующих реальным условиям эксплуатации вибрирующих элементов конструкции. К чис­ лу таких факторов, от которых во многих случаях зависит долговечность и надежность работы того или иного устрой­ ства, относится рассеяние энергии колебательной системы за счет различных источников, которые неизбежно сущ е­ ствуют во всех без исключения реальных колебательных системах. Основные источники потерь энергии при меха-' нических колебаниях можно разделить на следующие три группы: рассеяние энергии в материале циклически дефор­

включая места крепления системы через фундамент к зем*

ле, т. е. так называемое конструкционное рассеяние энер­ гии, и, наконец, рассеяние энергии за счет потерь в окруж а­ ющую среду как подвижную, так и неподвижную, или аэрогидродцнамические потери энергии. Естественно, что вклад в демпфирование колебаний указанных трех основ­ ных видов потерь энергии будет различен в зависимости от типа колебаний системы и окружающей среды, в которой колебании происходят. Заметим при этом, что в ряде слу­ чаев для того, чтобы усилить демпфирование реальных ко­ лебательных систем, вводятся дополнительные искусствен­ ные поглотители энергии колебаний гистерезисного или конструкционного происхождения, в частности, за счет спе­ циальных демпфирующих покрытий, представляющих собой неметаллические полимерные материалы или слоистые ком­ позиционные полимерные материалы, включающие клей, пластмассы и металлические фольги, которые наносят на упругие (пружинящие) элементы механических систем. Применяются также специальные демпферы (типа авто­ мобильных амортизаторов), принцип демпфирования коле­ баний которых основан на использовании одного из ука­ занных трех типов рассеяния энергии. К числу демпферов, использующих гистерезисное и конструкционное рассеяние энергии, должны быть отнесены также демпферы ударного действия или трения.

Оставляя пока в стороне вопросы искусственного дем п­ фирования колебаний, остановимся на учете рассеяния энергии за счет естественных источников потерь энергии, имеющихся в каждой реально существующей механиче­ ской системе, в которой в процессе эксплуатации невоз­ можно избежать вибрации.

В инженерной практике при расчете колебаний Любой механической системы обычно прежде всего интересуются частотными характеристиками рассматриваемой колеба­ тельной системы, с тем чтобы можно было в проектируе­ мой механической системе избежать резонансных явлений при совпадении частот возможных внешних возбуждений с собственными частотами колебаний механической Систе­ мы. Однако на практике весьма трудно избежать работы отдельных элементов колебательной системы во вперезонансной зоне, в частности этого трудно добиться в Дета­ лях, работающих при переменном режиме, например и таких, как лопатки транспортных турбомашин. П о т о м у возникает необходимость в расчете не только собственных Частот колебаний характерных элементов механйИ^|Шх систем, колеблющихся в условиях эксплуатации, но Д Амп­ литуд колебаний в резонансной и в околорезоиансн^Д so ­

ft

нах для установления уровня амплитуд колебаний и в о з­ никающих при этом повторно-переменных напряжений, вы­ зывающих обычно разрушения конструкции от усталости. Известно при этом, что такие расчеты, суть которых сво­ дится к получению амплитудно-частотной (резонансной) кривой, не могут быть получены без знания дем пф иру­ ющих характеристик рассматриваемой колебательной си­ стемы и соответствующей теории расчета, которые основа­ ны на решении дифференциальных уравнений движения механической системы, содерж ащ их соответствующ ие чле­ ны, отражающие физическую природу того или иного типа рассеяния энергии. Так, например, известно, что гистере­ зисные потери нелинейным образом зависят от амплитуды деформации материала, конструкционное рассеяние энер­ гии линейно зависит от амплитуды напряжений в узл е со ­ пряжений системы, аэродинамическое рассеяние энергии линейно зависит от комплекса факторов, включающих гео­ метрические характеристики, скорость потока, угол атаки и т. п. Поэтому при составлении дифференциального урав ­ нения колебаний той или иной колебательной системы ук а­

ности машин и сооружений при снижении их материало­ емкости представляется весьма актуальной задача оценки реальной динамической напряженности отдельных ответ­ ственных элементов машин, которая может быть реш ена расчетным путем еще на стадии проектирования. При этом необходимо иметь достоверные экспериментальные данные об энергопоглощающей способности предполагаемого к ис­ пользованию материала, демпфирующ ей способности ти­ пичных конструкционных узлов проектируемой системы и

чете колебаний механических систем с учетом демпфироваш ш ^финимают его линейно зависящим от скорости п е­ ремещений “независимо от происхождения причин рассея ­ ния энергии, что в большинстве случаев не отраж ает фи­ зической природы соответствующих членов диф ф еренци ­ ального уравнения колебаний, описывающих движ ение рассматриваемой колебательной системы, хотя во многих случаях точность инженерных расчетов при этом будет удовлетворительной.

