книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

чения и обладает той же размерностью, что и исходные дан­ ные, можно воспользоваться стандартным отклонением. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и обознача­ ется символом а, являющимся параметром совокупности; соот­ ветствующая выборочная статистика обозначается через s.

Малое значение стандартного отклонения указывает, что наблюдения хорошо группируются около центрального значе­ ния. Наоборот, большое стандартное отклонение показывает, что наблюдения широко рассеяны относительно среднего значе­ ния н имеют слабую тенденцию к централизации. Это проил­ люстрировано на рис. 2.11, где изображены две симметричные кривые распределения, имеющие различные стандартные от­ клонения. Кривая А характеризует насыщение нефтью (в про­ центах) образцов керна из продуктивной зоны северо-восточ­ ной Оклахомы. Кривая В представляет те же величины для нефтеносной области западного Техаса. Среднее насыщение нефтью в этих двух регионах различно, но наибольшее разли­ чие между кривыми заключается в том, что для Техаса харак­ терна значительно более высокая изменчивость насыщения.

Весьма полезное свойство нормального распределения со­ стоит в том, что площадь под кривой в пределах некоторого заданного интервала может быть точно вычислена. Например, более 2/3 наблюдений (68,27%) попадают в интервал с цент­ ром в среднем значении и длиной, равной двум стандартным отклонениям. Примерно 95% всех наблюдений заключается в интервале от —2 до -г 2 стандартных отклонений и более 99% содержится в интервале от —3 до +3 стандартных отклонений. Это показано на рис. 2.12.

Распределение, указывающее степень насыщения нефтью пород северо-восточной Оклахомы (см. рис. 2.11, кривая А), имеет среднее значение 20,1% и стандартное отклонение 4,3%. Если предположить, что распределение нормально, то следует ожидать, что около 2/3 исследуемых образцов будет иметь на­ сыщение нефтью от 16 до 24%. Изучение исходных данных по­ казало, что 1145 проб характеризуются насыщением, которое находится в указанных пределах, что составляет около 68% всех данных. Только 101 образец, т. е. около 6%, имеет насы­ щение вне интервала 2а (12—29%).

Те, кто не имел дела со статистическим анализом, обычно с трудом развивают интуитивное восприятие численного значе­ ния дисперсии или стандартного отклонения. Является ли дис­ персия, равная 10, большой или малой? Что значит стандарт­ ное отклонение 23? Оказывается, для интерпретации как дис­ персии, так и стандартного отклонения не требуется приписы­ вать каждому из них численного значения, а требуется срав­ нивать одну дисперсию с другой. Выборка, имеющая наиболь­ шую дисперсию или стандартное отклонение, характеризуется

42

500

40 0

5

|<£ 300

•£

о

о 200

Ц

и

S

т

100

Рис. 2.11. Частотное распределение процентного содержания насыщения неф­ тью в нефтяном поле Оклахомы (А) и Техаса (В)

Рис. 2.12, Площади стандартного нормального распределения, заключенные а пределах интервалов, кратных стандартному отклонению

большим разбросом наблюдаемых значений при условии, что все измерения сделаны в одних и тех же единицах.

Равенство (2.11), хотя и определяет дисперсию, обычно не используется для вычислении, так как содержит п операций вычитания, п — умножения и п — сложения. Вместо этой фор­ мулы для вычисления оценки дисперсии используется другая формула, которая имеет следующий вид:

43

или

п( п — I)

Спомощью настольной вычислительной машины ЕХ,- и ЕХ,2 можно подсчитать одновременно, что позволяет уменьшить число требуемых операций на число п. На вычислительной ма­ шине формула (2.15) может быть использована для одновре­ менного нахождения среднего и дисперсии, что позволяет из­ бежать необходимости дважды использовать одни и те же дан­

ные.

Для вычисления оценок дисперсии н стандартных отклоне­ ний введем некоторые промежуточные величины, которые часто будут использоваться во многих процедурах, излагаемых в по­ следующих главах. Нецентрированная сумма квадратов — это просто ЕХ,-2; центрированная сумма квадратов (SS) определя­ ется по формуле

или, что алгебраически эквивалентно,

s s = t x i=i

Оценку дисперсии вычисляют путем деления этой величины на п—1, т. е.

2-,

с2

Величина п—1, которая содержится как в формуле (2.14), так и в формуле (2.15), требует некоторого пояснения. Диспер­ сия определяется как среднее значение квадратов отклонений от среднего. Однако, имея дело лишь с выборкой, мы не знаем истинного среднего значения совокупности_р, но можем оце­ нить его с помощью выборочного среднего X, которое вычисля­

ется так, чтобы минимизировать квадраты отклонений от него.

П

i=i

44

п_

которого — X f имеет минимальное значение среди всех 1=1

возможных. В силу этого свойства выборочного среднего оценка дисперсии будет занижена, если использовать формулу (2.11).

П

Иными словами, х3 = — V (А'4— А';2 является смещенной оцен- r. Li

/—I

П

кой для о: = — ^ ( .А г—р.)2. Для того чтобы устранить смещение,

i=i

мы используем в качестве знаменателя в формуле для выбороч­ ной дисперсии п—1, увеличивая таким образом оценку диспер­ сии.

