книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

Вынося среднее значение множителя ctg (а — я/4) за знак инте­ грала и вводя обозначения

Система уравнений (4.22) может быть решена относительно неиз­ вестных хс и ус. Однако удобнее преобразовать ее к следующему виду:

=— — ~2 ~ sin (авс — я/4) +

+УАщ2 УВ COS (а йс — я/4).

Решая систему уравнений (4.23) относительно неизвестных раз­

После очевидного тригонометрического преобразования послед­ ние равенства принимают вид:

Рекуррентные формулы (4.24) проще по написанию и точнее формул, рекомендуемых В. В. Соколовским [74]. Значения ■4 аас и 4 иВс могут быть ;легко вычислены по формулам (4.20)

и(4.21).

Всилу равенств (4.21) имеем:

<хАс авс — (ал <*в)/2; аАс Н- авс ~ (ал ав)/2 4- ас- (4.25)

Подставляя в последнее равенство вместо ас его выражение (4.20), получим

Координаты точки D, расположенной на пересечении характе­ ристик ni = const = TJb; • £ = const = определяются равен­ ствами:

Х л 4 ~ Х в _ _ Х ^ ~ Х в s*n (а АР 4~ юв р )

из двух точек пересечения линий скольжения (С или D) окажется вне габаритов тела. Очевидно, что такая точка нам не нужна, и мы будем для каждой пары контурных точек вычислять коор­ динаты только одной узловой точки.

Если на контурной кривой %сохраняет постоянное значение (что часто имеет место на практике), т. е. если контурная кривая является изобарой (кривой постоянного гидростатического дав­ ления), то удобно спаривать так контурные точки, чтобы для всех пар иметь равные значения разности ад — а в . В этом слу­ чае получаемые расчетом узловые точки также расположатся на одной изобаре, соседней с контурной. Спаривая затем таким же образом полученные узловые точки, мы найдем новые узловые точки, также расположенные на одной изобаре, и т. д.

Итак в результате последовательных вычислений мы заполним изучаемую область не только сеткой линий скольжения, но и изобарами. Таким образом, картина напряженного состояния рассматриваемой области будет при этом представлена более наглядно.

3. Осесимметричная задача пластического течения материала

Осесимметричное или приближенно осесимметричное пласти­ ческое формоизменение играет чрезвычайно большую роль в раз­ личных типовых процессах технологии обработки материалов

давлением.

В данном случае система уравнений (3.20) приводится к виду:

Кроме рассмотренных нами примеров частных решений осе­ симметричной задачи упомянем еще один известный пример ре­ шения данной задачи, а именно решение, полученное Зибелем, Бриджменом, Давиденковым и др. в результате анализа напря­ женного состояния в шейке при разрыве круглого образца [17].

К относительно простому виду приводятся дифференциальные уравнения идеально вязкого осесимметричного течения. Урав­ нения (3.23) напишутся в этом случае в следующем виде:

В этом случае р удовлетворяет дифференциальному уравнению

как и в случае упругой деформации.

4. Некоторые методы математического анализа пластического деформирования материалов

В теории и практике исследований напряженно-деформиро­ ванного состояния пластически формоизменяемых материалов начинают, особенно за последнее десятилетие, получать распро­ странение так называемые вариационные методы анализа, оказав­ шиеся эффективными в теории упругости вообще и в ряде случаев относительно простых, если не сказать элементарных расчетов,

вчастности.

Кчислу основоположников применения к решениям задач пластичности так называемых экстремальных методов анализа следует отнести Маркова [46], Хилла [84] и др. Правда, широкое использование в тензорном анализе символической записи, при­ нятой этими авторами, не способствовало широкому распростра­ нению их исследований в кругу инженеров-практиков. В более доступной для понимания широкого круга читателей форме изложил некоторые основные результаты исследований упомя­ нутых авторов Качанов [36]. Однако, по-видимому, первой по­ пыткой внедрения вариационных методов в практику инженер­ ных расчетов процессов обработки материалов давлением яви­ лись труды Тарновского, Поздеева иГанаго[76], а позднее— труды автора и Гуна [69] и др.