В настоящей' монографии, базируясь на ранее р азр а ­ ботанной нами нелинейной теории учета гистерезисны х п о­ терь энергии в материале при расчете механических коле-

баний [5—7], предлагается общий метод расчета колеба­ ний механических систем с учетом любого вида рассеяния энергии в колебательной системе — аэродинамического и конструкционного рассеяния энергии, а также потери энер­ гии в материале. Это особенно актуально для расчета ко­ лебаний механических систем с распределенными парамет­ рами, таких, как элементы роторов турбомашин.

В связи с нетрадиционной постановкой предлагаемого решения рассматриваемой проблемы, вызывающей труд­ ности в понимании даже учеными, известными специалис­ тами в области колебаний, необходимо еще раз остано­ виться на основных положениях предлагаемой теории. Для наглядности это удобно осуществить на примере сво­ бодных колебаний неконсервативной системы. П режде всего мы исходим из элементарной истины, что полная энергия колебаний системы, выведенной из положения рав­ новесия, энергия, которая с течением времени рассеива­ ется, может характеризоваться амплитудным значением потенциальной энергии упругого элемента (пружины) ко­ лебательной системы. Эта энергия представляется интегра­ лом энергии в каждом единичном объеме материала пру­ жины при соответствующей амплитуде напряжений послед­ него. С каждым циклом в рассматриваемом примере сво­ бодных колебаний амплитудное значение потенциальной энергии системы за счет различных потерь энергии будет уменьшаться, а следовательно, будет уменьшаться и энер­ гия каждого единичного объема материала. Вот эту по­ терю энергии в единичном объеме материала предлагается представлять в виде своего рода петли гистерезиса, обра­ зующейся при циклической деформации с данной ампли­ тудой.

В связи с этим предлагается при составлении диффе­ ренциального уравнения колебаний наличие такой петли отразить соответствующими членами, описывающими кон­ тур петли гистерезиса и вносящими в уравнения опреде­ ленную нелинейность. При этом в самом начале мы пола­ гаем, что такая нелинейность будет малой, позволяющей Для решения получающихся слабонелинейных уравнений применить методы нелинейной механики, основанные на использовании решений в виде разложений по степеням Малого параметра, при ограничении решений в первом Приближении. Очевидно, такой подход вполне применим Для расчета колебаний механических систем в машино­ строении, когда суммарный декремент колебаний, как пра­ вило, ниже 10 %. В предлагаемой модели учета рассеяния Энергии при механических колебаниях физическая приро-*

В

и являются функциями тех факторов, от которых они зави­ сят. При этом следует иметь в виду, что каждый вид по­ терь в наших построениях отражается соответствующим декрементом колебаний. В связи с этим нетрудно понять, что при учете декремента колебаний, обусловленного рас­ сеянием энергии в материале, который при значительных циклических напряжениях является функцией амплитуды деформации, получаемые петли будут в точности отражать рассеяние энергии в материале за счет его несовершенной упругости.

Необходимо иметь в виду еще одно соображение при учете амплитудно-независимого рассеяния энергии. Дело в том, что в общем случае потенциальная энергия пружи­ ны может быть функцией одновременно не только нормаль­ ных, но и касательных напряжений, как, например, это имеет место при расчете поперечных колебаний коротких стержней или пластин. В этом случае, естественно, в урав­ нениях должны быть члены, учитывающие петли гистере­ зиса как за счет нормальных, так и за счет касательных напряжений. В связи с этим, если мы имеем общие значе­ ния декрементов колебаний, не зависящих от амплитуды (зависящие включаются естественным способом как гисте­ резисные потери в материале), то их значения должны быть разделены и включены множителями при выражени­ ях контуров петли гистерезиса в координатах а—£а и х— уаПри этом значения декрементов 8<у, которые будут характеризовать отбор энергии от потенциальной энергии, обусловленной нормальными напряжениями иа, и декре­ ментов бт, которые будут учитывать потерю энергии, обус­ ловленной касательными напряжениями их, должны быть согласно нашей трактовке пропорциональны суммарным значениям соответствующих потенциальных энергий, т. е.

