книги / Теория автоматического управления
..pdfгде сох = 2л/7\ a>k = oi1k — круговые частоты соответственно ос новной и k -й гармоник, рад/с; а0, ak, bk — независимые от t коэф фициенты (коэффициенты Фурье), которые определяются по фор мулам:
о772
ak = -= r |
$ |
х (Ф) cos щ/гд d '0- (/е= |
0; |
1; |
2; |
); |
(2.19) |
||
T |
—772 |
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
о |
772 |
а: (■&) sin |
d ( f c = |
1; |
2; |
|
). |
(2.20) |
|
6* = — |
$ |
|
|||||||
Т |
—Т/2 |
|
|
|
|
|
' |
|
7 |
Переменная интегрирования Ф в (2.19) |
и (2.20) рассматривается |
||||||||
в интервале от — Т/2 до |
+ Т/2. Постоянная |
составляющая |
а0/2 |
||||||
ряда, соответствующая k = 0, равна среднему за период Т значе
нию сигнала.
Если функция х (■0) в интервале (— Т/2; Т/2) четная, то в раз ложении (2.18) будут присутствовать только косинусоиды, если нечетная, то ряд будет содержать только синусоиды.
Таким образом,
при помощи ряда Фурье удается сложный периодический сигнал выразить аналитически в виде суммы простых гармонических сигналов, называемых гармониками.
Ряд Фурье обладает важным свойством: при заданном конечном числе членов дает лучшее приближение (по критерию суммы квад ратов отклонений), чем любое другое разложение функции х (/).
Ряд Фурье удобно использовать, если он записан не в тригоно метрической форме (2.18), а в виде суммы экспоненциальных функ
ций e/®iM, |
соответствующих, как известно, единичным |
вращаю |
щимся векторам. С помощью формулы Эйлера |
|
|
e±/a = |
Cosct ± / s i n a |
(2.21) |
и ее модификаций |
|
|
cos a = |
(е/°Ч- е- / “)/2, sin a = (е'“ — е - '“)/2/ |
(2.22) |
ряд (2.18) мо#но преобразовать к |
комплексной форме ряда Фурье |
|||||
х (/)= |
£ |
X k |
(k = 0; ± 1 ; |
± 2 ; |
), |
(2.23) |
где |
k=~°° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xu = |
J _ С |
* (Ф)е- / “.*э dfl = -a* ~ ibk . |
|
(2 24) |
||
В формуле (2.23) суммирование производится как по положи тельным, так и по отрицательным значениям k. Это означает, что комплексная форма ряда Фурье допускает существование и поло жительных, и отрицательных частот wk = а>г&. Так как каждому комплексному слагаемому с положительным k соответствует со-
пряженное слагаемое с отрицательным k, то при суммировании в (2.23) останутся только действительные величины.
Слагаемые в (2.23) называются комплексными гармониками, а
сомножители X k — комплексными амплитудами.
Зависимость модуля |Х*| комплексной амплитуды от частоты coft = называют амплитудным спектром сигнала х (t).
Для периодического сигнала спектр амплитуд, равных на каж дой частоте
(2.25)
удобно изображать в виде так называемой решетчатой функции — последовательности отрезков (спектральных линий) длиной xkm, перпендикулярных к оси со* (рис. 2.5, б). На этом рисунке показан амплитудный спектр конкретного сигнала — периодической по следовательности прямоугольных импульсов (см. рис. 2.5, а) с ам плитудой х„ и скважностью Г/т„ = 4.
Амплитудный спектр любой последовательности прямоугольных импульсов описывается следующей функцией аргумента /г:
х„хИ sin (ш^Тн/2)
(2.26)
Тш1Ати/2
Анализируя общее выражение (2.26) и конкретный график ам плитудного спектра (см. рис. 2.5, б), можно установить ряд х а - р а к т е р н ы х с в о й с т в с п е к т р а л ю б ы х п е р и о д и ч е с к и х с и г н а л о в :
1. Спектры всегда дискретны — они содержат только такие гармоники, частоты которых кратны основной частоте оох. Неко торые гармоники могут отсутствовать.
2. Чем больше период Т сигнала, тем меньше интервал |
со* = |
= 2л/Г между соседними частотами и, следовательно, |
«гуще» |
спектр. При Т -> °о, т. е. для единственного импульса, описывае
мого непериодической |
функцией, спектр становится сплошным, |
но амплитуды xkm при |
возрастании периода будут уменьшаться. |
3.С уменьшением длительности импульсов тн (при неизмен ном Т) амплитуды гармоник также уменьшаются, а спектр стано вится «гуще».
