книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdfР. А. Хечумов,
X. Кеттлер,
В.И. Прокопьев
ПРИ М Е Н Е Н И Е МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К РАСЧЕТУ КОНСТРУКЦИЙ
Допущено Государственным Комитетом Российской Федерации по высшему образованию
в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей
высших технических учебных заведений
Издательство Ассоциации строительных вузов
Москва 1994
ББК |
38.112 |
УДК |
519.63+539.3 |
Р е ц е н з е н т ы - кафедра строительной механики и сопротивления материалов Московского автомобильно-дорож ного института - Технического университета (зав кафедрой - д-р техн. наук проф. И.В.Демьянушко), д-р техн; наук проф. Н.Н.Шапошников (Московский государственный универ ситет путей сообщения).
Применение метода конечных элементов к расчету конст рукций: Учебное пособие для технических вузов / Р.А.Хечумов, Х.Кепплер, В .И..Прокопьев; Под общ.ред. Р.А.Хечумова. -М«: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1994.
-353 с.,ил.
ISBN 5-87829-013-8
Изложены основы применения метода конечных элементов (МКЭ) к расчету конструкций. Привлечение математического аппарата тензорной алгебры и тензорного анализа позволяет формулировать алгоритмы метода для их непосредственного использования в системах автоматизированного проектирова ния несущих конструкций.
С единой методической позиции описывается вывод мат риц жесткостей разнообразных конечных элементов (изопараметрических, суперпараметрических, субпараметрических, сингулярного). Достаточно подробно излагаются соотношения теории пластического течения, нелинейного формоизменения бетона, критерии его трещинообразования, законы ползучес ти и алгоритмы расчета конструкций при статических и ди намических нагружениях. Книга содержит большое количество примеров расчетов.
Федеральная целевая программа книгоиздания России.
3301000000-013 |
Ьбъявл. |
|
X ---------------- |
- баз |
|
009 |
(03J-94 |
|
ISBN |
5-87829-013-8 |
С Издательство АСВ, |
|
|
1994 |
Оглавление
Предисловие............................................ |
|
|
|
|
6 |
Список обозначений.................................... |
|
|
|
8 |
|
Введение............................................... |
|
|
|
|
11 |
Г л а в а 1 |
|
|
|
16 |
|
Теоретические основы метода конечных элементов(ИКЭ). |
|||||
1.1. Основы линейной теории упругости........ |
|
16 |
|||
1.2. Вариационная |
формулировка МКЭ.................. |
|
26 |
||
Г л а в а 2 |
|
|
|
38 |
|
Основныые соотношения МКЭ............................. |
|
||||
2.1. Матрица жесткости конечного элемента (МЖКЭ)....... |
38 |
||||
2.2. Преобразование |
координат........... |
............. 47 |
|||
2.3. Матрица жесткости |
структуры..................... |
|
49 |
||
2.4. Граничные условия................................ |
|
|
53 |
||
2.5. Вычисление напряжений и усилий в балке при...... |
54 |
||||
плоском |
изгибе................................... |
МКЭ |
|
||
2.6. Условия |
сходимости |
|
54 |
||
Г л а в а 3 |
|
|
|
57 |
|
Каталог матриц жесткостей............................. |
|
||||
3.1. Изопараметрический пространственный |
стержневой... |
57 |
|||
элемент......................................... |
|
|
треугольный элемент |
||
3.2. Изгибаемый плоский |
61 |
||||
3.3. Изопараметрический |
объемный КЭ.................. |
мембранный |
69 |
||
3.4. Изопараметрический |
четырехугольный |
КЗ. 76 |
|||
3.5. Изопараметрический |
криволинейный стержень....... |
82 |
|||
3.6. Изопараметрический четырехугольный элемент плиты |
|||||
типа Тимошенко................................... |
объемный МСКЭ-элемент |
85 |
|||
3.7. Изопараметрический |
90 |
||||
3.8. Модифицированный объемный МСКЭ-элемент для обо-., |
|||||
лочек............................................. |
|
|
|
|
96 |
3.9. Многослойный изопараметрический оболочечный КЭ... |
99 |
||||
3.10. Суперпараметрический конечный элемент изгибаемой,
пластины.......................................... |
109 |
3.11. суперпараметрический конечный элемент осесиммет-.
ричной оболочки переменной толщины............... |
122 |
3.12. Субпараметрический конечный элемент второго .....
