книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления

Теорему легко обобщить для случая трех событий Л 1} Л 2, Л 3. Обозначим событие «или A lt или Л 2»~через А = А г + Л 2, тогда

Р (Аг + А 2 + А з) = P (А + А 3) = P (А) + Р (Л3).

Так как P (А) = Р (А г) -р Р (Л2), то

В случае п несовместных событий, теорема принимает вид

Второе следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Это следствие весьма важно в теории надежности, ибо весьма часто оказывается, что вычислить вероятность противоположного

события Л легче, чем вероятность прямого. В таких случаях ве­ роятность основного события Р (А) определяется по формуле

Теорема сложения имеет в виду несовместные события. Если события A J и Л 2 совместны, то вероятность появлений или A lt или Л 2, или Л ! и Л 2 совместно равна

Р (или A lt или Л 2, или А гА 2) = Р (Л ^ + Р (Л2) —

Это соотношение легко получить, если рассмотреть рис. 12. Так как события Л х и Л 2 совместны, то области 1 и 2 перекрывают одна другую, образуя область 3.

что и требовалось доказать.

§ 14. Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий А 1 и А 2 равна произведению вероятности одного из них, например, Р (А х), на условную вероятность другого P (А JA^), т. е.

Пусть все равновозможные исходы опыта сводятся к случаям, из которых М г соответ­ ствуют появлению события A lt М 2 — собы­ тию А 2, a Mlf2— одновременному появлению A i и А 2, т. е. событию А ХА 2- Допустим да-

Рис. 13. К теореме лее, что каждому исходу отвечает некоторая умножения^вероятноточка на плоскости в пределах прямоуголь­

ника, изображенного на рис. 13. В пределах областей I, 2, 3 находятся точки, изображающие исходы, кото­ рым отвечают события соответственно А ц А г\ и А г и А г-

Легко найти

. - Р ( А ) = ^ - ,

Р ( Л А ) = % - г .

Вероятность P (A J A х) представляет собой вероятность собы­ тия А 2, вычисленную в предположении, что событие A j уже имело место. Для определения ее необходимо учесть все исходы M lt

Для достаточно больших значений п формулу (17) удобно за­ менить приближенным выражением, введя вероятность q = 1 — р:

§ 15. Teopema полной вероятности

На основании теорем сложения и умножения формулируется весьма важная для теории надежности теорема полной вероят­ ности.

Допустим, что сложное событие А может произойти только вместе с осуществлением п некоторых других несовместных собы­ тий — предположений, называемых гипотезами Hh образующими полную группу несовместных событий

H =: H 1 -f- Н 2 -f* . . . “f- Hi ~f—. . . —J—Hn.

К

В соответствии с (8) имеем

Событие А может осуществиться, если произойдет одно из сле­ дующих попарно событий:

1) осуществилась гипотеза Н 1 [с вероятностью P (HJ], тогда вероятность зависимого от этой гипотезы события А будет равна

Р(Л/HJ;

2)осуществилась гипотеза Я 2 [с вероятностью P (HJ ], тогда

P (HJ искомая вероятность события А, представляемая как сумма несовместных п перечисленных частных одновременных совмеще­

§16. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Существо теоремы гипотез вытекает из следующей задачи.

наблюдалось появление некоторого события Л. Необходимо опре­ делить, как следует изменить вероятность гипотез в связи с по­ явлением события, т. е. определить P (HJА).

Поставленную задачу можно решить, пользуясь формулой

Доказательство формулы Бейеса простое. Знаменатель правой части, согласно (20), есть Р (Л), тогда выражение (21) можно за­ писать в виде

Выражение (22) вытекает из теоремы умножения (11).

IV. Количественные характеристики надежности

§ 17. Вероятность безотказной (исправной) работы

Под вероятностью безотказной (исправной) работы изделия понимается вероятность того, что в заданном интервале времени

ипри заданных условиях эксплуатации не произойдет отказа.

Вероятность безотказной работы обозначается символом P (t). Если обозначить через Т время непрерывной исправной ра­

боты изделия от начала работы до отказа, а через t — время, в те­ чение которого надо определить вероятность безотказной работы изделия, то Р (0 есть вероятность (р), того, что случайная вели­ чина Т будет больше или равна •/, т. е.

EctecTBeHHO, что чем больше заданный промежуток времени, для которого определяется надежность изделия, тем меньше значение вероятности безотказной работы и наоборот.

Функция вероятности безотказной работы, если она известна, наиболее полно определяет надежность изделия. Она обладает следующими очевидными свойствами:

1) 0 < P ( t ) < 1;

2) Р (0) = 1 ; Р (оо) = 0 .

