книги / Математическая теория энтропии

с использованием техники, развитой им для решения проб­ лемы изоморфизма.

4.3L /С-СИСТЕМЫ И /е-АВТОМОРФИЗМЫ

Мы начнем с того, что введем некоторые обозначения, которые будут использоваться на протяжении этой главы:

Для динамической системы (й, $F, Р, Т) разбиения | ее про­ странства состояний, которое одновременно является и бернуллиевским 1), и образующим, Необходимо и достаточно для того, чтобы эта динамическая система была изоморфна сдвигу Бернулли.)

Рассмотрим разбиение A “_0V 7-nB~^о- Подобное разбиение уже вводилось в разд. 1.8, где мы говорили о том, что отно-

’) То есть (Т^|: j е Z) - независимое семейство разбиений. — Прим, перев.

сительно этого разбиения измеримы только события «из беско­ нечно далекого будущего», т. е. те события, для определения которых достаточно знать лишь поведение траекторий случай­ ного процесса (В, | Q) в сколь угодно далеком будущем. Это разбиение называется хвостовым разбиением процесса (В, | Q) и обозначается через Tail (В, So). Заметим, что если {л*} — неко­ торое независимое семейство разбиений, то разбиения V ftsST)fc

висимы в случае, когда индексные множества S и Т не пере­ секаются. Поскольку {В^} — последовательность независимых

тривиальное разбиение. Этот результат известен в теории вероятностей как закон нуля или единицы *).

Напомним, что каждому измеримому разбиению S простран­ ства состояний динамической системы (Q, У , Р, Т) отвечает случайный процесс (Т, 5). Мы только что видели, что для сдвига Бернулли В существует такое разбиение So, что для процесса (В, So) в бесконечно удаленном будущем нет никаких нетри­ виальных событий. Предположим, что хвостовое разбиение случайного процесса (Т, |) тривиально. Представляется правдо­ подобным, что в этом случае хвостовое разбиение случайного процесса (Т^», TJ), отвечающего произвольному конечному изме­

римому разбиению я пространства состояний факторсистемы (Qjoo, flF'goo, Я|Оо, Tj»), также должно быть тривиальным. Если бы

’) Это утверждение было впервые доказано А. Н. Колмогоровым, поэтому его обычно называют законом нуля-единицы Колмогорова. — Прим, черев.

такая, что T)*f я. Тогда Я (£ V W ! ) < оо и в силу теоремы 2.33

откуда

я (б/г V % ) + Я (riA/6 V Г V лГ) = Я (л*/л* V Г) + я (6/6").

Кроме того, Я (л*/л* ) = 0» поскольку л* ^ я, поэтому

ной энтропией существует последовательность конечных раз­

') Поскольку V ~ _ 0 Тп£~ = г, — Прим, перев. .

198 Гл. 4. Эргодическая теория

измеримое образующее разбиение. К сожалению, полученное так образующее разбиение вполне может оказаться несчетным.

Лемма 4.7. Если (Q, SF, Р, Т) — обратимая динамическая система, то существует измеримое разбиение о ее пространства состояний, такое, что а°° = е, Тail (Т, а) = я (Т) и h (Т) = Я (а/а~).

Доказательство. Пусть {£*} — последовательность разбиений с конечной энтропией, такая, что i*fe. Определим индуктивно последовательность {nk} положительных целых чисел, такую, что для любого положительного целого m

для любых / <<7, получаем, что Я (а ,/а ~ )|Я (а^/а- ) при q-*oo. Следовательно,

я ^ Т аП (Т , а).

Для того чтобы доказать обратное неравенство, рассмотрим такое измеримое разбиение £, что Я (£ )< оо и |^ T a il(T , о).

мы уже упоминали в предыдущем разделе, в течение некото­ рого времени предполагалось, что все К-системы изоморфны сдвигам Бернулли, но эта гипотеза была опровергнута Орнстейном [97]. Впоследствии было показано [103], что сущест­ вует несчетное семейство попарно неизоморфных К-автомор- физмов с равной конечной энтропией, ни один из которых не изоморфен сдвигу Бернулли').

Для того чтобы проводить четкое различие между сдвигами Бернулли и динамическими системами, которые изоморфны сдвигам Бернулли, мы в гл. 3 ввели термин „система Бер­ нулли”. Учитывая его важность, воспроизведем это определе­ ние здесь еще раз.

Определение 4.9. Динамическая система (Q, SF, Р, Т) назы­ вается системой Бернулли, если она изоморфна сдвигу Бер­ нулли.

Для иллюстрации различия между системами Бернулли и сдвигами Бернулли рассмотрим следующий пример.

Пример 4; 10 (преобразование пекаря). Пусть (Я, S ’2, А,2) — единичный квадрат с мерой Лебега. Он является пространством Лебега, и мы сейчас геометрическим путем определим его пре­ образование Т. Это преобразование называется преобразова­ нием пекаря, поскольку считается, что оно похоже на то, что делает пекарь при замешивании теста.

Подвергнем единичный квадрат линейному преобразованию,

правую половину прямоугольника на его левую половину. Преобразованием пекаря Т называется композиция этих двух

^преобразований, как показано на рис. 4.1.

Формальное определение преобразования дается соотноше­ ниями

') Одним из простейших известных к настоящему времени примеров не-

бернуллиевского /(-автоморфизма является так называемый (Т, Т ~‘)-авто- морфизм. Пусть Т| и Tj — два автоморфизма Бернулли с двумя состояниями {+1, —1} и равномерным распределением. Автоморфизм Т на произведении пространств автоморфизмов Т| и Т*, действующий по формуле Т (со, со') —

= (Т,©, Tj0©'), является /(-автоморфизмом, но он не изоморфен никакому

сдвигу Бернулли и не является LB-aвтоморфизмом (см. разд. 4.9), — Kalikow [1982]. Этот пример относится к классу так называемых случайных блужда­ ний по траекториям динамической системы, т. е. косых произведений над схемами Бернулли (см. Kakutani [1951], Оселедец [1965],’ Вершик [1970]).—

Прим, перев.