Вычисление этих величин можно показать на примере гео­ химических данных по содержанию хрома в глинистых слан­ цах, приведенных в табл. 2.1. Переписав эту таблицу так, что­ бы она содержала столбец квадратов, получим табл. 2.2.

Допуская, что содержания хрома распределены приблизи­ тельно по нормальному закону, можно ожидать, что около двух третей значении расположено в пределах 198—246 г/т. Анализ таблицы показывает, что три значения из пяти, т. е. 60%, дей­ ствительно попадают в этот интервал.

Заметим, что при вычислении сумм квадратов геохимичес­ ких данных появляются числа, содержащие семь знаков. Эта

Таблица 2.2

Вычисление сумм квадратов и дисперсий по данным табл. 2.1

45

значения

тенденция к возникновению в процессе вычисления очень боль­

трудностей при выводе данных, если поля формата недостаточ­ но широки для того, чтобы вмещать числа, которые должны быть напечатаны.

Для большинства геологических исследований характерно, что на каждом изучаемом объекте измеряется более одной пе­ ременной. В качестве примеров можно привести результаты измерений коллекции кораллов, последовательности проб из ряда скважин или же определения параметров пород в коллек­

столбца можно подсчитать соответствующие суммы и оценить среднее значение и стандартное отклонение.

Однако различные переменные могут не быть независимы­ ми, между ними может существовать некоторая форма услов­ ной связи. Важно, что мы в состоянии оценить природу и силу этих условных связей, так же как было важно определить ус­ ловные вероятности появления дискретных событий.

Согласованное изменение двух переменных

Вычислительные процедуры, используемые для получения оценки дисперсии одной переменной, можно расширить для вычисления меры взаимной изменчивости пары переменных»

46

Эта мера, называемая ковариацией, является характеристикой совместного изменения двух переменных по отношению к их общему среднему значению. Это соотношение показано на рис. 2.13, где изображены формы поверхностей распределения вероятностей, порожденных двумя кривыми нормального рас­ пределения.

Пусть Х< и Х2 имеют кривые распределения вероятностей, аналогичные изображенным на рис. 2.12. Точно так же, как дисперсия характеризует разброс значений относительно цент­ ральной точки, как это показано на рис. 2.12, ковариация яв­ ляется мерой разброса значений распределения относительно

общего среднего.

Для вычисления оценки ковариации мы снова введем вели­ чину, аналогичную сумме квадратов. Эта величина называется

где Хц — г-е значение /-и переменной, а Хщ— г'-е значение k-й переменной. Символ — сумма произведений центрирован­ ных /-й и fe-й переменных. Запишем это выражение в форме, удобной для вычисления:

47

Величина 'ЦХ-^Хт) называется нецентрированной суммой сме­ шанных произведений. Связь величины SPjh с суммой квадра­ тов можно легко установить, если выбрать j = k.

Тогда получаем

(2.21)

п

Если мы вычислим суммы смешанных произведений и сум­ мы квадратов для всех возможных комбинаций наших трех переменных из табл. 2.3, то получим следующую таблицу по­ рядка 3X3:

Легко заметить, что некоторые из величин встречаются в этой таблице дважды: например, сумма произведений для ва­ надия и никеля такая же, как и сумма произведений для нике­ ля и ванадия. Обобщая этот факт, можно написать SPjk = =SPkj. Это равенство будет нами использовано в следующих главах.

Подобно тому как мы при вычислении дисперсии делили величину SS на п—1, вычислим оценку ковариации, также раз­ делив величину SP на п—1:

- пт- ДГ7 [t Х “Х “ - Т t х “ t

L,=1 1=1 /=1

1 ( 2. 22)

л(п— 1)

Теперь, возвращаясь к геохимическим данным, приведен­ ным в табл. 2.3, можно вычислить оценки ковариаций для всех трех элементов. Обозначая содержания хрома и никеля соот­ ветственно через Х\ и Х2, можно вычислить величины, приве­ денные в табл. 2.4. Мы знаем теперь дисперсию Х\ (хрома) и оценку ковариации между Х\ и Х2 (хромом и никелем). У нас

48

Таблица 2Л

Вннисление оценки ковариаций между хромом (2fi) и никелем (Д2)

есть также все необходимые данные для вычисления дисперсии: Х2 (никеля) по формуле 2.12. Читатель может попытаться вы­ числить это значение, заполнив таблицу порядка 2x2, приве­ денную ниже.

Xi

Чтобы закончить анализ геохимических данных, приведен­ ных в табл. 2.3, остается вычислить дополнительно три вели­ чины. Это оценки ковариаций для хрома и ванадия (covi3), никеля и ванадия (соугз) и дисперсию ванадия (s32). Следуя процедурам, использованным при построении табл. 2.4, вычис­ лите величину (cov13).

На рис. 2.14 приведена диаграмма совместного распределе­ ния двух переменных, которые тесно связаны и имеют доволь­ но высокое значение ковариации. Распределения двух перемен­ ных, изображенные на рис. 2.15, имеют те же дисперсии, что и приведенные на рис. 2.14, но не зависят одно от другого, о чем свидетельствует относительно низкое значение ковариации. Интерпретация значений оценок ковариаций должна прово­ диться таким же образом, как и дисперсий, но при этом следу­ ет помнить, что рассматриваемые значения не слишком содер­ жательны, так как они зависят от единиц измерения.