книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

ПРОБЛЕМЫ НАУКИ

ИТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА

Я.Г. ПАНОВКО, И. И. ГУБАНОВА

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ, ПАРАДОКСЫ И ОШИБКИ

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАН ИОВ

МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к о й л и т е р а т у р ы

I Я» 7

ББК 22.25 П !6

УДК 531

П а н о в к о Я. Г., Г у б а н о в а И. И. Устойчивость н колеба­ ния упругих систем: Современные концепции, парадоксы и ошибки.—

гне колебания, нелинейные колебания некоторых специальных систем). Для широкого круга научных сотрудников, а также для студен­

тов втузов и механико-математических факультетов университетов. Табл. 4. Ил. 177. Библиогр. 186 назв.

Р е ц е н з е н т член-корреспондент АН СССР В. И. Феодосиев.

ЯГамлеат Паноеко, Искра Ивановна Губаноаа

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

Редактор Н. П. Рябенько»

Художественный редактор Г. И. Кольченка

Технический редактор С. Я ■ Шкляр Корректор Г. И. Сурова

ИБ № 32419

Сдано а набор 10.0G.86. Подписано к печати 12.12.86, Т-33968, Формат 84X108/(1. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная. Печать высокая. Уел. псч. я. 18.48. Ус*, кр.-отт. 18,9. Уч.-нзд. л. 18.71. Тарагс 9500 вкз. Заказ \» 2657. Цена 1 р. 60 к-

Ордена Трудового Красного Знамен» издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москяа В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типографии» имени А. А. ЗДдбноед Союзпол играфлрома при Государственном комитете СССР по делай издательств, полиграфии и книжной торговли. 11305 л Москва M.S4, Валовая, 28

Отпечатано во 2-й типографик иэд-ва «Наука». 121099 Москва Г-99, Шубки- «кий пер.. 6. Заказ 346

HjHKO-MiircM.i -нческой литературы, t979; 1967 с изменениями

Светлой памяти Георгия Юстиновича Джанелидзе

посвящаем эту книгу

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

Многочисленные замечания, полученные авторами по предыдущим изданиям книги (1-е издание — 1964 г., 2-е из­ дание — 1967 г., 3-е издание — 1979 г.), а также ее пере­ водов на английский язык в США (1965 г. и 1973 г.), способствовали уточнению текста и стимулировали ча­ стичное его обновление.

Авторы благодарны всем тем лицам, которые своими со­ ветами помогли улучшить эту книгу.

Я . Г . Пановко, И . И . Губанова

Ленинград — Рига, март 1986 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Устойчивости и колебаниям упругих систем посвяще­ но много книг — учебников и монографий. Эта книга не относится ни к тем, ни к другим. Авторы писали ее как «книгу для чтения», сборник очерков, посвященных избран­ ным вопросам теории устойчивости и теории колебаний упругих и не вполне упругих систем. Соответственно этому книга разделена на две части, а каждый параграф посвящен своей отдельной теме, более или менее далеко выходящей за рамки обычных учебных курсов.

В части параграфов рассматриваются некоторые пара­ доксальные результаты и ошибочные решения, большинство же параграфов посвящено современной проблематике — вопросам, которые оживленно обсуждаются в периодиче­ ской литературе и отражены в специальных монографиях, но пока не освещаются в учебниках («перескоки» в упругих

3

Ч а с т ь п е р в а я

УСТОЙЧИВОСТЬ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ

Если позволительно перефразировать начало знамени­ того романа Л. Н. Толстого, то можно сказать, что все устойчивые механические системы похожи друг на друга, а неустойчивые — неустойчивы по-своему. Это справедливо не только по отношению к устойчивости движения в широ­ ком смысле слова, по и применительно к более узкому поня­ тию устойчивости равновесия.

Во многих случаях состояние равновесия упругой си­ стемы можно определить двумя параметрами — характер­ ным перемещением и и параметром нагрузки Р. Тогда всей совокупности состояний равновесия соответствует некото­ рая кривая в системе осей v, Р; она позволяет «предсказать судьбу» системы при монотонном возрастании параметра нагрузки (или параметра перемещения), «увидеть» области устойчивости и отметить критические значения параметров.

Из множества различных упругих систем можно выде­ лить ряд типов, каждый из которых характеризуется неко­ торыми общими свойствами соответствующих кривых Р—V.