порядка........ |
*................................. |
131 |
3.13. Сингулярный |
конечный элемент.................... |
134 |
3.14.Эффективная схема вычисления матрицы жесткости ..139 |
|
Г л а в а 4 |
|
Суперэлементная техника................................ |
144 |
4.1. Редукция системы уравнения в соответствии с прин |
|
ципами конденсации................................ |
144 |
4.2. Многоступенчатая редукция системы уравнений...... |
146 |
4.3. Алгоритмы суперэлементной техники................ |
150 |
Г л а в а 5 |
|
Физически и геометрически нелинейные задачи........... |
157 |
5.1. Упругопластические деформации.Закон состояния.... |
159 |
5.2. Нелинейно-упругие физические уравнения для бетона171
5.3. Тензор деформации при образовании трещин......... |
175 |
|||
5.4. Учет реологических свойств материала |
............. |
188 |
||
5.5. Геометрическая нелинейность........ |
|
194 |
||
5.6. Алгоритмы расчета по МКЭ с учетом нелинейности... |
198 |
|||
Г л а в а 6 |
|
|
|
206 |
Задачи динамики и устойчивости сооружений............. |
|
|||
6.1. Матрица масс конечного элемента.................. |
|
206 |
||
6.2. Матрица демпфирования |
.............................сооружений |
* |
209 |
|
6.3. Собственные |
колебания ..... .......... |
212 |
||
6.4. Вынужденные |
колебания ................. |
сооружений |
|
220 |
6.5. Устойчивость |
сооружений........................... |
|
|
227 |
Г л а в а 7 |
|
|
|
238 |
Реализация МКЭ на ЭВМ.................................. |
|
|
||
7.1. Программные |
системы... ........................... |
|
|
238 |
7.2. Краткие характеристики самых мощных современных |
244 |
|||
программных |
комплексов..... ..................... |
* |
|
|
7.3. Пре- и постпроцессорные ....... |
программы |
|
247 |
|
Г л а в а 8 |
|
|
|
256 |
Примеры расчетов........................................ |
|
|
|
|
8.1. Структурная |
конструкция...................... ..... |
|
|
256 |
8.2. Муфта крепления структурного покрытия здания к ко
лоннам.............................. |
266 |
8.3. Пластина переменной толщины....................... |
269 |
8.4. Составная оболочка покрытия сооружения........... |
271 |
8.5. Многополостной корпус высокого давления......... |
281 |
8.6. Учет нелинейного |
деформирования материала при |
рас |
чете осесимметричного |
корпуса высокого давления....... |
285 |
8.7. Устойчивость и нелинейное деформирование........ |
|
||
оболочек........................................ |
|
291 |
|
8.8: Изгиб трехслойной углепластиковой пластины....... |
293 |
||
|
Приложение.......................................... |
297 |
|
1. |
Основы тензорной алгебры........................... |
‘297 |
|
2. |
Тензорный |
анализ ...... .............. ............. |
311 |
3. |
Геометрия |
поверхности ................. |
321 |
4. |
Использование тензорного исчисления в механике .... |
||
твердого тела |
......................................... |
328 |
|
Литература |
|
337 |
|
Численные методы решения задач механики сплошных сред приобрели важное значение в связи с использованием ЭВМ в практических расчетах* К числу методов, получивших широ кое распространение, относится метод конечных элементов (МКЭ). Его популярности и быстрому развитию способство вали : общность подхода при решении различных задач и ра счете конструкций, в том числе сложных конструкций, сос тоящих из различных конструктивных элементов различной мерности, естественная механическая трактовка и возмож ность построения моделей на основе физического, а не ма тематического подхода, простота описания граничных усло вий и их учет при проведении расчетов, возможности рас смотрения неоднородных тел произвольной природы и др. Ис пользование аппарата матричной алгебры и тензорного ис числения в рамках МКЭ и наличие стандартных программ поз воляют создавать универсальные вычислительные комплексы для приближенного численного решения задач статического и динамического поведения конструкций.
В настоящее время МКЭ внедрен в учебный процесс в выс ших учебных заведениях и широко используется научными сотрудниками и аспирантами в проводимых ими исследованиях прочно вошел в вычислительные комплексы систем автомати зированного проектирования.
Предлагаемое учебное пособие ориентировано на препода вателей высших учебных заведений, слушателей факультетов повышения квалификации, аспирантов и студентов вузов.
Поэтому в нем сделан акцент на систематическое изложе ние теоретических основ метода,, а в приложении представ лены основы тензорного исчисления и их применение в зада чах механики.
Не щ^тендуя на изложение существенно новых результа тов, авторы в то же время стремились представить ряд прак тически важных направлений МКЭ и его приложений к расчету строительных конструкций,хотя этот метод одинаково приме ним к расчету любых других конструкций.
Настоящий учебное пособие является результатом сотруд ничества Между Московским государственным строительным университетом и Веймарской высшей школой архитектуры и строительства-университетом. Авторы приносят глубокую благодарность канд.физ.мат.наук Я.3.Бурману и канд.техн.
наук С.С.Соловьеву за предоставленные материалы своих ис следований (раздел 8.8), Т.П.Рыбаковой за помощь в пере воде части материала кнМги с немецкого языка на русский
б
язык. Ценные и полезные замечания в процессе работы над рукописью книги были сделаны профессорами Н.Н.Шапошнико вым, И.В.Демьянушко, В.Г.Пискуновым, Х.Кречмарок. Авторы выражают им свою признательность, а также А.М.Мелешко и С.А.Ивановой за подготовку оригинал-макета книги на пер сональном компьютере.
