книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

22. 171 В 29

УДК 519.21

Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под

действием малых случайных возмущений.— М.: Наука. Главная редакция физико-математиче­ ской литературы, 1979, 424 стр.

Книга посвящена изучению случайных про­ цессов, определяемых дифференциальными урав­ нениями, правые части которых претерпевают случайные возмущения. Подобные задачи часто встречаются как в практических, так и в теоре­ тических исследованиях. При исследовании таких процессов важную роль играют асимпто­ тические методы, которые применимы, если возмущения в том или ином смысле малы. Имен­ но такие методы излагаются в книге.

Илл. 20. Библ. 119,

Александр Дмитриевич Вентцель, Марк Иосифович Фрейдлин

Ф ЛУКТУАЦ И И В ДИНАМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ М АЛЫ Х СЛ УЧ АЙ Н Ы Х ВОЗМУЩ ЕНИЙ

(Серия: «Теория вероятностей и математическая статистика»)

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.

Принцип усреднения. Флуктуации

вдинамических системах с усреднением

§1. Принцип усреднения в теории обыкновенных диффе­

ПРЕДИСЛОВИЕ

Асимптотические задачи всегда занимали важное мес­ то в вероятностных исследованиях. В классической тео­ рии вероятностей, имеющей дело в основном с последова­ тельностями независимых случайных величин, теоремы типа законов больших чисел, типа центральной предель­ ной теоремы и теоремы о больших уклонениях составляют балыпую часть всех исследований. В последние годы, когда основные интересы переместились на изучение слу­ чайных процессов, асимптотические исследования продол­ жают играть ведущую роль. Можно сказать, что в теории случайных процессов такие исследования играют еще боль­ шую роль, чем в классической теории вероятностей, потому что получение простых точных формул в задачах, связанных со сколько-нибудь широкими классами слу­ чайных процессов, по-видимому, невозможно.

Асимптотические исследования в теории случайных процессов включают результаты и типа закона больших чисел, и типа центральной предельной теоремы, и, нако­ нец, в последнее десятилетие — теоремы о больших ук­ лонениях. Конечно, все эти вопросы приобрели в теории случайных процессов новые аспекты и новые интерпре­ тации.

Одна из важных схем, приводящих к изучению раз­ личных предельных теорем для случайных процессов,— динамические системы, подвергающиеся воздействию слу­ чайных возмущений. К такой схеме приводит целый ряд задач как теоретического, так и прикладного характера. Часто бывает естественно предположение о малости в том или ином смысле случайных возмущений по сравнению с детерминированными составляющими движения. Задача изучения малых случайных возмущений динамических систем ставилась еще в статье П о н т р я г и н а х А н д -

этой статье, относились к одномерным и частично двумер­ ным динамическим системам и таким возмущениям, кото­ рые приводят к диффузионным процессам. Можно рассмат­ ривать также другие виды случайных возмущений, в част­ ности, возникающие в связи с принципом усреднения. Здесь малость воздействия возмущении обеспечивается тем, что они быстро колеблются.

Различные асимптотические задачи, возникающие при стремлении к нулю параметра, характеризующего ма­ лость случайных возмущений, и составляют содержание книги. Конечно, авторы не могли рассмотреть все мысли­ мые схемы малых случайных возмущений динамических систем. В частности, в книге совсем не рассматриваются динамические системы, порожденные случайными вектор­ ными полями. Основное внимание уделяется исследова­ нию влияния возмущений на больших временных интер­ валах. На таких интервалах малые возмущения уже, вообще говоря, оказывают существенное влияние на по­ ведение системы. Чтобы учитывать это влияние, необхо­ димо уметь оценивать вероятности маловероятных со­ бытий, т. е. необходимы теоремы об асимптотике вероят­ ностей больших уклонений для случайных процессов. В книге изучается эта асимптотика и ее применение к за­ дачам о поведении случайного процесса на больших от­ резках времени, таким, как задача о предельном поведе­ нии инвариантной меры, о выходе случайного процесса из области, об устойчивости при случайных возмущениях. Некоторые из этих задач были поставлены уже давно, другие — сравнительно новые.

Изучаемые нами задачи можно рассматривать как за­ дачи асимптотического исследования интегралов в функ­ циональном пространстве, а основной метод, которым мы пользуемся,— как бесконечномерное обобщение извест­ ного метода Лапласа. Эти конструкции примыкают к сов­ ременным исследованиям по асимптотическим методам. В тех случаях, когда в результате воздействия возмуще­ ний получаются диффузионные процессы, мы приходим к задачам, тесно связанным с эллиптическими и парабо­ лическими дифференциальными уравнениями с малым параметром. Из наших рассмотрений вытекают некоторые новые результаты о таких уравнениях. Мы с интересом

ветствующие формулировки в терминах дифференциаль­ ных уравнений.

Следует отметить, что эта книга пишется, когда тео­ рия больших уклонений для случайных процессов еще только создается. Здесь уже имеется ряд достижений, но многое еще впереди. Поэтому в книгу вошли некоторые вещи, не принявшие еще своей окончательной формы (причем часть материала дана обзорно), и в то же время какие-то новые исследования совершенно не нашли отра­ жения в книге. Авторы старались минимизировать свя­ занные с этим недостатки.

Книга рассчитана на читателя-математика, но может быть использована и специалистами смежных областей. Дело в том, что, хотя для доказательств используются довольно изощренные математические конструкции^ ре­ зультаты, как правило, допускают простую формулировку.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть b(x) — непрерывное векторное поле в Rr. Сначала поговорим о неслучайных возмущениях динами­ ческой системы

где Ь(х, у) — непрерывная по паре аргументов функция* обращающаяся в h(x) при у = 0; будем говорить о малых возмущениях, если функция ф, задающая возмущающее воздействие, в том или ином смысле мала.

Здесь может идти речь о задачах такого рода: о схо­ димости решения X t возмущенной системы к решению xt невозмущенной при неограниченном уменьшении возму­ щающего действия; о приближенных выражениях различ­ ной точности для отклонений X t—xt, обусловленных возмущениями; о тех же вопросах для различных функ­ ционалов от решения, например для времени первого выхода из определенной области D, и т. и.

Для решения такого рода задач, относящихся к ко­ нечному отрезку времени, от функции Ь(х, у) нужно тре­ бовать существенно меньше, чем для таких же задач, связанных с бесконечным отрезком (или конечным, но безгранично растущим с уменьшением возмущающего

при достаточно широких условиях норма остаточного

в котором yt будет зависеть от возмущений начальных ус­ ловий и правой части квадратически (функция yt будет определяться из системы линейных дифференциальных уравнений с квадратической функцией от фм 6* в правой

с остаточным членом, бесконечно малым по сравнению с

кого же рода результаты могут быть получены для воз­

отрезком времени,— для них существенны свойства ус­ тойчивости невозмущенной системы (1) при t -> оо.

Пусть х* — положение равновесия системы (1), т. е. Ь(х%) = 0. Пусть это положение равновесия асимптоти­ чески устойчиво, т. е. для любой окрестности U э я* существует меньшая окрестность У той же точки* такая,