4.Если одновременно с уменьшением длительности ти прямо
угольных импульсов увеличивать амплитуду |
например, по |
закону л-,, = 1/тц, то их последовательность (см. |
рис. 2.5, а) будет |
стремиться к последовательности дельта-функций, а амплитудный
спектр — к |
постоянному для всех |
частот |
значению xkm = ИТ. |
Перейдем |
к х а р а к т е р и с т |
и к а м |
н е п е р и о д и ч е |
с к и х с и г н а л о в . Любой непериодический сигнал в виде им пульса конечной длительности (рис. 2.5, в) можно рассматривать как предельный частный случай соответствующего периодического сигнала (см. рис. 2.5, а), если устремить период Т к бесконечности, не изменяя при этом длительности импульса. Очевидно, что при
42
T -v оо расстояние между соседними спектральными линиями (см. рис. 2.5, б), равное Дсо = сох = 2лIT, будет уменьшаться и стре миться к do, а дискретная переменная a k — к непрерывной со. Дискретный спектр становится непрерывным. Так как при этом модули xkm стремятся к нулю, то для непериодических сигналов вместо комплексных амплитуд X k используют относительные ам плитуды
ХЦ щ к) = Х к/А со. |
(2.27) |
Учитывая, что До = 2п/Т и 1/Г = Дсо/2л, сумму (2.23) при предельном переходе Т -*■ оо можно заменить интегралом Фурье
Ix (f)= ,- J - S X d ^ e i ^ d w , |
(2.28) |
IJdTt — oo
авыражение (2.24) для комплексной амплитуды — так называемым
преобразованием Фурье
| X (/©) = ? * (0 е -/“' d t. |
(2.29) |
Непериодический сигнал х (t), представленный в виде интеграла (2.28), можно по аналогии с периодическим сигналом, разложен ным в ряд (2.23), рассматривать как сумму бесконечно большого числа комплексных гармоник с бесконечно малыми комплексными
амплитудами |
|
|
|
d X = X (/w) d (о/2я. |
|
(2.30) |
|
Так как амплитуда |
dX характеризует спектр, |
приходящийся |
|
на интервал от со до |
со + do, то величину |
|
|
X (/ю) = 2я d X/d со |
|
(2.31) |
|
называют комплексной |
спектральной плотностью, |
а зависимость |
|
ее модуля IX (/со) | |
от |
частоты — спектральной плотностью ам |
|
плитуд.
Спектральная плотность амплитуд (рис. 2.5, г) для одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 2.5, в) описывается функцией
| X (/to) | *нТ„ |
sin (соти/2) |
(2.32) |
|
(оти/2 |
|||
|
|
О с о б е н н о с т и с п е к т р а л ь н ы х с в о й с т в н е п е р и о д и ч е с к о г о с иг нала:
1.Спектр всегда непрерывен и характеризуется не абсолютными значениями амплитуд гармоник (они бесконечно малы), а плот ностью амплитуд гармоник, приходящихся на интервал dco.
2.При уменьшении длительности импульса его спектр расши
ряется Пдодь оси со, а значения плотности амплитуд уменьшаются.
3. |
Если одновременно с уменьшением длительности ти прямо |
|
угольного импульса (см. рис. 2.5, в) увеличивать его амплитуду хи |
||
по закону хя = |
1/ти, то импульс стремится к дельта-функции, а его |
|
спектральная |
плотность к постоянной величине, равной единице |
|
во всем диапазоне частот от — оо до + оо. |
||
Формулы (2.28) и (2.29), называемые соответственно обратным и прямым преобразованием Фурье, являются основными в гармо ническом анализе непериодических сигналов и широко исполь зуются в ТАУ С помощью прямого преобразования (2.29) для лю бого сигнала х (/), удовлетворяющего условиям Дирихле и являю щегося интегрируемым, можно найти его изображение по Фурье,
которое символически обозначается |
так: |
Х{}ш) = дг{х{Щ. |
(2.33) |
Процедура обратного преобразования Фурье соответственно
обозначается с помощью символа 9Г~1: |
|
х (О = <Г-1{Х (/(О)}. |
(2.34) |
Если прямое преобразование (2.29) записать для относительного
времени t — t/TM и относительной частоты со = соГм, где Тм— некоторый масштабный множитель, то можно получить одно из важнейших свойств преобразования Фурье:
\P{x(t/Tu)} = T uX(j(i>TM), |
(2.35) |
которое означает, что
при растяжении (сжатии) в Ти раз графика функции х (t) вдоль оси времени график спектральной плотности \ X (]‘ы)\, во-пер вых, сжимается (растягивается) вдоль оси частот в Ты раз и, во-вторых, увеличиваются (уменьшаются) в Ты раз ее значения, т. е. чем короче импульс х ( t), тем шире и ниже график \ X (/со) |. Другое важнейшее свойство преобразования Фурье выражается
равенством |
Парсеваля |
|
|
I $[х (О)2 d t = |
$| X (/со) |2 dco. |
(2.36) |
|
| — оо |
2 Я |
— оо |
|
Соотношение (2.36) имеет следующий физический смысл. Во многих практических задачах автоматики сигнал х (/) характери зует электрический ток или скорость перемещения, соответственно квадрат такого сигнала пропорционален мощности, а его интег рал — энергии. Согласно такому смыслу левую и правую части равенства (2.36) рассматривают как сумму энергий отдельных гармоник, частоты которых расположены в полосе dco около (о. Поэтому функцию |Х (/(о )|2, характеризующую распределение энергии среди гармоник сигнала х (/), называют энергетической спектральной плотностью (спектральной плотностью мощности).
44
Пример. Найдем спектральные характеристики Х(/со), | Х(усо)| и \Х (/со)|2 экспоненциального импульса, возникающего в момент t = 0:
... |
|
- |
... |
, |
( |
0 |
при |
/ < 0 , |
’ (а > 0). |
|
x(t) |
= |
1 |
(t)xHe~<*t = |
I |
хи е—аУ |
при |
t, > О |
(2.37) |
||
Функция (2.37) удовлетворяет условиям применимости преобразования Фурье. Изображение функции (2.37) по Фурье согласно (2.29) следующее:
X (/о)) = |
хи е |
а/ е |
уй)/ с1/ — |
— х:и__0—(а4-усо)/ |
(2.38) |
||
о |
|
|
|
|
а + / со |
|
а + /со |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
*~{хие -а‘} |
а |
+ |
(/> 0). |
|
(2.39) |
||
|
|
/со |
|
|
|
||
Спектральная плотность амплитуд |
|
|
|||||
I X (/со) | = |
СС+ |
/С0 |
а + |
/со |
V°&2 + 1 |
(2.40) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергетическая |
спектральная |
плотность |
|
||||
\Х (/®) I2 = |
а 2 + |
со2 |
|
|
|
(2.41) |
|
|
|
|
|
||||
2.3. Статические характеристики элементов
Передаточные свойства элементов и систем в статическом ре жиме описывают при помощи статических характеристик. Статиче ской характеристикой элемента называют зависимость его выход ной величины у от входной величины х
y = f(x) = y(x) |
(2.42) |
в установившемся статическом |
режиме. |
Статическая характеристика |
конкретного элемента может быть |
задана в формульном виде (например, в виде алгебраической функ
ции у = сх2) или в виде графика (рис. 2.6, а). |
|
В общем случае, когда состояние элемента или системы зависит |
|
от нескольких входных воздействий х ъ х 2, |
, хт, то статическая |
характеристика представляет собой функцию нескольких незави симых переменных
У ~ f {х1, |
Х2, |
Хт). |
(2.43) |
Функция двух переменных х х и х 2может быть изображена в виде |
|||
поверхности |
в |
трехмерном |
пространстве с декартовыми коорди |
натами у , х ъ |
х 2 (рис. 2.6, б) |
или в виде семейства линий сечений |
|
этой поверхности, соответствующих нескольким фиксированным значениям одного из аргументов (рис. 2.6, в).
Так как статический режим является частной формой динами ческого режима, то соответствующая статическая характеристика
может быть получена как частный вид дифференциального уравне ния (2.1). Для этого необходимо в дифференциальном уравнении элемента приравнять все производные по времени нулю (что соот ветствует определению понятия статический режим), и тогда по лучим уравнение статики элемента
Ф(«/, х] = 0. |
(2.44) |
Из уравнения (2.44) можно получить аналитическое выражение статической характеристики в явном виде (2.42).
Большинство конструктивных элементов автоматических си стем в статическом режиме характеризуется строгими однознач ными соотношениями между значениями входной и выходной ве личины (рис. 2.7, а—в). Эти элементы называются статическими или позиционными. Но некоторые элементы систем не обладают определенными передаточными свойствами в статическом режиме: при различных значениях входной величины х выходная величина у может принимать одно и то же значение (рис. 2.7, г) или наобо рот — при одном и том же значении х величина у может принимать любые значения (рис. 2.7, 5). Такие элементы называются астати ческими. К ним относятся, например, интегрирующие звенья.
По виду статических характеристик элементы разделяют на линейные и нелинейные. Статическая характеристика линейного элемента (см. рис. 2.7, б) описывается линейной функцией у = = Ь + ах. У нелинейных элементов связь между входной и выход ной величиной выражается обычно в виде степенных функций, сте пенных полиномов, дробных рациональных функций и более слож ных функций.
Нелинейные элементы в свою очередь подразделяют на элементы
ссущественно нелинейной статической характеристикой и элементы
снесущественно нелинейной (линеаризуемой) характеристикой.
Статическая характеристика является несущественно нелиней ной, если она описывается непрерывной дифференцируемой функ-
Рис. 2.6. Статические характеристики элементов с одной (а) и двумя (б, в) входными величинами
а |
б |
в |
Рис. 2.7. Виды статических характеристик
дней. Практически это математическое условие означает, что гра фик функции у = f (х) должен иметь гладкую форму (см. рис. 2.7,а). В ограниченном диапазоне изменения входной величины х такая характеристика может быть приближенно заменена (аппроксими рована) линейной функцией. Приближенная замена нелинейной функции линейной называется линеаризацией. Линеаризация не линейной характеристики правомерна, если в процессе работы эле мента его входная величина меняется в небольшом диапазоне во круг некоторого значения х = х0.
Статическая характеристика считается существенно нелинейной, если она имеет изломы или разрывы. Примером может служить характеристика реле (см. рис. 2.7, в), которое при достижении вход ного сигнала х (ток в обмотке реле) некоторого значения х г изменит выходной сигнал у (напряжение в коммутируемой цепи) с уровня У\ Д° уровня у 2. Замена такой характеристики прямой линией с постоянным углом наклона привела бы к существенному несоот ветствию между математическим описанием элемента и реальным физическим процессом, происходящим в элементе.
Линеаризацию гладких статических характеристик можно осу ществлять либо по методу касательной, либо по методу секущей.
Л и н е а р и з а ц и я п о м е т о д у к а с а т е л ь н о й за ключается в разложении функции у (х) в интервале вокруг некото рой точки х 0 в ряд Тейлора и в последующем учете первых двух членов этого ряда:
у (х) & у {х0) + у'(хо){х— х0), |
(2.45) |
|
где у' |
(х0) = f (x Q) — значение |
производной функции f (х) в за |
данной |
рабочей точке А с координатами х0 и у0. Геометрический |
|
Рис. 2.8. Линеаризация статических характеристик проведением касатель ной (а) и секущей (б)
смысл такой линеаризации заключается в замене кривой / (л;) ка сательной ВС, проведенной к кривой в точке А (рис. 2.8, а).
При расчете автоматических систем удобно линейные статиче ские характеристики вида (2.45) рассматривать в отклонениях пе ременных у и л; от значений у 0 и х0:
У— Уо = 1/ М |
(х— х0) |
(2.46) |
г |
|
|
1 |
|
|
Ay = kAx, |
|
(2.47) |
где Ах = х—х0, |
Ду = у—х 0, k = у' (л;0). Следовательно, |
переход |
от записи (2.46) к записи (2.47) уравнения статики соответствует переходу от исходной системы координат хОу к системе АхААу.
Коэффициент пропорциональности k между отклонениями вход ной и выходной величины в статическом режиме называют переда точным коэффициентом.
Передаточный коэффициент является основным параметром ли нейных и линеаризованных элементов статического типа: его числовое значение полностью характеризует передаточные свой ства элемента в статике.
Размерность передаточного коэффициента равна отношению размерности выходной величины к размерности входной величины:
| [k} = [y]l[x]. |
(2.48) |
Например, для электрического двигателя передаточный коэффи циент по каналу «напряжение—частота» вращения имеет размер ность (об/с)/В.