Из второго свойства следует, что в начальный момент времени при i — 0, т. е. в момент включения изделия, отказа быть не может. Но практически это не всегда имеет место.

Условие можно считать справедливым только в том случае, если устранить возможность повреждения аппаратуры к моменту включения и считать, что к этому моменту аппаратура заведомо исправна.

Типичное изменение вероятности безотказной работы с тече­ нием времени показано на рис. 14. Вероятность безотказной ра-

можно использовать данные, полученные в процессе эксплуата­ ции аппаратуры, или же данные, полученные из опыта, поста­ новка которого не вызывает больших трудностей.

Надежность изделий можно оценивать и по величине вероят­ ности неисправной работы, т. е .. вероятности отказа.

Вероятность отказа — вероятность того, что в заданном интервале времени и при заданных условиях эксплуатации про­ изойдет хотя бы один отказ.

Вероятность отказа обозначается символом Q (/) и представ­ ляет собой вероятность (р) того, что случайная величина Т — время отказа — примет значение, меньшее некоторого наперед за­ данного времени t , для которого определяется эта вероятность, т. е.

Из выражения (26) видно, что вероятность отказа есть инте­ гральная функция распределения времени исправной работы, т. е.

Вероятность отказа и вероятность безотказной (исправной) рабо­ ты — события противоположные, поэтому справедливо равенство

Так как производная от интегральной функции распределе­ ния есть дифференциальный закон (плотность) распределения, то

т. e. производная от вероятности отказа есть дифференциальный закон распределения случайной величины — времени исправной работы.

Статистически вероятность отказа можно определить из урав­ нения

A t

2 ni

(3°)

где N о, nh t n At имеют те же значения, что и в уравнении (24). Для пояснения способа получения такой характеристики, как

вероятность безотказной работы, рассмотрим два примера. Пример. Допустим, что в процессе эксплуатации аппа­

ратуры учитывалось число выходящих из строя ламп в течение каждой тысячи часов их работы. При этом на­ блюдение велось за 1000 однотипных ламп, например 6Ж4. В результате подсчета отказавших ламп получены данные, сведенные в табл. 2, где Att — интервал времени, щ — число вышедших и'з строя ламп в i-м интервале времени.

По данным табл. 2 можно примерно определить вероят­ ность безотказной работы ламп в течение любого проме­ жутка времени. Для этого число исправно работающих

проводится испытание, т. е. подставить в формулу (25) число N 0, равное 1000 ламп в начале испытания, и число щ ламп, вышедших из строя 'в г-м интервале времени, со­ гласно данным табл. 2.

Если, например, • требуется определить вероятность . исправной работы ламп, установленных в .аппаратуре за время ее работы, равное 3000 час., то эта вероятность будет .равна 4

t,4ac

Рис. 15. Изменение .вероятности исправной рабо- . ты ламп 6Ж4 в зависимости от времени их работы.

Пользуясь формулой (25), можно построить зависимость веро­ ятности исправной работы ламп в аппаратуре от времени их ра­ боты (рис. 15). Примерно такую же величину вероятности будут иметь лампы типа 6Ж4, установленные в любой другой аппара­ туре, где режимы их работы и окружающие условия будут анало­ гичны рассматриваемым.

Изменение режимов работы ламп вызывает изменение и вели­ чины вероятности. Например, для одного и того же типа ламп, но установленных в разных устройствах аппаратуры, зависимость вероятности исправной работы от времени будет разной.

Пример. Требуется определить вероятность отказа ламп в электронной аппаратуре за 3000 час. работы. Подставив значения первого примера в формулу (30), получим

q (3000) = 20 + 25 + 35 = 0,08.

1000

Для электронной аппаратуры, имеющей основное соединение элементов (рис. 16), вероятность безотказной работы на основе теоремы умножения вероятностей может быть представлена в виде произведения вероятностей безотказной работы всех элементов

N — число элементов в изделии.

При этом предполагается, что отказы элементов являются со­ бытиями независимыми и выход из строя любого из N элементов приводит к отказу всего изделия. В данном случае достаточно учи­ тывать лишь независимые отказы, так как практически отказ рас-

%

Рис. 16. Основное соединение элементов.

сматривается как событие, приводящее к нарушению нормальной

средством повышения надежности аппаратуры.

Если изделие состоит из 40 элементов, каждый из которых

на 0,5% надежность изделия увеличивается на 17%. С увеличе­ нием числа элементов этот эффект проявляется еще больше.. По­ высить надежность аппаратуры можно ее упрощением. Если, на­ пример, надежность элементов такова, что pt по-прежнему равно