Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

26.59 Mб

Скачать

☆

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

6Ф6.5

А13

УДК 62-50

Матричные и асимптотические методы в теории ли нейных систем. А б г а р я н К. А., Главная ре дакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973, 432 стр.

Книга посвящена применениям аппарата мат ричного исчисления и идей асимптотического ин тегрирования дифференциальных уравнений в тео рии управляемых и неуправляемых процессов.

Наряду с изложением в матричной форме об щих вопросов теории линейных систем в книге ши роко представлены методы асимптотического рас щепления, канонического преобразования и прибли женного интегрирования различного типа систем уравнений, которые обычно встречаются в линейной механике, технике и различных приложениях. При ведены алгоритмы для построения динамических характеристик линейных нестационарных систем и преобразования уравнений нестационарного объек та управления к виду, удобному для моделирования. Заключительная часть книги посвящена теории устойчивости процессов.

Книга рассчитана на специалистов в области ма тематики, механики и автоматического управления.

Илл. 9. Библ. 84 назв.

( g ) Издательство «Наука», 1973.

	д 3314-1798	161-73
	042 (02) -73	161-73
	042 (02) -73

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие										8
Г л а в а		I.	Матрицы							11
§ 1. Исходные определения и обозначения....................										11
§ 2.	Сложение матриц и умножение матрицы на число									13
§ 3.		Умножение прямоугольных				матриц				14
§ 4.	Определитель произведения матриц									18
§ 5.	Присоединенная				матрица					19
§ 6.	Обратная м а т р и ц а ...................................................................					и переход				20
§ 7.	Транспонирование матрицы					и переход		к сопряженной
§ 8.		матрице		. . .				.	2	1
§ 8.		Блочные м а т р и ц ы ................................				матрицы				22
§ 9. Линейные				преобразования и		матрицы				27
Г л а в а		II. Векторы, векторные пространства,						линейные	опера-
торы и матрицы										30
§ 1. Векторы н векторное пространство										30
§ 2. Линейная зависимость векторов........................										32
§ 3.	Размерность и базис векторного пространства									34
§ 4.	Изоморфизм л-мериых пространств . .									37
§ 5.	Подпространства				векторного	пространства . .				38
§ 6.	Линейные			операторы в векторных			пространствах . . .			39
§ 7.	Матрица как линейный оператор в численных простран
§ 8.	ствах			....................						41
§ 8.	Неравенства С и л ьвестр а ................................................									45
§ 9.	Разложение матрицы на прямоугольные множители									48
Г л а в а		III.	Линейные		операторы	в rt-мерном		векторном про
странстве										50
§ 1. Кольцо линейных операторов............................										50
§ 2.	Матрицы линейного оператора в разных базисах									51
§ 3.	Обратный			оператор ...............................................................						52
§ 4.	Собственные векторы н собственные значения линейного
§ 5.	оператора и квадратной матрицы						.			53
§ 5.	Линейные операторы н матрицы простой структуры									56
§ 6.	Расщепление n-мерного пространства							. . .		58
§ 7. Проекционные операторы и матрицы										59

Г л а в а	IV. Расщепление пространства на инвариантные подпро						67
странства. Нормальные формы матрицы
§ 1.	Минимальные многочлены			вектора, векторного простран			67
§ 2.	ства, м а т р и ц ы ....................				векторного	пространства
	Инвариантные подпространства						71
§ 3.	Расщепление	векторного		пространства на		инвариантные
	подпространства с взаимно простыми минимальными мно						74
§ 4.	гочленами ....................................................................................
	Сравнения. Пространство классов сравнимых векторов						77
§ 5.	Циклические	подпространства			векторного	пространства	82
§ 6.	Нормальные	формы	м атрицы			....	87
§ 7.	Инвариантные многочлены. Единственность нормальных						92
	форм линейного оператора
Г л а в а	V. Преобразование матрицы к кваэидиагональному виду						97
и разложение ее на составляющие
§ U Дефект матричного многочлена							97
§ 2 . Теорема Гамильтона — К э л и					квадратную матри		99
§ 3. Построение матрицы, преобразующей							100
§ 4.	цу к кваэидиагональному			в и д у .................................................	преобразованной
	Собственные	значения		субматрицы			103
§ 5.	квазидиагоналыюй		матрицы
	Общий вид	преобразующей матрицы .					104
§ 6.	Построение жордановой формы матрицы						107
§ 7.	Случай матрицы простой структуры ...................						I ll
§ 8.	Разложение квадратной матрицы на составляющие						115
§ 9. Матрицы ортогонального проектирования .........................							122
§ 10.	О приведении к кваэидиагональному				виду и разложении		127
	на составляющие одной матрицы специального вида