Если исходная статическая характеристика задана в формуль ном виде, то передаточный коэффициент находят как значение про изводной в рабочей точке:
Ь= ? (*о) = (ду/дх)х=Хо, |
(2.49) |
а если характеристика задана графически, то передаточный коэффи циент может быть определен как тангенс угла а наклона касатель ной (см. рис. 2.8, а):
k = (my/mx) tg a, |
(2.50) |
где ту и тх — масштабные коэффициенты величин у и х . Линеаризация может быть выполнена и в том случае, если вы
ходная величина является гладкой функцией нескольких перемен ных. Линеаризованная статическая характеристика в отклонениях будет иметь вид
&y = k1k x 1 + k2k x 2+ |
-(-/гт Д*ш, |
(2.51) |
|
где к ъ k 2l |
, km — передаточные коэффициенты, |
равные зна |
|
чениям частных производных вида (2.49) функции (2.43) в рабочей
точке (у0i х 10, * 2о, |
, |
хт0). |
Л и н е а р и з а ц и ю |
п о м е т о д у с е к у щ е й осущест |
|
вляют непосредственно на графике проведением прямой линии (рис. 2.8, б) таким образом, чтобы в некотором заданном диапазоне изменения аргумента х спрямленная характеристика была в сред нем как можно ближе к исходной линеаризуемой характеристике / (*). При этом передаточный коэффициент линеаризованной ха рактеристики определяют как отношение соответствующих друг другу приращений:
[k = Ay/Ax. |
(2.52) |
Формулой (2.52) для определения коэффициента k можно поль зоваться и при использовании метода касательной.
Метод секущей можно применять также при аналитическом ре шении задачи линеаризации. При этом указанное выше нестрогое условие близости линеаризованной характеристики к исходной формализуется в виде критерия минимума суммы квадратов откло нений.
Линеаризация по методу касательной дает хорошее совпадение вблизи рабочей точки и худшее у границ рабочей зоны, а аппрок симирующая прямая, полученная по методу секущей (наименьших квадратов), имеет меньшее среднее расхождение с исходной харак теристикой, хотя ее наклон может и не совпадать с наклоном кри вой в рабочей точке.
Пример. Линеаризуем нелинейное уравнение электромагнита, рассмот ренного в 2.1. Уравнение статики электромагнита можно получить, прирав нивая в уравнении (2.5) производные по времени нулю и подставляя в него
.49
значение тока из (2.6). Уравнение статики связывает две входные величинынапряжение и и перемещение I с одной выходной величиной F3:
F3 = |
сэиУгЧ\ |
(2.53) |
Где Сэ = |
tti2p0S/2 — конструктивный |
параметр электромагнита, зависящий |
от числа витков w, площади сечения сердечника S и магнитной проницае мости воздуха Pol т— активное сопротивление обмотки.
Передаточные коэффициенты электромагнита для рассматриваемых двух входных воздействий определим как значения частных производных функ ции (2.53) в точке, соответствующей некоторому заданному установившемуся
режиму «о, /0: |
|
|
К == {дРэ1ди)а=и0 = 2 W |
' 2'O; |
(2.54) |
/=/о |
|
|
k, = (dFJdl)№mUe= - 2 c 3u0lW 0. |
(2.55) |
|
/=/о |
|
|
Размерность ku — Н/В, |
/г/ — Н/м. |
|
Линеаризованное уравнение статики электромагнита в отклонениях |
||
заданного режима |
|
|
= kuku + kiM. |
|
(2.56) |
2.4. Линейные дифференциальные уравнения
Как было указано ранее, наиболее общей и наиболее полной формой математического описания автоматических систем и их элементов является дифференциальное уравнение вида (2.1). Для большинства реальных элементов исходное уравнение (2.1), со ставленное строго в соответствии с законами физики, оказывается нелинейным, что значительно усложняет все последующие проце дуры анализа. Поэтому всегда стремятся перейти от трудно разре шимого нелинейного уравнения (2.1) к линейному дифференциаль ному уравнению вида
у (О |
<h |
dn-1 У (t) |
4-any{t)= b0 dCTx (<) |
+ |
d tn |
|
d /"-1 |
d lm |
|
cl'”-1 * (t) |
|
f” bm,X {fyi |
(2.57) |
|
+ &1 d P-1 |
|
|
||
|
|
|
||
где x (t) и у (t) — входная и выходная величины элемента или си стемы; a*, bt — коэффициенты уравнения.
Уравнение (2.57) устанавливает связь между входной и выходной величиной как в переходных, так и в установившихся режимах.
Коэффициенты дифференциального уравнения называются па раметрами. Они зависят от различных физических констант, ха рактеризующих скорость протекания процессов в элементах. Та кими константами являются, например, массы движущихся частей, индуктивности и емкости электрических цепей, теплоемкости на греваемых элементов.