книги / Теория автоматического управления техническими системами

7.6. Номограммы для определения запаса устойчивости, показателей качества и коэффициентов ошибок САР по ЛАЧХ

ЛАЧХ Lm[H7] систем часто можно представить состоящими из следующих основных отрезков (рис. 7.18): CD (средне­ частотная асимптота) с наклоном —20 дБ/дек, пересекающий

частотах). Высокочастотная часть ЛАЧХ мало влияет на ка­ чество системы и в первом приближении может не приниматься во внимание. Поэтому ЛАЧХ можно подразделить на ряд ос­ новных типов и для каждого из них составить номограммы, по­ зволяющие связать основные параметры ЛАЧХ с показателями качества САР. Номограммы составлены, для минимально-фазо­ вых систем и представляют интерес не только для анализа, но и для синтеза корректирующих устройств САР.

Далее рассмотрены лишь типовые ЛАЧХ минимально-фазо­ вых астатических систем 1-го порядка. При этом можно вы­

том, или добротностью, k и сопрягающими частотами оц—\1Ти

=©i; частотой среза ©ср и относительными сопрягающими час­ тотами û)|/o)cp и 00з/й>ср*

•ИсР2Сг=2,2; у^58°.

Если значения параметров ЛАЧХотличаются от имеющихся в номограмме, то динамические показатели могут быть определеныпо кривымномограммы лри помощи интерполяции.

Рис. 7.19. Определение динамических показателей системыпо номограмме:

а —ЛАХ11типа; б —лист номограмм(кривые; 1—пришсС,; 2—при ti>c*C»; 3-%прио; 4—приГа с/10; 5—приу)

Следует отметить, что номограммычасто можно применять не только в случае передаточных функций (см. табл. 7.2), имеющих кратные полюса и нули, но и в случае передаточных функций, не имеющих кратных полюсов и нулей. Однако необходимо, чтобыпорядок числителя и порядок знаменателя рассматриваемой исоответствующей типовой передаточной функции были одинаковы.

Так, например:

номограммой, построенной для ЛАЧХII типа, можно пользоваться в случае системс передаточными функциям вида

точнымфункциямтабл. 7.2 состоит в том, что две соседние постоянные вре­ мени Ti и 7\+i заменяют двумя одинаковыми постоянными времени, опреде­ ляемыми по формуле

VTi,Ti+1.

Ошибка в ЛАЧХ, которая получается при замене двух соседних неоди­ наковых постоянных времени (7\ и 77+j) одной постоянной Ti,i+i, при 1/7<+1<4/Г( не превышает 2 дБ.

Номограммой можно также пользоваться в тех случаях, когда вместо двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени имеется одн колебательное звено. Ошибка при этомбудет уменьшаться с убыва­ ниемкоэффициента затухания |кколебательного звена.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу синтеза корректирующего устрой­ ства САР. Что представляет собой квазиоптимальная переход­ ная функция системы?

2. Дайте определение желаемой ЛАЧХ. (Почему при этом можно не учитывать соответствующую ЛФЧХ?)

3. Какова связь между частотной характеристикой разомкну­ той системы и вещественной частотной характеристикой замкну­ той САР?

4. Какова последовательность процедур при синтезе после­ довательного корректирующего устройства? Корректирующей местной обратной связи?

5. Сформулируйте особенности синтеза комбинированного корректирующего устройства (последовательного КУ и КОС).

6. Какие используют аппаратные средства для технической реализации КУ в САР?

7. Какова структура номограммы для определения запасов, устойчивости, показателей качества и коэффициентов ошибок САР?

8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Существенным отличием нелинейных систем от линейных с точки зрения передачи и преобразования сигнала управления является зависимость «мгновенного передаточного коэффици­ ента безынерционного нелинейного элемента, входящего в со­ став нелинейной САР, от значения входного сигнала. Эта осо­ бенность не допускает применения рассмотренных ранее методов расчета линейных САР к нелинейным системам. Впо­ следних возможно также возникновение специфического авто­ колебательного режима работы.