=\

fix их

Таким образом, нам представляется, что предлагаемый новый подход является не только логичным, но и вполне физически обоснованным, а потому должен найти широ­ кое применение в рамках оговоренных выше ограничений*

Глава первая

НОВЬЩ ПОДХОД К УЧЕТУ РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ

ПРИ КОЛЕБАНИЯХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. Инвариантное представление петлями гистерезиса любого вида рассеяния энергии при механических колебаниях

Мерилом энергии любой механической колебательной си­ стемы в данном цикле колебаний может быть амплитудное значение потенциальной энергии упругого элемента (пру­ жины) системы. Известно также, что в каждой реально существующей механической колебательной системе име­ ются различного рода источники поглощения энергии ко­ лебаний, приводящие к тому, что свободные колебания со временем прекращаются, а для поддержания вынужден­ ных колебаний требуется непрерывный подвод энергии изв­ не для компенсации рассеиваемой в системе энергии. П о­ скольку амплитудное значение потенциальной энергии д е ­ формации является интегральной характеристикой ампли­ тудных значений потенциальных энергий в каждом единич­ ном объеме материала пружины, то уменьшение энергии колебательной системы за счет рассеяния энергии в пос­ ледней можно представить как сумму потерь энергии каж ­ дым единичным объемом циклически деформируемого ма­ териала пружины с данной амплитудой деформации, не­ зависимо от причин, вызывающих рассеяние энергии. При этом эти потери энергии за цикл могут быть представлены в виде некоторых петель гистерезиса в координатах напря­ ж ен и е -д еф о р м а ц и я , площадью которых будет характе­ ризоваться величина рассеяния энергии, т. е. величина энер' гии, на которую за цикл колебаний будет уменьшаться энергия единичного циклически деформируемого ^бъемЯ пружины колебательной системы. Величину полной теряе­ мой колебательной системой энергии за цикл при так^м под­ ходе легко получить путем интегрирования по веерку объ ­ ему циклически деформируемого материала пружины» зная напряженно^ состояние последней.

Ю

Предлагаемый метод учета рассеяния энергии при коле­ баниях нами был неоднократно апробирован при расчете

ра декремент колебаний как функцию тех или иных ф ак то­ ров, от которых они зависят. Как практически это осущ е­ ствляется, будет показано ниже.

Обобщая метод расчета колебаний механических си ­ стем с учетом рассеяния энергии в циклически деф ор м и р у ­ емом материале в нелинейной постановке на случай расче­

И

образованию за цикл петли гистерезиса (рис. 1):

эа

где Е — модуль упругости материала; п и а — некоторые параметры.

Легко убедиться, что зависимости (1 .1), описывающие контур петли гистерезиса, удовлетворяют условиям

Д ля установления выражения параметра а определим площадь петли гистерезиса путем интегрирования с уче­ том выражения (1.1):

С другой стороны, зная амплитудное значение потен­ циальной энергии деформации в единице циклически д е ­ формированного материала с амплитудой деформации £а

Ell

М— 2 ’

а также декремент колебаний б или относительное рассея­ ние энергии ф = 2 б , значение рассеянной энергий в рас­ сматриваемом единичном объеме материала можно опре­ делить по формуле

Приравнивая правые части формул (1.2) и (1.3) И решая полученное уравнение относительно неизвестного Парамет­ ра а, получаем

где стрелка, направленная вправо, относится к восходя­ щей ветви контура петли гистерезиса, а влево — к нисхо­ дящей ветви. Параметр п, входящий в зависимости (1.4), является в известной мере произвольным числом и, как показывают наши исследования [10], значение множителя

единицы процентов, а потому мало сказывается на резуль­ татах расчета с использованием указанных зависимостей, поскольку получаемые при этом результаты в основном контролируются величиной декремента колебаний б. В свя­ зи с этим значение параметра п целесообразно выбирать исходя из удобства вычислительных операций при исполь­ зовании зависимости (1.4).

