книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

И. И. БЛЕХМАН, А. Д. МЫШКИС, Я. Г. ПАНОВКО

МЕХАНИКА

И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ЛОГИКА И ОСОБЕННОСТИ

ПРИЛОЖЕНИЙ

МАТЕМАТИКИ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 99 0

ОГЛАВЛЕНИЕ

(55). 8. Устойчивость относительно изменения параметров

(56). 9. Размытые понятия (61). 10. О применении содержа­ тельных понятий и рассуждений (63). 11. О различии тен­ денций в процессе решения (65). 12. О математической стро­ гости (67). 13. О точках зрения на фундаментальность явле­

1.Внешнее и внутреннее правдоподобие (197). 2. Замечание

овзаимодействии прикладника и математика (203). 3. О роли прикидок (205). 4. Выбор степени точности метода (207). 5. Ва­ риационные и экстремальные подходы (210). 6. Дискретное и

непрерывное (211). 7. Роль гипотезы о линейности (214). 8. Детерминированность и случайность (217). 9. Устойчи­ вость (223). 10. Введение малого параметра (227). 11. Интер­ поляция и экстраполяция (233). 12. Еще о дедукции (238).

13.Роль примеров (241). 14. Уточнения (243). 15. ЭВМ (244).

16.Добавление. Волевые действия (257).

1.Психологические барьеры и инерционность мышления (268).

2.Ошибки в выборе модели (271). 3. Ошибки в выборе метода

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

При подготовке настоящего издания нами было добавлено зна­ чительное количество нового материала, в известной мере уточ­ няющего или расширяющего материал предыдущего издания. В ряде случаев такие добавления оказались необходимыми также и пото­ му, что взгляды авторов на существо изложенных проблем в свою очередь подверглись некоторой эволюции. Значительно расширен список цитированной литературы.

Ленинград—Москва июнь 1988 г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В настоящей книге речь пойдет об основных чертах прикладной математики *) и о типичных для нее способах рассуждений и мето­ дах исследования. Эти вопросы особенно важны в наше время, когда роль приложений математики резко усилилась и заметно возрос ин­ терес к общей методике и методологии этих приложений.

Во многих статьях и книгах, а также в материалах дискуссий опубликовано немало содержательных соображений, относящихся к названной теме; к этому нужно добавить многие интересные и острые устные высказывания, которые, оставаясь незафиксирован­ ными на бумаге, образуют некий «фольклорный» фонд. Однако вся совокупность этих мыслей и соображений в целом до сих пор не была должным образом суммирована и упорядочена.

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой попытку систематического обсуждения проблем общей методики и методологии приложений математики, главным образом — к меха­ нике. Конечно, опытный специалист, регулярно применяющий ма­ тематику в своей области, неизбежно вырабатывает соответствую­ щие концепции. Однако молодые специалисты, сталкиваясь с при­ ложениями математики, вынуждены самостоятельно улавливать традиции и заново определять для себя общие принципы, опираясь

*) В п. 1.7 мы уточним, в каком смысле будем применять в этой книге термин «прикладная математика», а пока читатель может считать, что мы пользуемся этим термином в том же смысле, что и он. Выражение «п. 1.7» обозначает п. 7 § 1.

b ПРЕДИСЛОВИЕ

лишь на отрывочные частные советы и на свой, как правило, небо­ гатый опыт. Заметив разительное несоответствие глубины разработ­ ки самой математики и вопросов общей методики ее приложений, начинающий специалист может даже заключить, что эта методика вообще находится на донаучном уровне.

В значительной мере книга адресована именно таким начинаю­ щим специалистам — студентам старших курсов и аспирантам тех­ нических и естественно-научных факультетов с усиленной матема­ тической подготовкой, особенно специализирующимся по механике и прикладной математике, а также молодым инженерам-исследова- телям, применяющим математику в своей работе. Думается, что она может оказаться полезной и молодым математикам — как стал­ кивающимся с приложениями, так и тем, которые, занимаясь абст­ рактными проблемами, считают себя изолированными от приклад­ ных задач.

Может быть, в еще большей степени книга заинтересует «товари­ щей по оружию»; надеемся, что опытным исследователям, а также преподавателям математики и механики она даст повод еще раз обду­ мать свои взгляды на прикладной аспект математики и сопоставить их с представлениями других специалистов.

Одновременный расчет на различные категории читателей естест­ венно привел к некоторой неоднородности изложения, и пусть не по­ сетуют на нас те из опытных специалистов, которым отдельные места изложения покажутся слишком элементарными или банальными; лучше недооценить компетенцию читателя, чем переоценить ее — в конце концов, это в его же интересах.

Возможно, что некоторые читатели не согласятся с отдельными частностями, но надеемся, что и эти читатели сочтут приемлемыми основное содержание и основную направленность книги. Разуме­ ется, мы далеки от мысли, что по каждому из затронутых вопросов нами сказано последнее слово, и поэтому не только предвидим продолжение дискуссий, но и искренне рассчитываем на него. Нам близка позиция, сформулированная в заключительном абзаце книги Р. Хемминга [332]: «...большинство предыдущих рекомендаций и замечаний представляют личное мнение, выработанное автором...» и «...они не всегда применимы. В их защиту можно сказать, что они опираются столько же на здравый смысл, сколько на опыт. Если они читателю не понравятся, то пусть он... изложит свои собственные соображения». Мы тоже говорим «пусть», дать новый стимул для дискуссий — это одна из задач, которую ставили перед собой авторы.