Остановимся на наиболее характерных случаях; при

(мягкое нагружение). В дальнейшем мы будем также рас­

существует единственная и притом устойчивая форма рав­ новесия; при любых нагрузках, превосходящих значение

5

Р кр, есть несколько форм равновесия, в том числе и исходная (но уже неустойчивая) (рис. 0.1)*).

2.До некоторого значения нагрузки РЦр существует

единственная и притом устойчивая форма равновесия.

Р

три качественно различные формы равновесия; а) исходная устойчивая; б) неустойчивая; в) устойчивая, резко отличаю­ щаяся от исходной.

Рис. 0.3. Примеры кривых равновесных состояний систем третьего типа: а) с одним состоянием равновесия при Р < Р К„; б) с двумя состояниями равновесия при Р < Р ,р

При Р > Р нр формы равновесия а) и б) исчезают и су­ ществует только одна форма равновесия в) (устойчивая) — см. рис. 0.2.

3. До некоторого значения нагрузки Р,ф существует одна устойчивая форма равновесия (рис. Ot-3, а); в не­ которых случаях одновременно существует и вторая, резко

*> В данных здесь и ниже иллюстрациях кривых Р—о неустойчи­ вые состояния отмечены крестиками.

б

отличающаяся от исходной, неустойчивая равновесная форма (рис. 0.3, б). При Р>Ркр форм равновесия нет.

4. Исходная форма является единственной формой рав­ новесия при любых значениях нагрузки, но при Р<.Ркр

она устойчива, а при Р > Р кр — неустойчива (рис. 0.4). Говоря здесь об устойчивости форм равновесия, мы имеем в виду формы, устойчивые «в малом», т. е. такие,

Р

Рис. 0.4. Кривая равновесных состояний си стемы четвертого типа

к которым система возвращается после сколь угодно малых начальных возмущений.

Для первого случая характерно разветвление (бифур­ кация) форм равновесия при критической нагрузке Я —Р кр. Если рассмотреть процесс монотонного возрастания пара­ метра нагрузки Р в такой системе, то при Р—Ркр произойдет переход в новую форму равновесия.

Во втором случае, когда при монотонном возрастании параметр нагрузки достигает значения Р 1ф. происходит резкий переход системы в новое состояние равновесия («перескок», «хлопок»), после чего параметр v будет вновь плавно возрастать. Если затем, начиная с некоторого зна­ чения Р>РКр, монотонно уменьшать параметр нагрузки Р, то при Р—Ркр система совершит обратный перескок к ис­ ходной форме равновесия; при дальнейшем уменьшении нагрузки изображающая точка будет перемещаться вниз по начальному участку кривой. Состояния равновесия, опи­ сываемые падающим участком кривой, неустойчивы и при рассматриваемом способе нагружения вообще не реализу­ ются. Любое состояние равновесия на восходящих участках кривой и интервале 1Р«п> Р кр] устойчиво лишь «в малом», так как при достаточно больших возмущениях смена форм равновесия (перескок) все же может произойти (неустойчи­ вость «в большом»). Значения необходимых для перескока возмущений определяются абсциссами точек падающего участка кривой Р —V.

7

В подобных случаях говорят о двух критических на­ грузках — верхней Ркр и нижней РкР, определяющих пере­ скоки при нагрузке и разгрузке. В некоторых системах нижнее критическое значение равно пулю или даже отрица­ тельно, что придает дополнительное своеобразие этим системам.

Третий случай характерен отсутствием состояний равно­ весия при Р>РК?; поэтому при достижении критической нагрузки происходит, строго говоря, не потеря устойчиво­ сти, а «потеря равновесия» — покой становится невозмож­ ным, и неизбежно (даже без всяких возмущений!) начи­ нается движение. Состояния равновесия при Р < Р кр могут быть либо устойчивыми без ограничений (рис. 0.3, а), либо — если существует издающий участок кривой Р —v — устойчивыми «в малом» (рис. 0.3, б). В последнем случае переход к движению может произойти и при Р < Р кр, но для этого необходимы достаточно большие возмущении, опреде­ ляемые абсциссами точек падающего участка.

В четвертом случае, хотя исходная форма равновесия и существует при Р > Р кр, но вследствие неустойчивости она не реализуется — переход к движению неизбежен при сколь угодно малых возмущениях.