Как показали расчеты, этому требованию удовлетворя­ ет значение п — 2. В таком случае зависимости ( 1.4) м о­ гут быть представлены в виде

фирования через декремент не принималась во внимание

рактеризующей рассеяние энергии в материале за счет его несовершенной упругости, а в общем в этом выражении декремент может быть представлен суммой декрементов,

щественно усложняются в том случае, если декремент не­ линейно зависит от амплитуды деформаций.

В этом случае выражение (1.5) долж но быть перепи­ сано в виде

ст ~ Е

где б (|а) может быть представлено на основании экспери­ ментальных данных в виде выражения типа

где a, b, с — параметры, определяемые из эксперименталь­ но полученной кривой зависимости истинного рассеяния энергии или декремента от амплитуды деформаций £а.

Поскольку в общем случае в колебательной системе одновременно имеют место потери энергии, обусловленные

6 ( R ) — декремент, зависящий от сухого трения, и т. д. Использование такого подхода предусматривает знание

декрементов как функций тех или иных факторов, полу­ ченных из корректно поставленных экспериментов на соот­ ветствующих установках, в которых, кроме исследуемого демпфирования, остальные потери энергии в колебательной системе будут пренебрежимо малы. При этом следует иметь в виду, что обычно в каждой реальной механической системе имеет место превалирующее значение того или иного декремента, а поэтому на практике декрементом, вносящим малый вклад в демпфирование колебательной системы, следует пренебречь.

Заметим, что эффективность применения подходов, предусматривающих использование петель гистерезиса, учитывающих рассеяние энергии в материале за счет его несовершенной упругости, была неоднократно доказана в ряде работ как отечественных, так и зарубеж ны х авторов.

Однако, как показывают исследования, подходы, реали­ зованные при колебаниях упругих систем с учетом рассея­ ния энергии в материале, могут быть легко распростра­ нены и на расчеты колебательных систем с учетом рассея­ ния энергии, зависящего от любых факторов. Этй стаде* возможным благодаря тому, что связь м еж ду деформацией и напряжениями упругого элемента колебательной систе­ мы, ответственными за уровень рассеяния энергий коле­ баний, оказалась выраженной в нелинейной зависим ость описывающей петлю гистерезиса, через декремент колеба­ ний. Этот подход можно интерпретировать таким Опрааом» что все возможные в колебательной системе потАри мь1 приписываем материалу пружины, т. е. тому материалу»

Д и Н г

или

что совпадает с выражением логарифмического декремен­ та, представленного формулой (1 .8), и декремент коле­ баний на основании выражения (1.11) можно интерпрети­ ровать как отношение энергии, рассеянной за один цикл, к удвоенной максимальной потенциальной энергии цикла.

2. Представление эквивалентными петлями гистерезиса рассеяния энергии за цикл при различной его природе

В случае рассеяния энергии колебаний за счет гистерезис­ ных потерь в материале пружины, которое, как известно, зависит от амплитуды циклической деформации материа­ ла, описание контура петли гистерезиса зависимостью (1.6) является вполне естественным и форма петли гистерезиса близка к реальной. В случае другого происхождения по­ терь энергии, очевидно исходя из энергетических Представ­ лений, можно говорить только об эквивалентной по пло­ щади петле, характеризующей рассеяние энергии за цикл данным единичным объемом упругого элемента ё ампли­ тудным значением относительной деформации

Учитывая, что упругий элемент колебательной систе­ мы в общем случае находится в неоднородном иАпряженном состоянии, удобнее для общности выражений исполь­ зовать эквивалентные петли гистерезиса применительно к единичным объемам, т. е. в основу принять выражение (1.5).