Г л а в а VI. Матрицы и линейные дифференциальные уравнения.	131
Общие ‘свойства уравнений	131
§ 1/ Производная и интеграл м а т р и ц ы ...........................	131

§2. Векторно-матричная запись линейных дифференциаль


§	ных		уравнений							132
§	3.	Норма матрицы								140
§	4. Матричные			ряды ...................................						141
§	5.	Теорема существования и единственности								141
§	6.	Фундаментальная матрица системы								146
§	7.	Матрицант			. . .					149
§	8.	Сопряженное			уравнение					151
§	9.	Неоднородное			уравнение	...................				152
§	10.	Решение одного матричного уравнения								154
Г л а в а		VII. Системы линейных дифференциальных уравнений								156
первого порядка с постоянными коэффициентами										156
§ 1.	Экспоненциал			матрицы		.	. . .	экспонен		156
§ 2. Решение дифференциальной						системы в	форме	экспонен		158
§ 3.	циала . . . .				. . . .		. .	.	. 1	158
§ 3.	Метод		Эйлера		. . . .		. .	.	. 1	5 8
§ 4.	Преобразование				Л апласа.........................................................			. . . . .		160
\| 5.	Интегрирование				путем замены переменных .			. . . . .		164

§ 6.	Расщепление системы на		независимые		подсистемы мень
§ 7.	шего порядка . . .				.		167
§ 7.	Теория	возмущений					172
Г л а в а	VIII.	Асимптотическое	расщепление		нестационарной
системы уравнений				.			180
§ 1. Дифференцируемость			матрицы,	преобразующей		квадрат
§ 2.	ную матрицу к квазидиагональномув и д у ..............................						181
§ 2.	Построение формального процесса для				расщепления		си
	стемы дифференциальных уравнений на независимые под
	системы	меньшего порядка		.			185
§ 3.	Общий	вид матриц		Инвариантность		матриц
Q!*1							195
§ 4.	Рекуррентные соотношения вчастныхслучаях . . . .						201
§ 5.	Условие сохранения нормы решений уравнений					при	за
мене п е р ем е н н ы х							202
§ 6.	Случай полного расщепления си стем ы				....................		206
§ 7. Система уравнений с постоянными коэффициентами							206
§ 8.	Расщепление сопряженной системы						208
§ 9. Приближенное решение системы							220
Г л а в а	IX. Асимптотическое расщепление нестационарной						си
стемы уравнений (второй метод)							223
§ 1.	Две леммы ...................................................................................						223

§2. Преобразование однородной линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами к системе не


§ 3		зависимых дифференциальных				у р ав н ен и й ............................		системы	226
		Преобразование		однородной		нестационарной			232
§ 4.		дифференциальных уравнений к расщепленной системе
		Расщепление	неоднородной		системы				245
§ 5. Приближенное решение системы									253
Г л а в а		X. Динамические характеристики линейных систем							255
§	1.	Единичная ступенчатая функция и дельта-функция . .							255
§	2.	Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функ							258
§	3.	ции. Импульсная		переходная		ф у н к ц и я ............................		посред
		Связь между входными и выходными					сигналами		261
§		ством импульсной переходной ф у н к ц и и ................................
	4: Реакции системы			на входной сигнал			в виде производной		263
§	5.	и интеграла	от дельта-функции............................................
		Преобразование начальных условий на выходе системы							265
§	6.	в эквивалентный входной с и г н а л ............................................
		Определение дифференциального уравнения по импульс							266
§	7;	ной переходной функции			................................		функции	. . .
		Построение	импульсной переходной						268
§	8;	Реакция системы на показательное возмущение. Пере							282
§	9.	даточная функция ....................................................................
		Связь между входными и выходными сигналами системы							-284
i		посредством	передаточной		функции		. .- . » . . ..
	10: Построение		передаточной		функции				285