В данном разделе рассматриваются специальные методы анализа нелинейных систем, а также методы определения пара­ метров автоколебаний [10, 20J.

8.1. Нелинейные системы. Типовые нелинейные характеристики

САР, содержащие звенья, динамику которых определяют нелинейными дифференциальными уравнениями, относят к не­ линейным системам, включающим элементы с типовыми

составляют дифференциальные уравнения для всех звеньев системавтоматического регулирования;

проводят линеаризацию тех звеньев, где это допустимо

(в результате звенья будут разделены на линейные и нелиней­

ные); линейные звенья объединяют в один блок (линейная часть);

анализируют систему одним из методов нелинейной теории автоматического регулирования.

Для анализа нелинейных систем автоматического регулиро­ вания в основном применяют методы: фазовых траекторий; при-

пасовызания; гармонической линеаризации; фазовой границы устойчивости и др.

8.2. Метод фазовых траекторий

Фазовая плоскость —это плоскость, на которой по двум координатам хну откладывают какие-либо две переменные, характеризующие динамику САР, например отклонение регули­

руемой величины х и скорость: х^у^ \dx)I(dt).

При изображении процесса на фазовой плоскости уравнение

Врезультате получают нелинейное дифференциальное уравне­ ние, для которого общих методов точного решения не сущест­ вует. В каждой задаче приходится изыскивать частный метод: решением уравнения будет некоторая функция y=F(x), графи­ ческое изображение которой на фазовой плоскости называют фазовой траекторией (или фазовым портретом системы регу­ лирования).

Изображение процесса на фазовой плоскости обеспечивает достаточную наглядность. Однако рассмотрение ограничено только такими системами, динамика линейной части которых может быть описана уравнением 2-го порядка. В тех случаях, когда уравнение системы имеет более высокий порядок, приме­ няют многолистные фазовые плоскости.

Изображение на фазовой плоскости основных процессов ре­ гулирования. Рассмотрим фазовые портреты некоторых вре­ менных процессов.

ний, что и в начальный момент времени, точка Мокажется на расстоянии, меньшем, чем хНач.

3. Расходящийся колебательный процесс (рис. 8.5). Его

вой плоскости фазовые траектории, изображенные на рис. 8.7. Правило построения фазовых траекторий. Фазовые траекто­ рии строят по заданным уравнениям динамики САР. В верхней

Рис. 8.7. Расходящиеся апериодические процессы:

а—графики (1—4) функциидс((); б—фазовые портреты(/'—4')

половине фазовой плоскости (где у>0) изображающая точка всегда движется слева направо, в сторону увеличения х; в ниж­ ней половине фазовой плоскости (где у<0)—справа налево. Это правило используют для расстановки стрелок вдоль фазо­ вой траектории.

На оси х, которая разделяет верхнюю и нижнюю половины фазовой плоскости, у=0, dx(dt=0 (т. е. скорость изменения координаты х равна нулю); фазовая траектория пересекает ось. х под прямым углом. По полученным фазовым траекториям можно судить о динамических свойствах САР.

При анализе фазовых траекторий выделяются особые точки. В этих точках не существует определенного направления каса­ тельной к фазовой траектории, т. е. имеет место неопределен­ ность вида

dy_ dx O’"

В особых точках фазовые траектории не пересекаются друг с другом, а сходятся к этим точкам или выходят из них. Особые точки являются точками равновесия системы.

Для нелинейных САР могут быть выделены, например, слу­ чаи, когда:

1) система имеет элемент с зоной нечувствительности и на­ сыщением. Статическая характеристика такого элемента изо­ бражена на рис. 8.1,6. Установившемуся состоянию равновесия на фазовой плоскости соответствует целая область возможных состояний равновесия (рис. 8.8). Особая точка превращается в особый отрезок прямой АВ. Его длина зависит от размера зоны нечувствительности и от насыщения;

2) поведение системы характеризуется расходящимися про­ цессами, но до определенных пределов. Система неустойчива в «малом», амплитуда расходящихся колебаний ограничена.