В некоторых особых случаях кривая равновесных со­ стояний может иметь причудливую форму, подобную изоб­ раженной на рис. 0.5; здесь одному значению перемещения

Рис. 0.5. Одному значению перемещения могут соответствовать несколько значений силы

могут соответствовать несколько значений силы, но при монотонном возрастании параметра нагрузки никаких перескоков, конечно, не происходит.

Еще более своеобразны вопросы потери устойчивости не вполне упругих систем. Так, например, кривые Р—о для упругопластического стержня имеют вид. показанный на рис. 0.6. При учете эффекта ползучести понятие крити­ ческой нагрузки исчезает, так как при любой нагрузке по истечении некоторого «критического» времени, длитель­

8

ность которого зависит от нагрузки, характерное переме­ щение системы стремится к бесконечности.

Разнообразие свойств механических систем и кривых Р—v до некоторой степени объясняет возникновение раз­ личных методов отыскания критических состояний. В тече­ ние долгого времени для этой цели служил статический метод в трех его вариантах.

Исторически п е р в ы м был вариант, предложенный Эйлером. Согласно методу Эйлера изучается возможность существования форм равновесия, смежных с исходной, при

Рис. 0.6. Кривые состояния равновесия для упругоггласгияеских систем

заданном значении нагрузки, причем появление смежной формы равновесия служит признаком неустойчивости ис­ ходной формы равновесия. Соответственно этому рассмат­ риваются только сколь угодно малые отклонения от исход­ ного состояния равновесия, и задача оказывается линей­ ной. Обычно методом Эйлера изучаются системы, для кото­ рых типична показанная на рис. 0.1 кривая Р—о. При этом удается определить Р кр, но кривая новых равновесных состояний при Р > Р кр остается неизученной.

Для эйлеровой постановки задачи типична существен­ ная идеализация системы; так, например, при изучении продольного изгиба сжатой стойки первоначальная ось считается идеально прямой, а сжимающая сила — прило­ женной без эксцентриситета.

центриситеты или дополнительные внешние силы; при решении часто пользуются линеаризованными уравнения­ ми. Так, для задачи о продольном изгибе стойки получают кривую Р—V, подобную показанной на рис. 0.3. а. Конеч­ но, эти кривые получаются несколько различающимися в за-

9

внеимости от принятых в решении неидеальностей, но по­ ложение горизонтальной асимптоты не зависит от начальных неидеальностей и определяет то же значение критической нагрузки, что и метод Эйлера. Некоторая условность этого подхода состоит в линеаризации задачи, хотя рассматри­ ваются не малые перемещения.

Во многих случаях представляется более правильным строить кривую Р—v с учетом нелинейностей, неизбежно проявляющихся при больших перемещениях. В сущности, именно это делается в исследованиях систем с перескоками (рис. 0.2); для этих исследований характерен учет в первую очередь геометрической нелинейности *).

Т р е т и й вариант статического метода связан с теоре­ мой Лагранжа — Дирихле о минимуме потенциальной энергии. Этот энергетический метод оказался плодотворным для приближенного решения многих задач об устойчивости сложных систем, но и он не может претендовать на универ­ сальность, поскольку упомянутая теорема относится только к консервативным системам, тогда как действующие на­ грузки не всегда имеют потенциал.

Хотя все статические метода часто приводят к одинако­ вым значениям критических параметров нагрузки, однако они не вполне эквивалентны один другому, поскольку с их помощью получают ответы на не совпадающие по смыслу вопросы:

метод Эйлера: при какой нагрузке возникают смежные формы равновесия?

метод неидеальностей (в линеаризованной постановке): при какой нагрузке характерное перемещение системы стремится к бесконечности?

энергетический метод: до какого значения нагрузки потенциальная энергия системы сохраняет «минимальные свойства» в положении равновесия?

Главный же недостаток состоит в том, что статические методы иногда попросту нерезультативны. Полной общ­ ностью обладает только динамический метод исследования

•) В задачах механики деформируемого твердого тела различают

пример, отрывом балки от упругого основания, переменностью площади контакта в задаче Герца и т. п.). Конструктивную нелинейность, как самостоятельное понятие, отчетливо выделил П. А. Лукаш.

10