При вязком трении рассеяние энергии не зависит от амплитуды и прямо пропорционально частоте, а декре-

формулой6^ 1151 М0Жет быть представлен в общем случае

(1.12)

где ri — коэффициент пропорциональности, а/ — круговая частота. Применительно к выражению петли гистерезиса

в координатах а—I следует положить с = £ . Тогда в рас­ сматриваемом случае выражения контура петли гистерези­ са (1.5) могут быть представлены в виде

Площадь петли гистерезиса, контур которой описывается уравнением (1.13), будет

т. е. выражает площадь эллиптической петли гистерезиса

(рис. 3) в координатах | — (£ 1 + ^ 1 ) ■ В случае рассеяния энергии, пропорционального смещению, имеющего, напри­ мер, место в колебательной системе типа, показанного на рис. 4, так ж е, как и при вязком трении, декремент коле­ баний не зависит от амплитуды, но он не зависит и от частоты. При относительно небольшом рассеянии энергии

получаем площадь действительной петли (рис. 5), постро­ енной в координатах Р—х. В случае рассеяния энергии, пропорционального сухому трению, как это имеет место в колебательной системе, приведенной на рис. 6, уравнение свободных колебаний массы т имеет вид

Сила трения массы по шероховатой поверхности стержня постоянна по величине и направлена против движения. При этом знак плюс соответству­ ет этапу движения с положи­ тельной скоростью, а знак ми­ нус — с отрицательной скоростью.

Декремент колебаний в данном случае применительно к приня­ той нами системе координат мо­ жет быть выражен формулой

динатах (E l± R ) —

Таким образом, все наиболее распространенные поте­ ри энергии в колебательных системах по аналогии с гис­ терезисными потерями, выраженные зависимостью (1.6), могут быть представлены эквивалентными петлями гисте­ резиса, описываемыми выражениями (1.13) в случае вяз­ кого трения, (1.16) — в случае потерь энергии, пропорцио­

формируемого материала с амплитудой относительной деформации | позволяет при расчетах путем интегрирова­ ния, как это будет показано ниже, учитывать потери энер­ гии любой колебательной системы при любой неравномер­ ности напряженного состояния пружины колебательной системы как с сосредоточенными, так и с распределенны­ ми параметрами.

Заметим при этом, что во всех выражениях (1.6), (1.13), (1.16) и (1.20), полученных на основании (1.5), подстав­ ляются для каждого типа рассеяния энергии свои выраже­ ния декрементов, включающих соответствующие парамет­ ры, получаемые экспериментально отдельно для каждого из типов рассеяния энергии на специальной эксперимен­ тальной установке применительно к той или иной конкрет­ ной колебательной системе. При этом следует иметь в виду, что обычно в любой колебательной системе имеет место несколько одновременно существующих источников рассеяния энергии, хотя при этом, как правило, можно вы­ делить ведущие из них, которые должны быть в первую очередь учтены при пренебрежении менее существенными потерями энергии.

В принципе можно параллельно одновременно учесть все перечисленные разновидности потерь энергии, исполь­ зуя при этом единый подход, основанный на методах нели­ нейной механики Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова, предусматривающих получение решений слабо нелинейных дифференциальных уравнений в виде асимптотических раз­ ложений по степеням малого параметра. Этот метод, оп­ равдавший себя в наших исследованиях многих механиче­ ских колебательных систем с учетом рассеяния энергии в материале, мы намерены распространить и на случай учета любых других видов рассеяния энергии. Такая возмож­ ность открывалась после представления каждого нз видов потерь энергии через условные петли гистерезиса, пред­ ставленные в общем сокращенном виде. Выражений (1.5) с учетом приведенной конкретизации при одновременном учете видов потерь энергии следует записать в вйДе

( 1.21)

где

бх = 6(£а) + 6 ( |) + 6 ( Я ) + 6(с),

или с учетом конкретных выражений декрементов колеба­ ний, характеризующих различные виды потерь Энергии

согласно выражениям (1.6), (1.18), (1.1) и (1.20), выраже­ ние (1.21) может быть представлено в виде

( 1.22)

Итак, в общем виде при расчете колебаний механиче­ ских систем в нелинейной постановке будем пользоваться выражением (1.5) или (1.21). Коэффициенты т], Cii Cz, а также значение R, характеризующее сухое трение, и воз­ можные другие коэффициенты, входящие в декременты колебаний, которые могут зависеть от других величии и даже различных комплексов, также должны быть получе­ ны из соответствующих специально поставленных экспе­ риментов.

Задача теперь состоит в том, чтобы подобрать такие выра­ жение для

чтобы ряд (2.4) при подстановке в него и и 0, найденных из уравнений (2.5), являлся бы решением исходного урав­ нения (2.3). Учитывая физический смысл рассматриваемой задачи, нет необходимости добиваться неоправданно вы­ сокой степени точности за счет удержания большого чис­ ла членов ряда (2.4), так как практически эффективным и этот метод оказывается только при достаточности реше­ ния задачи в первом приближении, т. е. при решении сла­ бо нелинейных задач, к числу которых относится рассмат­ риваемая здесь задача.