Г л а в а	XI. Приближенное интегрирование уравнений управляе		290
мого	процесса	.
§ 1. Интегро-днфференцнальная система уравнений		управляе
	мого п р о ц е с с а ............................................................................	290

§2. Приведение уравнений управляемого процесса к расщеп ленной дифференциальной системе (метод последователь

ных	приближений)		.	.	.	............................ 294
§ 3. Приближенное интегрирование уравнений управляемого
процесса при		малом		воздействии		регулятора на про
цесс	(случай А	) .............................................................................				298

§ 4.

Приближенное интегрирование уравнений управляемо-

303

мого процесса (случай Б)

Г л а в а

XII. Некоторые канонические формы

уравнений

линей

308

ных процессов

§ 1. Преобразование системы уравнений с постоянными коэф

309

§ 2.

фициентами к расщепленному

в и д у ............................

Формальные преобразования нестационарной системы . .

312

§ 3.

Уравнения управляемого

процесса в канонической форме

320

Г л а в а

X III.

Квадратичные и эрмитовы формы

323

§ 1.

Метризация векторного п ростран ства....................................

евклидовом

323

§ 2.

Ортонормированные базисы в унитарном и

327

§ 3.

пространствах

. .

. . .

Линейные операторы в унитарномпространстве

329

§ 4.

Линейные операторы в евклидовом

пространстве

338

§ 5.

Квадратичные формы

343

§ 6.

Эрмитовы формы

350

Г л а в а

XIV.

Постановка

задачи об устойчивости процессов

353

на заданном промежутке времени

§ 1.

Предварительные

замечания

об........................................

устойчивости дви

353

§ 2.

некоторых постановках

задачи

354

§ 3.

жения

................................

............................................

Понятие устойчивости процесса на заданном

промежут

364

§ 4.

ке

времени ................................................

понятия

....................

Геометрический смысл

устойчивости на

задан

365

§ 5.

ном промежутке

Функция

Ляпунова

367

Г л а в а

XV. Некоторые условия устойчивости процессов на задан

ном промежутке времени

370

§ I. Оценка нормы решения линейной системы

370

§ 2.

О диагонализации линейной системы

376

§ 3.

Пучок решений

линейной

системы . . . .

378

§ 4.

Теоремы об устойчивости линейной системы

380

§ 5.

Случай стационарной

с и с т е м ы ............................................

382

§ 6.

Об устойчивости

на конечном

промежутке нелинейного

процесса

по линейному приближению

„

.• .• . •

384

Г л а в а	XVI. Устойчивость			процессов относительно заданной		396
области		предельных отклонений			.
§ 1.	Понятие устойчивости			относительно заданнойобласти		396
§ 2.	Устойчивость процесса относительно области, определяе					398
§ 3.	мой	каноническим преобразованием уравнений
	Критерии		устойчивости			407
П р и л о ж е н и е .			Асимптотический характер		приближенных	412
решений
Литература						423
Предметный		указатель				428

ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие прикладные задачи, с которыми приходится иметь Дело на практике; связаны с ’рассмотрением систем дифференциальных или интегро-дифференциальных урав нений, обычно нестационарных и имеющих нередко высокий порядок. Точное решение таких систем, даже линейных, удается получить лишь в исключительных случаях, по этому приходится прибегать к приближенным методам ин тегрирования. Развитие теории в этой части идет по различ ным направлениям. Для линейных нестационарных систем очень многообещающим и плодотворным представляется применение методов асимптотического интегрирования и преобразования уравнений в сочетании с методом матрич ной алгебры.

