книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

ПРАНТИЧЕСНИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИНЕ

ЧАСТЬ V

(Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференциальных уравнений первого порядка

с частными производными)

Издание второе, стереотипное

ИЗДАТЕЛЬСТВО

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга, как и ее предыдущие четыре части, предназначена в основном для студентов, которые обучаются по вечерней си­ стеме и заочно.

В книгу вошли упражнения по векторному анализу, исчисле­ нию матриц и их приложению к решению систем линейных алге­ браических уравнений и приведению квадратичной формы к сумме квадратов, а также упражнения по итерационным методам реше­ ния алгебраических и трансцендентных уравнений, решение линей­ ных дифференциальных уравнений с частными производными пер­ вого порядка.

Цель книги — помочь студенту научиться с наименьшей затратой времени самостоятельно решать эадачн по этим разделам курса высшей математики.

Весь учебный материал разделен на отдельные практические занятия. Как и в предыдущих четырех частях, перед каждым из занятий помещены основные сведения из теории, а также относя­ щиеся к нему формулы, теоремы и определения.

К упражнениям по теории матриц сведения из теории приве­ дены полнее, чем к практическим занятиям по другим разделам курса. Это связано с тем, что в учебной литературе теории мат­ риц и их приложений уделяется недостаточное внимание, несмотря на их широкое применение в технике и вычислительной практике. Важное место занимает определение собственных значений и соб­ ственных векторов матрицы методами акад. А. Н. Крылова и Леверье.

Каждое практическое занятие содержит подробное решение типовых задач различной степени трудности с полным анализом решения. Многие задачи решаются различными способами, а целе­ сообразность этих способов сравнивается.

Кроме этих решенных и разобранных задач, каждое практи­ ческое занятие включает большое число задач для самостоятель­ ного решения. Все они снабжены ответами, а многие из них — промежуточными результатами и методическими указаниями. Такое построение книги предоставляет студентам широкие возможности для активной самостоятельной работы.

з

Студенты, пользующиеся этой книгой, перед каждым практи­ ческим замятием должны выучить относящийся к нему раздел теории, разобрать решенные задачи с выполнением всех действий на бумаге и только после этого приступать к задачам, предложен­ ным для самостоятельного решения.

Книга написана так, что она допускает не только последо­

относится и к упражнениям по решению алгебраических и транс­

Автор приносит глубокую благодарность рецензенту этой книги доктору физико-математических наук, профессору Г. М. Баженову и ее ответственному редактору кандидату физико-математических наук, доценту Р. В. Солодовникову, а также кандидату техни­ ческих наук А. А. Егоршину за ценные советы и замечания, которые способствовали улучшению книги.

С о д е р ж а н и е . Численное решение алгебраических уравнений

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Алгебраическое уравнение степени л с действительными коэф­ фициентами

имеет л корней, среди которых могут быть действительные раз­ личные корни, действительные кратные корни, а также комп­ лексные корни, попарно сопряженные. Если корнями уравнения являются числа аь а2, . . . . а„, то левая часть уравнения может быть представлена в виде

Прежде всего следует найти все действительные корни урав­ нения, а потом уже его комплексные, корни.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

При решении алгебраических уравнений степени выше второй мы будем отыскивать действительные корни методами последова­ тельных приближений с использованием схемы Горнера для деле­

корнем уравнения. Мы будем считать х„ хорошим приближением

хг + рх + ц, которая понадобится при определении комплексных корней уравнения, даны ниже.

Сейчас же укажем правило Декарта, согласно которому можно сделать заключение о числе положительных и отрицательный корней алгебраического уравнения.

Если в уравнении (1,1) у двух соседних коэффициентов разные знаки, то говорят, что имеет место перемена знака; если же у двух соседних коэффициентов одинаковые знаки, то говорят, что имеет место сохранение знака. При этом учитываются только коэффициенты, отличные от нуля.

Пример. В уравнении

хь— 7дс* — 4х* + 5 = 0

имеют место две перемены знака (у членов первого и второго, третьего и четвертого и одно постоянство знака у второго и третьего членов).

Если в уравнении (1,1) нет коэффициентов, равных нулю, то оно называется «полным».

Для определения числа положительных и отрицательных кор­ ней алгебраического уравнения существует правило Декарта, которое гласит:

Число положительных корней алгебраического уравнения равно числу перемен знака в ряде коэффициентов этого уравнения или на четное число меньше его, причем, равные нулю коэффициенты просто не считаются.

Число отрицательных корней уравнения равно числу перемен знака в ряде коэффициентов уравнения [( —• х) = 0 или на четное ,число меньше его.

Если уравнение модное», то число его положительных корней равно числу перемен знака или на четное число меньше его, а число его отрицательных корней •равно числу постоянств знака в ряде коэффициентов или меньше его на четное число.

ходится только один корень. Отделив корень, мы получаем воз* можность в качестве его приближенного значения принять любое число из отрезка (а, Ь]. Отделение действительных корней урав­ нения / (х) = 0 очень удобно производить графически. Значения действительных корней уравнения [ (х) = 0 являются абсциссами точек пересечения графика функции у=* [(х) с осью Ох. Чтобы указать отрезки, заключающие только по одному корню уравне­ ния,. не требуется особой точности.

Пример. Если график функции имеет вид, указанный на фиг. 1,1 то уравнение имеет три простых корня. Если какой-либо действи­

1. Если корни этого уравнения действительны, то поступаем так: решаем уравнение

Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым урав­

читься, что последовательность чисел хи х2, х3, . . . не прибли­ жается к искомому корню, т. е. имеет место так называемый

Ю