Поэтому в рассматриваемом случае решения задач гис­ терезисного типа оказывается достаточным первое прибли­ жение. В связи с этим целесообразно разложение (2.4) и (2.5) представить соответственно в виде

чтобы ряд (2.6), в котором функции времени и и 0 опре­ деляются уравнениями m-го приближения (2.7), удовлет­ ворял уравнению (2.3) с точностью до величины порядка малости em+1.

Не останавливаясь на анализе сходимости разложений (2.4) и (2.5) при весьма общих условиях, которые можно найти в соответствующих литературных источниках [1.5], остановимся на некоторых дополнительных условиях, ко­ торые согласно теории асимптотических решений должны быть приняты для однозначности получения выражений функций (2.8).

В качестве таких условий примем, что в выражениях Ui(и, 0), «г(«, 0),... отсутствуют первые главные гармони­ ки, т, е. будем так определять эти периодические функции

Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармони­

Определяются таклее все гармонические компоненты функ­ ции Hi(и, 0), кроме первых Vi(u) и Wi(u), которые в силу дополнительных условий (2.9) не содержат первой гармо­ ники, а потому v(u) = 0 ; Wi(u) = 0 .

Подставляя выражение (2.20) во второе уравнение (2.17), получаем

Ап(и), Вп(и) до какого угодно значения индекса п и тем

самым построить приближенное решение, удовлетворяющее уравнению (2.3) с точностью до величины сколь угодно высокого порядка малости е.

Учитывая физическую сущность рассматриваемых не­ линейных задач гистерезисного типа, т. е. задач, решение

которых сводится к Интегрированию уравнений с весьма малой нелинейностью, в дальнейшем имеет смысл ограни­ читься только первым приближением, которое должно обеспечить необходимую точность решения рассматривае­ мой задачи.

Тогда выражение перемещения в первом приближении, очевидно, будет иметь вид

Из рассмотрения выражения (2.27) видим, что время, в течение которого и и 0 — cof смогут получить конечное при­

ращение, должно быть весьма значительным, примерно — .

При этом легко видеть, что уравнения первого приближе­ ния (2.26) получаются после пренебрежения в уравнении (2.5) членами малости е2, что приводит к ошибке в значениях пер­

вых производных и , а за время t приводит в зна­

чении самих функций а и 0 к ошибке еЧ.

Отсюда следует, что в том интервале времени, в тече­ ние которого и и 0—oaf успеют заметно отойти от своих начальных значений, погрешности в значениях амплитуд и фаз колебаний будут примерно равными е и поэтому в выражении (2.25) не имеет смысла сохранять член e«t первого порядка малости, поскольку погрешность как фор­ мулы (2.25), так и упрощенной формулы

будет величиной первого порядка малости.

При колебаниях, происходящих с постоянной амплиту­ дой и частотой, т. е. в случае стационарных колебаний,

или

Отсюда следует, что благодаря наличию множителя е перед Л^м), если в этом выражении отбросить величины, начиная со второго порядка малости, и определять значе­ ния стационарной амплитуды первой гармоники из первого приближения

Ai (и) = 0,

совершаемая ошибка будет не второго, а уже первого по­ рядка малости.

Учитывая все это в дальнейшем, в качестве первого приближения для функции перемещения следует брать упрощенное выражение (2.27), в котором и и 0 опреде­ ляются уравнениями (2.25). Тогда в качестве второго при­ ближения для функции перемещения, очевидно, должно быть взято выражение

в котором функции времени и и 0 определяются соответст­ венно уравнениями

-у - = «Л, (“) + W; т г - ® + *в, (И) + «щ. (н).(2.30)

Выражения для определения Л4(и) и Bi{u) согласно урав­ нениям (2.21) будут

Формулы для определения Л2(н) и В2(и), очевидно, легко могут быть получены исходя из выражений (2.16) и (2.24). Однако, поскольку в дальнейшем нас будет интересовать первое приближение, как обеспечивающее необходимую точность решения рассматриваемой задачи, мы не будем больше останавливаться на получении формул, необходи­ мых для второго приближения, а займемся более детально первым приближением с учетом действительного выраже­ ния члена исходного уравнения (2.3) еФ(м>), учитывающе­ го рассеяние энергии в колебательной системе и вносящего

нелинейность в исходное дифференциальное уравнение колебаний.