В 1967 г. была опубликована наша статья [43], посвященная тому же кругу вопросов. Она послужила основой для содержатель­ ной дискуссии о математической строгости в исследованиях по меха­ нике, проведенной на III Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике [83]. Статья [43] была переведена и обсужда­ лась в ГДР; см. [498, 499, 541].

характера — являются центральными в книге; этим тезисам в зна­ чительной мере подчинено изложение всех других вопросов.

В главе 2 рассмотрены элементы прикладного математического исследования, связанные в основном с математическим формулиро­ ванием задачи и с выбором метода ее решения.

Наконец, в главе 3 обсуждены некоторые вопросы, связанные с источниками ошибок в исследованиях и с обучением прикладной математике.

Расположение всех затронутых в книге вопросов в линейном по­ рядке, распределение их по главам и параграфам весьма условно и привело к некоторым повторениям; например, многое из того, что относится к источникам ошибок или к методам решения задачи, со­ держится также в главе 1 в связи с анализом рациональных рассуж­ дений и т. п. Авторы понимают, что отдельные важные вопросы изложены весьма неполно; в особенности это касается содержания главы 2, так как сколько-нибудь полная характеристика всех этапов прикладного математического исследования и даже их классифика­ ция представляются пока непосильной задачей — во всяком случае, для авторов настоящей книги.

Итак, основная цель книги — обсуждение существа и принципи­ альных особенностей прикладной математики. Это обсуждение долж­ но призвать одних читателей к сознательному выбору математичес­ кой модели, метода ее исследования и уровня математической строгости, а других, наиболее зрелых,— к продолжению коллектив­ ных усилий по выделению и формулировке общих концепций прик­ ладной математики, выработке «кодекса» прикладной математики. Мы постараемся показать, что такие концепции достаточно ясно вырисовываются уже теперь, но, как упоминалось выше, пока еще должным образом не были систематизированы.

Несколько слов об отношении авторов к этой книге. Мы исходим из того, что всякая попытка обобщения полезна для осмысливания ситуации и правильной оценки тенденций ее развития. Нам прихо­ дилось заниматься разнообразными задачами чистой математики, приложениями математики к механике, а также проблемами препо­ давания математики и механики прикладникам (так мы будем услов­ но именовать всех, применяющих математику за ее пределами). Только поэтому мы сочли себя вправе взяться за обсуждение столь широкого круга вопросов, многие из которых являются в букваль­ ном смысле слова выстраданными; пожалуй, эта книга — своего рода кредо ее авторов, которые рассуждали, как и А. А. Харкевич в предисловии к монографии 13301: «В книге подобного рода потреб­ ность ощущалась уже давно. Однако время шло, а книга не появля­ лась, и в конце концов я решился написать ее сам, хотя вовсе не считал, что смогу это сделать лучше других».

Во избежание недоразумений подчеркнем, что книга не претен­ дует на указание каких-то «царских путей» в приложениях матема­

тики, позволяющих избежать кропотливого освоения, развития и применения современных математических методов, необходимых для того или иного исследования. Таких путей нет и не может быть. Более того, можно указать много прикладных проблем, существен­ ный прогресс в которых был достигнут только в результате трудного развития идей и методов, относящихся в равной степени как к при­ кладной, так и к чистой математике, причем порой к весьма абстрак­ тным ее разделам; еще большее количество проблем ожидает та­ кого развития. Эффективно применять математику можно толь­ ко обладая достаточной математической культурой и круго­ зором.

Отстаивая наличие специфики прикладного математического мышления и по необходимости заостряя дискуссионные вопросы, мы отдаем себе отчет в опасности извращения нашей позиции, которое может привести к замене «террора дедукции» «разгулом прав­ доподобия». Ни одна строка этой книги не должна быть истолкована как оправдание математической безграмотности, приводящей к грубым ошибкам. Пользуясь выражением поэтессы М. Борисовой («Литературная газета» от 19 мая 1976 г.), скажем, что в исследова­ тельской деятельности лучше проявить робость незнания, чем наг­ лость невежества. Призывы к гибкости при выборе методов исследо­ вания, к их адекватности изучаемым реальным явлениям направлены на установление подлинной гармонии между средствами и объек­ тами изучения и не имеют ничего общего с призывами к вульгари­ зации.

Многие коллеги предупреждали нас, что только вполне зрелые специалисты правильно поймут общую установку книги, а часть читателей (в особенности молодежь) может воспринять книгу как не­ кую декларацию математической распущенности и вседозволенно­ сти. И все же мы рассчитываем, что риск такого грубо ошибочного истолкования относительно невелик и книгу можно адресовать самому широкому кругу читателей, не сопровождая ее ограничи­ тельной надписью «детям до 16 лет читать запрещено».

Мы отчетливо понимали, что написание такой книги сопряжено с рядом опасностей. Во-первых, при обсуждении столь общих вопро­ сов особенно велик риск оказаться банальными или впасть в ма­ лосодержательные спекуляции; возможно, что в некоторых местах (надеемся, немногих) этой опасности мы действительно не избежали. С другой стороны, тема книги вынуждала нас затрагивать вопросы, относящиеся не только к далеким от нас областям математики, но даже к истории и философии (в особенности логики) и т. д.; не исключено, что специалисты в этих областях сочтут некоторые на­ ши высказывания неточными или наивными. Наконец, в книге, ко­ торая касается во многом дискуссионных вопросов и ни в коем слу­ чае не может служить безапелляционной инструкцией, были бы осо­ бенно неприятны догматически-императивные ноты; если они гденибудь прозвучали, то вопреки намерениям авторов.