Мы будем благодарны читателям за замеченные недостат ки по тексту данной книги. Просим присылать замечания и пожелания авторам в адрес издательства "А с В": 129337, Москва, Ярославское шоссе, д.2б, Ассоциация строительных высших учебных заведений.
Р.А.Хечумов
X.Кепплер
В.И.Прокопьев
Список обозначений
Здесь приводятся основные обозначения. Другие исполь зуемые обозначения поясняются непосредственно по мере их появления в тексте книги.
Jr
г- глобальные декартовые координаты;
5( |
к |
=( |
|
к |
|
)/dz |
) . - частная производная по z ; |
||||
i |
|
|
'К |
общем случае,криволинейные■ |
координаты; |
xJ - локальные/В• |
|||||
д( |
)/д,х? |
=( |
) - частная производная по х-^; |
|
|
Ii
а.- плоскостные координаты треугольника;
и- компонента вектора перемещения в декартовой систе ме координат;
U- вектор-функция формоизменения;
V- вектор смещений узлов;
с^ - компонента тензора деформаций;
J2=6^ - первый инвариант тензора деформаций*;
J2= ( е ^ е j |
j |
^)/2 - второй инвариант тензора дефор |
маций*; - компонента девиатора деформаций*;
JD2="eijeji/2 “ второй инвариант девиатора деформаций*;
JD3=det(e^j) - третий инвариант девиатора деформаций*;
с - вектор деформации;
—~■ *
-компонента тензора напряжений;
Il_<rkk - первый ивариант тензора напряжений
s ..=0*. .-1.5. ./3 - компонента девиатора напряжений*;
J.J 1J X J.J
ID2=”sijsji/2 "" второй инвариант девиатора напряжений*;
ID3=det(s^j) - третий инвариант девиатора напряжений*;
о’ - вектор напряжений;
f - вектор узловых сил;
р - вектор объемных сил;
q -. вектор сил |
на |
поверхности тела; |
|
G(x3 } - матрица |
функций |
формы; |
|
N. - функция формы |
для |
перемещения в ±-ом узле; |
|
H(xJ) - матрица аппроксимирующих функций;
I - единичная матрица;
коэффициенты преобразования из декартовой
в криволинейную систему координат;
<£^ - базисный вектор оси z^;
g. (g-5) - ковариантный (контрвариантный) базисные векто-
■J |
|
|
"1 |
|
|
.. |
ры оси xJ произвольной криволинейной системы |
||
|
координат? |
(контрвариантная) компоненты |
||
jg±j(g -,) |
- ковариантная |
|||
|
|
метрического |
тензора; |
|
g - определитель |
метрического тензора; |
|||
J 4 - |
определитель«I |
матрицы |
Якоби; |
|
5^, |
6.., |
- символы Кронекера? |
||
хй - локальные координаты Гаусса на поверхности;
аа (аа ) - ковариантный (контрвариантный) базис поверх-
ности?
а«0 (а043) - ковариантные (контрвариантные) компоненты
метрического тензора поверхности; а - определитель метрического тензора поверхности;
iikl
С J - компоненты тензора закона деформации; 5 - символ вариации?
V - объем;
Е- модуль упругости;
-модуль упругости в направлении оси х^;
v - коэффициент поперечного сжатия (коэффициент Пуассона); G - модуль сдвига?
д, Л - постоянные Ламе; К - матрица жесткости;
gQ - модуль расширения (дилатации)?
- прочность бетона на сжатие;
Rj^ - прочность бетона на растяжение?
V>(0) - константа ползучести при объемном расширении;
<PQ {0) - константа ползучести при формоизменении;
r=vr-4ID2#. Г , Ге - интенсивность деформации сдвига (Ге
ниева) для фактического состояния фор моизменения ,предельная интенсивность деформации чистого сдвига, предельная интенсивность деформаций сдвига при произвольном напряженном состоянии;
T=v'-ID2, Т , Т - интенсивность касательных напряжений, предельная интенсивность касательных
напряжений при деформации чистого сдви га, предельная интенсивность касательных напряжений для произвольного напряжен ного состояния;
- работа формоизменения;
Wa - работа внешних сил.
Обозначения, используемые в главе по геометрической нелинейности.
xJ ,3j - координаты,базисные векторы криволинейной системы
- координат для исходного состояния тела; Uu - компонента вектора смещения в базисе Gj.;
x-),ii|j - координаты,базисные векторы криволинейной сис
. |
темы координат для текущего деформированного |
|
состояния тела; |
; |
|
и3 - компонента вектора смещения в базисе |
||
CJJ |
- правый тензор первой меры деформаций |
(тензор Ко |
ши-Грина) ;
&U - тензор деформаций Грина (Лагранжа);
с..- вторая мера деформаций;
е..- тензор деформаций Эйлера (Альманси-Гамеля).
*-в декартовой системе координат