При установлении выражения функционала Ф(а>) в яв­ ном виде будем исходить при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями из наличия образо­ вания при циклировании петли гистерезиса, площадью ко­ торой характеризуется рассеяние энергии в колебательной системе за один цикл колебаний.

В качестве такой зависимости применительно к нашей колебательной системе с набором различного рода потерь энергии, приводящей при циклическом деформировании материала пружины к образованию петли гистерезиса, при­ мем зависимости (1.22), которые для сокращения запишем в виде

Прежде чем найти выражение Ф(а>), необходимо устано­ вить изгибную жесткость пружины си представляющей

что при отклонении колеблющегося груза, подвешенного на рессоре, последняя будет работать как балка перемен­ ного ступенчатого сечения на длине /—к с моментом инер­ ции / и на длине к с моментом инерции 21. Такую ступен­ чатую подвеску (пружину) рассматриваемой колебатель­ ной системы можно заменить эквивалентной подвеской с постоянным моментом инерции /. Тогда можно получить формулу для прогиба на конце подвески в месте прикреп­ ляемой массы. При этом уравнение упругой линии ступен­ чатого подвеса, отклоненной под действием усилия в месте присоединения массы, совмещая ось с осью подвеса, можно представить в виде

Наша задача — привести распределенные вдоль пру­ жины (подвески) силы сопротивления в виде распредели

4-i

ного момента Ms, обусловленные потерями энергии в ко-

4^*

лебательной системе, к сосредоточенной силе Ps, способ^й вызвать прогиб на конце, эквивалентный прогибу, вы:^1-

—►

•е—

ваемому распределенным моментом Ms.

4—

Закон распределения момента М3 вдоль подвески леГ^о получить исходя из зависимостей (2.32), которые для На­ глядности удобно представить в виде

а ее амплитудное значение

!а = Ш/ф",

получим

(2.3^) Выражение «упругого» момента (2.37) может быть пред­ ставлено в виде

F

й

а выражение для распределенного «тормозящего» момента Р* согласно зависимостям (2.36) будет

Ма= ± ~ - Е \ 62wф"г/2dF(1 2 cos 0 — cos20) =*

В общем случае с учетом формулы (2.33) выражение для Ма может быть записано в виде

Имея выражение распределенного по длине рессоры тор-

мозящего изгибающего момента Ms, обусловленного энер­ гетическими потерями в колебательной системе и созда­ ющего демпфирование колебаний, можно записать диффе­ ренциальное уравнение изогнутой оси балки

d2wQ М.

(2.42)

~Ш~==~ЁГ^'

где ws — прогиб, вызываемый моментом Ms. Интегрируя урав­ нение (2.42), получаем

где Ci и C2 — постоянные интегрирования, которые опреде­ ляются из граничных условий

и, как легко заметить, равны нулю. Таким образом, вы­ ражение прогиба в общем виде будет представлено урав­ нением

Прогиб на конце рессоры в месте присоединения массы будет

Значение эквивалентной сосредоточенной силы еР3, приложен ной на конце рессоры, вызывающей прогиб, соответствую-

Зная выражение для еФ(«, 0) и подставляя его в урав­ нение (2.31), получаем

Подставляя (2.39) в формулы (2.48) и (2.49), будем соот­

ветственно иметь

2п

eAt = £ SL J J dx J (иц>Ъ) dx}x=[ j (1 =T 2 cos 0 — cos20) sin Ш ;

выражения для e/4i и eBi согласно формулам (2.50) и (2.51) можно представить так:

ем дифференциальные уравнения для определения амп­ литуды и и фазы 0 в первом приближении:

Поскольку <p" согласно выражению (2.34) является вели­

Подставляя выражение (2.82) в (2.81), получаем

Учитывая согласно выражениям (2.47), (2.52) и (2.53), чтс>

Формулы (2.84), (2.85) и являются теми окончательны­ ми формулами, пользуясь которыми можно построить ре­ зонансную амплитудно-частотную кривую вынужденных колебаний рассматриваемой системы (см. рис. 4) с одной степенью свободы.