Эти авторы показали возможность использования математитического аппарата для определения малых деформаций при применении вариационных методов расчета процессов обработки металлов давлением, являющихся процессами значительного пла­ стического формоизменения.

Для определения значений р переменного по объему деформи­ руемого тела можно воспользоваться уравнениями равновесия, которые всегда могут быть приведены к следующему виду:

Если значение переменного гидростатического давления р известно хотя бы в одной какой-либо точке А деформируемого тела, то значение р в любой другой точке Б этого тела можно было бы получить путем суммирования приращений:.

Ьр + ' (4.44)

вдоль любой кривой, соединяющей точки А и Б.

Заметим, что если бы нам удалось определить аналитические выражения составляющих вектора перемещений в любой точке деформируемого тела, то можно найти такую точку А в этом теле (или на его поверхности), в которой известно значение р. Действи­ тельно, в любой точке на свободной поверхности деформируемого тела всегда можно вычислить значение р, если известны аналити­ ческие выражения (4.39) составляющих вектора смещения.

Пусть апх, апу, апг — косинусы углов, составляемых нормалью к свободной поверхности с координатными осями. Тогда, прирав­ нивая нулю все три составляющих вектора напряжений на эле­

В силу этих равенств (4.42) можно написать

+ isf) + ( l T | -fr) а“Л “+ (4.46)

+ ( f e + * b

Итак, если найдены выражения (4.39), то можно вычислить значения напряжений в любой точке деформируемого тела. Зна­ чение потребного усилия машины-орудия можно было бы опреде­ лить непосредственно из равенств (4.41).

Таким образом, работа, затрачиваемая для перемещения под­ вижной детали рабочего инструмента на ДЛ, равна произведению потребного усилия на рабочий ход АЛ.

Определив вариационным методом минимум выражения I (4.41), можно было бы вычислить значение усилия по формуле

Решая задачу для ряда последовательных переходов из пред­ шествующих стадий рассматриваемого процесса конечного пла­ стического формоизменения физического тела в последующие стадии, Тарновский, Поздеев и др. [761 получают значения уси­ лия машины-орудия на различных этапах изучаемого технологи­ ческого процесса. В работах этих авторов приводятся данные экспериментальной проверки полученных решений.

Вместе с тем необходимо отметить, что на пути решения задач обработки металлов давлением вариационными методами неиз­ бежны существенные затруднения. Преодоление этих затруднений осуществляется как обычно за счет принятия добавочных упро­ щающих допущений, приемлемость которых иногда вызывает некоторое сомнение.

Так, в трудах, посвященных исследованию задач обработки металлов давлением, решение которых построено исключительно

на вариационных методах расчета, интеграл j JJ Гdm заменяется

W

выражением ■— Шr*dw, где Гс — некоторое усредненное по объ- с W

ему деформируемого тела значение интенсивности деформаций

сдвига (т. е. Г = ]/З е/). В ряде задач авторам этих трудов при­ ходилось применять часто используемые при приближенном ана­ лизе процессов обработки металлов давлением добавочные упро­ щающие допущения, например гипотезу плоских сечений и услов­ ное деление деформируемого тела на отдельные зоны с той целью, чтобы в каждой такой зоне можно было принять хотя бы один из трех главных компонентов деформации постоянным.

Отметим далее, что существенную роль при использовании метода Ритца для решения вариационных задач играет правиль­ ный выбор так называемых подходящих функций. В применении к задачам обработки металлов давлением это означает необхо­ димость правильного выбора аналитических выражений (4.39), которые после того как будут определены значения одного или нескольких заранее неизвестных параметров, должны давать на­ илучшую аппроксимацию истинных зависимостей перемещений от координат. Совершенно обязательно, чтобы выражения (4.39) удовлетворяли кинематическим граничным условиям задачи.

Выбор подходящих функций является одним из важнейших этапов анализа процессов обработки металлов давлением не только в случае применения вариационных методов этого анализа. Дей­ ствительно, возможность использования равенств (4.42) для опре­ деления по заданным выражениям (4.39) выражений компонентов