В последние годы методы матричной алгебры, вслед за методами операционного исчисления, все в большей и большей мере внедряются в прикладные науки. Это объяс няется, во-первых, тем, что в матричной записи громоздкие выражения и сложные преобразования принимают компакт ный и ясный вид, что способствует экономному и наглядному изложению; во-вторых, аппарат матричной алгебры хоро шо приспособлен для расчетов на ЭВМ. Эти преимущества особенно заметны в случае линейных систем уравнений высокого порядка. В принципе все те задачи, которые ре шаются методами матричной алгебры, могут быть решены

и	без использования аппарата матричного исчисления, но
во	втором случае более вероятна такая ситуация, когда

из-за громоздкости и сложности получающихся выражений, необходимости проведения утомительных вычислений труд ности решения задачи становятся непреодолимыми.

Сейчас имеется немало монографий по теории матриц, и все же потребность в таких книгах, где методы матричной алгебры были бы представлены в действии, в приложениях, все еще велика.

Предлагаемая книга посвящена описанию основанных на идеях асимптотического интегрирования уравнений матричных методов изучения систем, в основном линейных. Объектом внимания являются те типы уравнений, которые обычно встречаются в механике, теории управления и в других прикладных науках. Затрагиваются далеко не все разделы теории линейных систем (выбор материала в зна чительной мере определен научными интересами автора), тем не менее охватывается довольно широкий круг вопросов теории, в котором применение матричных и асимптотиче ских методов целесообразно и эффективно и с которым свя заны другие, более частные вопросы.

Книга состоит из шестнадцати глав и Приложения, ко торые можно было бы разбить на три части.

Первая часть (главы I—V) посвящена основам матрич ной алгебры. Здесь представлены те разделы матричного исчисления, которые в рассматриваемых областях теории линейных систем скорее всего могут быть использованы. Некоторые дополнительные сведения специального харак тера по мере надобности приводятся и в последующих гла вах. Изложение построено так, что от читателя не требу ется первоначального знакомства в какой бы то ни было мере с теорией матриц.

Вторая часть (главы VI—XII и Приложение) посвящена применениям асимптотических методов и методов матрич ной алгебры в теории линейных систем. Наряду с общей теорией, применительно к различным образом представлен ным уравнениям рассмотрены разные преобразования, при водящие к упрощению исходной системы уравнений путем расщепления ее на независимые подсистемы, а также рас четные схемы построения приближенных решений уравне ний. Главное внимание уделяется нестационарным системам. Построение алгоритмов, как правило, проводится по сле дующей схеме. Вместо исходной системы дифференциаль ных или интегро-дифференциальных уравнений с пере менными коэффициентами вводится система, которая полу чается из данной путем замены аргумента коэффициентов — времени / так называемым медленным временем т = stt где е — параметр. Затем проводится формальное разложе ние решения второй системы в ряд по степеням параметра е. Поскольку при е = 1 эти две системы совпадают, то по строенный формальный ряд при е = 1 представляет собой

формальное решение исходной системы, сумма же конечного числа первых членов ряда может рассматриваться как приближенное решение системы. Таким образом, в этой час ти нашли свое отражение идеи Н. М. Крылова и Н. Н. Бо голюбова по асимптотическому интегрированию дифферен циальных уравнений с введением медленного времени.

Третья часть книги посвящена теории устойчивости про цессов. Предлагается одна постановка задачи об устойчи вости процессов на заданном промежутке времени и ука зываются пути построения критериев устойчивости реше ния линейной системы и, допуская некоторое отклонение от темы, решения нелинейной дифференциальной системы по линейному приближению.

В конце книги представлена весьма краткая библиогра фия. Пришлось отказаться от мысли приведения скольконибудь полного перечня работ, посвященного тем довольно разнообразным по характеру вопросам, которые затронуты в книге, и ограничиться перечислением некоторых моногра фий, а также небольшого числа журнальных статей, имею щих непосредственное отношение к излагаемому материалу.

Автор

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги