книги / Практическая кристаллография

ном NBS и меридианом NADS, проходящим через точку А — сферическую про­ екцию направления в кристалле ОА. Этот угол стягивается дугой BD и отсчиты­ вается по экватору от точки экватора В (ф = 0°) по часовой стрелке. Величина долготы может изменяться от ср = 0° до 360°. Для направления ОА на рис. 6.1, а величина долготы ср = LBOD составляет приблизительно около тридцати угло­ вых градусов.

Следует заметить, что описанная полярная система координат, которая при­ меняется в кристаллографии, существенно отличается от другой, привычной сферической координатной системы, которая принята в географии. Там отсчет координат производится более сложным способом: долготу отсчитывают по обе стороны (к востоку и к западу) от нулевого (гринвичского) меридиана, а вторую координату — широту — отсчитывают не от полюсов земного шара, а от его экватора и тоже по обе стороны (к северу и к югу).

В качестве простейших примеров применения описанной координатной си­ стемы рассмотрим стереографические проекции (СП) координатных направ­ лений OX, OY, OZB кубе (рис. 6.2, г) и их соответствующие полярные координа­ ты, принимая за начало координат О — центр куба, а за направления осей координат — оси симметрии четвертого порядка 3L4, которые перпендикуляр­ ны граням куба (рис. 1.2, а). Представленные СП соответствуют горизонталь­ ным и вертикальным направлениям. Что касается значений долготы вертикаль­ ных направлений ±OZ, то эти показатели не указываются, поскольку именно для этих двух направлений, проходящих через особые точки сферы — ее полю­ сы, эти характеристики являются излишними.

Характеристики координатных направлений в кубических кристаллах при­ ведены ниже:

Для непосредственного отсчета углов по стереографической проекции и для построения самой стереографической проекции одним из крупнейших отече­ ственных кристаллографов Г.В.Вульфом был разработан простой универсаль­ ный измерительный инструмент, который получил всеобщее распространение для работы с кристаллами под названием «сетки Вульфа».

Кристаллографическая градусная сетка Г.В.Вульфа (КСВ) представляет со­ бой стереографическую проекцию меридиональных дуг сферы, следующих че­ рез каждые два градуса и разбитых, в свою очередь, на угловые деления по два градуса (первый форзац). Стандартный диаметр такой сетки составляет 200 мм, что позволяет с ее помощью производить измерение углов по стереографичес­ кой проекции с точностью до половины градуса, достаточной для большинства практических технических измерений. Применение каждой из меридиональ­ ных дуг сетки Вульфа (а также ее экватора) для измерения центральных углов между стереографическим проекциями объясняется тем обстоятельством, что и меридиональные (вертикальные) сечения сферы, и ее экваториальное (гори­

зонтальное) сечение проходят через центр сферы и поэтому являются больши­ ми кругами, которые (в отличие от малых кругов) позволяют измерять цент­ ральные углы: долготу ср, полярное расстояние р, углы К, ц, v между определяе­ мым направлением в кристалле и осями координат OX, OY, OZ соответственно.

Меридианы КСВ сходятся в двух точках — полюсах сетки, которые соединя­ ются ее «вертикальным» диаметром. Другой диаметр сетки — «горизонталь­ ный» — расположен перпендикулярно «вертикальному» и тоже проходит через центральную точку круга сетки Вульфа. Оба диаметра сетки разбиты на одина­ ковые угловые деления по два градуса и служат для отсчета полярного расстоя­ ния р — угла между данной стереографической проекцией направления и вер­ тикальной осью OZ, проекция которой совпадает с центром сетки.

Линия контура КСВ (р = 90°) делит воображаемую сферу проекций на два полушария, которые называют верхним (0° s р s 90°) и нижним (90° s p s 180°) полушариями.

Для измерения долготы ф — угла между нулевым и рабочими меридианами используют контур сетки Вульфа, образованный двумя ее крайними меридиа­ нами: левым и правым. Отсчет долготы производят по контуру круга проекций в направлении часовой стрелки начиная от крайней правой точки горизон­ тального диаметра сетки (это исходное положение соответствует нулевому ме­ ридиану стереографической проекции ф = 0) до рабочего меридиана, на кото­ ром лежит данная стереографическая проекция.

Сама кристаллографическая сетка Вульфа служит лишь измерительным ин­ струментом, трафаретом наподобие масштабной линейки, поэтому никаких от­ меток и записей на ней не производится. Построение стереографической про­ екции производится не на сетке Вульфа, а на отдельном прозрачном листе из кальки или пленки, который накладывается на этот трафарет и может свободно перемещаться относительно его центра.

Построение стереографической проекции направления в кристалле по задан­ ным полярным координатам начинают с подготовки рабочей поверхности доку­ мента. На листе кальки формата А4 наносят циркулем окружность диаметром 200 мм (ровно!), после чего аккуратно делят ее на четыре равные части с помо­ щью вертикального и горизонтального диаметров (при этих подготовительных операциях можно использовать сетку Вульфа). Затем кальку накладывают на сетку Вульфа, аккуратно совмещая их диаметры и линии контуров, и ставят отметку ф = 0 у правого края горизонтального диаметра. После этого, контроли­ руя совмещение линий на кальке и сетке, откладывают по контуру по часовой стрелке заданное значение долготы ф и делают соответствующую отметку (на кальке!). Далее центральным вращением кальки эту отметку совмещают с гори­ зонтальным диаметром сетки Вульфа и соединяют прямой линией с центром круга.

Теперь все готово для построения самой стереографической проекции. Ос­ талось лишь отложить на указанной прямой линии от центра круга проекций заданное значение полярного расстояния р и нанести на кальку соответствую­ щий значок стереографической проекции — кружочек или крестик — в зави­ симости от величины полярного расстояния (не более 90° — кружочек, в ос­ тальных случаях — крестик) и вернуть кальку в исходное положение.

Для определения полярных координат направления в кристалле по его стерео­ графической проекции прозрачную кальку или пленку с нанесенными на них стереографическими проекциями и контуром круга проекций (диаметром 200 мм) накладывают на сетку Вульфа, совмещая их контуры и диаметры. Затем центральным поворотом кальки совмещают данную стереографическую про­ екцию с горизонтальным диаметром сетки и от центра по диаметру (как по линейке) проводят через данную СП прямую до пересечения с линией конту­ ра. Участок этой прямой от центра до данной СП соответствует величине по­ лярного расстояния р. После этого замера кальку центральным поворотом воз­ вращают в исходное положение и по положению конца проведенной на кальке прямой линии производят отсчет величины долготы <р (от крайней правой точ­ ки горизонтального диаметра — по контуру — по часовой стрелке).

6.4. Определение угла между двумя направлениями в кристалле по заданным стереографическим проекциям

Поскольку оба направления в кристалле представлены исходящими из цен­ тра сферы (где они оказались либо сначала, либо в результате параллельного переноса), для измерения угла между ними требуется найти величину соответ­ ствующего угла 0. Для решения этой задачи необходимо связать оба направле­ ния с дугой одного большого круга, т.е. привести их на один и тот же большой круг и измерить соответствующую дугу, которая стягивает искомый угол 0. Здесь следует рассматривать два возможных случая в зависимости от взаимного рас­ положения заданных направлений: находятся ли оба направления на одной полусфере (сферической проекции), или же они — на различных полусферах (одно направление пересекает верхнюю полусферу, другое — нижнюю полу­ сферу).

Начнем решение задачи с первого случая, когда обе заданные стереографи­ ческие проекции находятся на одной и той же полусфере. В этом случае доста­ точно простого центрального поворота кальки с нанесенными на ней по всем правилам стереографическими проекциями заданных направлений в кристал­ ле, чтобы привести обе проекции на одну меридиональную дугу. Добившись совмещения СП обеих заданных направлений с каким-либо меридианом сетки Вульфа (рис. 6.3, а), отсчитывают угловое расстояние между обеими проекциями. Это и будет искомый угол 0.

Во втором случае, когда оба направления оказываются на разных (верхней и нижней) полусферах (рис. 6.3, б), опять-таки необходимо привести обе стерео­ графические проекции на один большой круг, чтобы измерить соответствую­ щий центральный угол. С этой целью производим центральное вращение каль­ ки с двумя стереографическими проекциями заданных направлений до такого положения, когда обе проекции окажутся на симметричных (относительно вер­ тикального диаметра сетки Вульфа) меридианах (рис. 6.3, в). Эти два симмет­ ричных меридиана вместе составят один большой круг: если один меридиан (на котором находится проекция верхнего направления) принадлежит верхней полусфере, то другой меридиан (на который привели проекцию нижнего на-

Рис. 6.3. Измерение углов между направлениями в кристалле с помощью сетки Вульфа: а — обе проекции на верхней полусфере; б — проекции на разных полусферах; в — при центральном вращении кальки обе проекции (ср. рис. 6.3, б) приведены на два симметричных относительно вертикального диаметра сетки Вульфа меридиана, составляющих вместе один большой круг

правления) принадлежит нижней полусфере. Таким образом, один меридиан является естественным продолжением другого меридиана, оба лежат в одной плоскости и вместе составляют один большой круг.

Теперь для решения поставленной задачи осталось, пользуясь обоими мери­ дианами как измерительными линейками, определить угловые расстояния от одной проекции до ближайшего полюса сетки Вульфа (0,) и от этого полюса до другой проекции (02) и, сложив оба результата, определить величину иско­ мого угла между двумя направлениями в кристалле, которые были заданы сво­ ими стереографическими проекциями: 0, + 02 = 0.

6.5. Определение координатных углов направления в кристалле и построение проекции направления по координатным углам

Пусть задана стереографическая проекция М некоторого направления в кри­ сталле (рис. 6.4, а). Задача заключается в определении координатных углов за­ данного направления. Напомним, что под понятием координатных углов подра­ зумеваются углы, которые образует данное направление с осями координат ОХ, OY, OZ.

В принципе, данная задача во многом похожа на только что рассмотренную задачу определения угла между двумя направлениями в кристалле. В обоих слу­ чаях оперируют с координатными углами и стереографическими проекциями. Единственное отличие заключается в том, что в последней задаче нужно будет рассмотреть не одну пару направлений, а три — по числу координатных осей (а в случае определения координатных углов в гексагональном кристалле — даже четыре пары).

Начнем решение задачи с определения угла X между стереографическими проекциями координатного направления ОХ — проекцией А и проекцией М — заданного направления в кристалле. В соответствии с алгоритмом определения угла между направлениями по их стереографическим проекциям, который рас­ смотрен в предыдущем пункте, обе заданные проекции следует привести на меридиональные дуги (или дугу) одного большого круга.

Рис. 6.4. Определение координатных углов по заданной проекции направления (а) и построение СП по заданным координатным углам (б)

В нашем случае, когда проекция А оси координат ОХ (на кальке) совмещена с полюсом сетки Вульфа, а проекция М заданного направления в кристалле располагается на одной из меридиональных дуг, исходящих из упомянутого полюса, обе проекции А и М оказываются на одной дуге большого круга, и для определения первого координатного угла X остается лишь выразить в градусах отрезок меридиональной дуги AM.

Для определения второго координатного угла ц между заданным направле­ нием в кристалле (проекцией М) и осью координат OY (проекцией В) доста­ точно центральным поворотом кальки по часовой стрелке на 90° совместить проекцию В с полюсом сетки Вульфа и отсчитать нужный угол по отрезку меридиональной дуги ВМ (как и в случае определения угла X).

Для определения третьего координатного угла v между заданным направле­ нием в кристалле (проекцией М) и третьей осью координат OZ (проекцией С) достаточно привести проекцию М центральным поворотом кальки на любой из диаметров сетки Вульфа и отсчитать по этому диаметру угловое расстояние от центра круга стереографической проекции (где находится проекция Q до проекции направления М. Действительно, положение обеих проекций на одном диаметре сетки Вульфа эквивалентно их положению на одном большом круге и позволяет измерить величину центрального угла между заданным направле­ нием в кристалле, которое проходит через центр сферы, и координатным на­ правлением, которое также проходит через центр сферы.

Если построение стереографической проекции направления в кристалле по заданным полярным координатам уже было рассмотрено выше, то для такого же Построения, но уже по заданным координатным углам X, ц, v, потребуется следующее построение.

1.На кальку наносим: контур круга стереографических проекций (диамет­ ром 200 мм ровно), вертикальный и горизонтальный диаметры и стереографи­ ческие проекции А, В, С координатных направлений OX, OY, OZсоответственно (рис. 6.4, б).

2.Накладываем кальку на сетку Вульфа, тщательно совмещая линии контура

иобоих диаметров на кальке с соответствующими линиями на сетке Вульфа.

3.От точки А отсчитываем (по контуру круга проекций: UАа = UAc = X либо по вертикальному диаметру: L\Ab = X) первый заданный координатный угод х

ипроводим на кальке (с помощью сетки Вульфа) дугу Uabc, каждая точка которой соответствует условию: X = const и соответствует направлению, состав­ ляющему с осью ОХ угол X.

4.От точки В отсчитываем (по контуру круга проекций: UBd = UBf= ц либо по горизонтальному диаметру: UBe = ц) второй заданный координатный угод ц.

5.Центральным поворотом кальки на 90° совмещаем точку В с полюсом сетки Вульфа и проводим на кальке дугу Udef, каждая точка которой соответ­ ствует условию ц = const. Точка пересечения двух дуг — Uabc и Udef — точка D

—соответствует условиям задачи. Остается лишь установить, на каком из полу­ шарий лежит искомая проекция.

6.Если третий координатный угол v менее 90°, то на месте точки D наносим кружочек, что соответствует положению стереографической проекции на верх­ ней полусфере. Если v = 90°, то кружочек окажется на линии контура круга проекций. Если же угол v больше 90°, то на месте точки D нанесем крестик, что соответствует положению стереографической проекции на нижней полусфере.

7.В качестве контрольной операции проводим проверку соответствия по­ лярного расстояния р = v точки D условию задачи. С этой целью совмещаем (центральным поворотом) прямую CDgD" (точка D на нижней полусфере — на рисунке не показано) с любым диаметром сетки Вульфа. Угловое расстояние CD должно отвечать условиям задачи, если v < 90°; угловое расстояние CgD" соответствует условиям задачи, если v > 90°

6.6.Определение кристаллографических символов атомных рядов

иатомных плоскостей по их стереографическим проекциям

Стереографическая проекция является довольно емким источником инфор­ мации о кристалле. Теперь рассмотрим примеры практического применения результатов определения координатных углов для вычисления символов на­ правлений и атомных плоскостей в кристаллах.

В результате определения координатных углов направления в кубическом кристалле получены следующие значения: X = 77,40°; ц = 115,88°; v = 29,21° Для определения кристаллографических индексов заданного направления под­ ставим указанные параметры в соотношение (4.9):

Таким образом, определили символ кристаллографического направления [124] по данным координатным углам.

В качестве другого практического примера приведем результаты опре­ деления координатных углов для нормали грани кубического кристалла:

В результате получили символ грани (431) по значениям координатных углов.

6.7. Построение дуги к полюсу и полюса к дуге

Решая задачу о построении стереографической проекции грани или атом­ ной плоскости, отмечали два варианта возможного решения: либо строить ли­ нию пересечения этой плоскости со сферой проекций, либо заменить плос­ кость ее нормалью и строить стереографическую проекцию этой нормали. Оба варианта связаны друг с другом таким же образом, каким однозначно связаны друг с другом сама плоскость и ее нормаль.

В ряде задач кристаллографии, подразумевая эту связь, именуют проекцию нормали полюсом, а проекцию плоскости именуют дугой.

Задача. Построить стереографическую проекцию плоскости по заданной сте­ реографической проекции ее нормали.

Пусть А — проекция нормали данной атомной плоскости (рис. 6.5, а). По­ скольку нормаль плоскости образует прямой угол с любой прямой, лежащей в этой плоскости, решением задачи может быть любая прямая, составляющая прямой угол с нормалью, вернее, полная совокупность стереографических про­ екций таких прямых (или геометрическое место таких точек — стереографи­ ческих проекций этих прямых).

Для решения задачи центральным вращением кальки с данной проекцией нормали выведем точку А на горизонтальный диаметр сетки Вульфа (рис. 6.5, б). Затем отсчитаем по горизонтальному диаметру 90° в сторону центра круга про­ екций, сделаем на кальке соответствующую отметку Ь и проведем дугу и abc через эту отметку и оба полюса сетки Вульфа, пользуясь меридиональной дугой сетки Вульфа. Таким образом, в соответствии с этим построением все точки этой дуги образуют прямые углы с нормалью А.

с

а

Рис- 6.5. Построение дуги к полюсу: задан полюс А (а); совмещение полюса А с диаметром сетки Вульфа (б); возвращение позиции а в исходное положение (в)

е

Рис. 6.6. Построение полюса к дуге Uefgh: исходная дуга (а)\ поворот (б); возврат дуги в исходное положение (в)

Дуга Uabc проходит по верхней полусфере (сферической проекции). Ее есте­ ственным продолжением на нижней полусфере является дуга (Jade, которая на сетке Вульфа располагается симметрично первой дуге относительно вертикаль­ ного диаметра сетки. Все точки второй дуги обладают, такими же свойствами, как и точки первой дуги: соответствующие каждой точке прямые составляют с нормалью А прямой угол.

Таким образом, проведя дугу (Jade, достроим большой круг abed, который является искомой дугой к полюсу А (рис. 6.5, в).

Задача. Найти полюс Р по заданной стереографической проекции плоскости efgh, которая играет роль экваториальной дуги (рис. 6.6, а).

Центральным поворотом кальки с заданной стереографической проекцией плоскости совместим точки е и g с ближайшими полюсами сетки Вульфа (рис. 6.6, б). После этого поворота точки/и А выйдут на горизонтальный диа­ метр сетки Вульфа. Отсчитаем по горизонтальному диаметру сетки Вульфа от точки h прямой угол в сторону центра круга проекций и нанесем там кружочек — знак стереографической проекции искомого полюса Р к дуге efgh. По заверше­ нии построений возвратим кальку в исходное положение (рис. 6.6, в).

6.8. Поворот проекции направления на заданный угол

При решении задачи поворота заданной стереографической проекции на­ правления на угол будем рассматривать три случая в зависимости от ориен­ тировки оси поворота: а) вертикальная ось поворота; б) наклонная ось пово­ рота; в) горизонтальная ось поворота.

В случае вертикальной оси поворота О центральным поворотом кальки выво­ дим заданную стереографическую проекцию направления т на любой из диа­ метров сетки Вульфа и прочерчиваем положение меридиана Отп (рис. 6.7, а), а также измеряем угол От между проекцией направления т и осью поворота О Затем отсчитываем по контуру круга проекций заданный угол поворота гр и делаем соответствующую отметку к. После этого проводим от центра О новый

Рис. 6.7. К повороту стереографической проекции направления т вокруг вертикальной оси О (а); наклонной оси О (б); горизонтальной оси О (в) на угол

меридиан Ок и последующим центральным поворотом кальки совмещаем Ок с ближайшим диаметром сетки Вульфа. Отсчитав по диаметру сетки Вульфа от ее центра угол Os, равный углу От, наносим точку т — искомое положение новой стереографической проекции заданного направления.

Во втором случае, когда ось поворота О занимает наклонное положение (рис. 6.7, б), стереографическую проекцию оси поворота О принимают за по­ люс и, как было описано в предыдущем пункте, строят к этому полюсу дугу abed. Затем через полюс О и стереографическую проекцию заданного направ­ ления ц проводим с помощью сетки Вульфа меридиональную дугу Oml. Пользу­ ясь этой дугой, измеряют угол От между заданной стереографической проек­ цией направления и осью поворота. Затем по дуге abed от точки / отсчитываем угол поворота ф и проводим новый меридиан Os. И наконец, по этому мериди­ ану от проекции оси поворота О отсчитываем угол Ot, равный углу От, и наносим точку t — знак нового положения стереографической проекции (после поворота).

Сопоставление обоих рассмотренных вариантов решения поставленной за­ дачи показывает, что никаких принципиальных различий между ними нет. Не­ большое различие заключается лишь в том, что во втором случае отсчет задан­ ного угла поворота ф производится по специально построенной дуге большого круга abed, в то время как в первом случае этот угол поворота отсчитывается по ДРУгому большому кругу: непосредственно по контуру круга проекций. Все же остальные элементы построения искомой стереографической проекции прак­ тически полностью совпадают.

В последнем, третьем случае ось поворота О, которую принимаем за полюс, заНимает горизонтальное положение (рис. 6.7, в). Через полюс О и центр круга проекций С проведем полярную ось ОС. Под прямым углом к полярной оси ОС проведем через центр круга С диаметр аСЬ, который будет играть роль эквато­ риальной дуги, по которой производится отсчет заданного угла поворота ф. Цен­ тральным поворотом кальки совместим полюс О с полюсом сетки Вульфа, при этом новый диаметр аСЬ совместится с горизонтальным диаметром сетки Вульфа.

Через полюс О и заданную проекцию т проведем меридиан Отп и измерим по этому меридиану угол От между полярной осью ОС и направлением т.