книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfЭ. И. ГРИГОЛЮК, Л.А.ФИЛЬШТИНСКИЙ
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
КУСОЧНО
ОДНОРОДНЫЕ
УПРУГИЕ
СТРУКТУРЫ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 9 2
ББК 22.251 Г83
УДК 55S.3
Г р п г о л ю к 0. И., Ф и л ь ш т п п с к и ii Л. А. Периодические кусочнооднородные упругие структуры — М.: Наука. Гл. ред. фнз.-мат. лит., *1992.— 288 с . - ISBN 5-02-014600-5.
Рассматриваются совремеппые краевые задачи теории волокнистых ком позиционных материалов, перфорированных пластин, проблема осреднения упругих, теплофпзпчеекпх, электрических свойств кусочно-однородных структур. Развиваемые процедуры обосновываются теоретически и закапчи ваются численной реализацией построенных алгоритмов. Результаты иссле дования приводятся в. виде таблиц и графиков, иллюстрирующих зависи мость папряженного состояпия, макропараметров структуры, коэффициен тов интенсивности напряжений в вершине дефекта от параметров микро структуры ячейки.
Для иаучпых и ипженерно-техпическнх работников, занимающихся ме
ханикой твердого |
деформируемого тела, а также аспирантов и студсчг- |
тов вузов. |
|
Табл. 37. Ил. 473. Библиогр. 274 назв. |
|
Р е ц е п з е н т |
доктор технических паук Г . А. Ванин |
_ |
16030 4 0 0 |
0 0 -0 3 5 ____ |
|
Г |
053(02) |
-92 |
©«Наука». Фиэматлит, 1992 |
ISBN 5-02-014600-5
О ГЛ АВЛ ЕН И Е
Предисловие |
. |
. . . |
............................................... |
б |
|
Г л а в а J. Растяжение регулярно перфорировавших изотропных |
9 |
||||
|
пластип |
............................................................................................. |
|
....... |
|
5 1. Постановка двоякопернодической задачи теории упругости . |
9 |
||||
5 |
2. Интегральные уравнения основных граничных задач ? . . |
13 |
|||
§ |
3! Контактная двоинепериодическая задача теории упругости |
28 |
|||
4 |
•'). Теоремы |
ед и н ствен н ости ............................................................................... |
|
|
31 |
§ |
5. Разрешимость построенных а л го р и тм о в |
............................................... |
32 |
||
4' |
6. Решение |
в. р я д а х .............................................................................................. |
|
|
39 |
4 |
7. Напряжения в правильных |
р е ш е т к а х ................................................ |
|
. 43 |
|
§8. Растяжение пластины с двоякопериодической системой упругих
круговых вк л ю ч е н и и ....................................................................................... |
47 |
§9. Об одной коитактнон задаче теории упругости, разрешаемой в
|
|
замкнутой ф о р м е ................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
.52 |
|
4 10. |
Методы анализа напряжений в регулярно перфорированных |
55 |
||||||||
|
|
пластинах. Обзор р е зу л ь т а то в ..................................................................... |
|
|
|
|
||||
Г л а в а 2. Пзгпб регулярно перфорированных пластин . . |
. |
. |
59 |
|||||||
§ |
1. |
Постановка двояконериодической задачи изгиба пластин |
. |
. |
59 |
|||||
§ |
2. |
Интегральное |
уравнение |
теории изгиба |
решеток . . |
63 |
||||
4 |
3. |
Интегральные |
уравнения |
двоякопериодической |
контактной |
за |
71 |
|||
4 |
4. |
дачи изгиба п л а с т и н ....................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
||
Теоремы еди н ствен н ости ............................................................................... |
|
|
|
|
|
73 |
||||
4 |
5. |
Разрешимость |
иптегральных |
уравнений |
(2.10) |
и (3.5) |
|
|
74 |
|
4 |
6. Изгиб правильных решеток |
с . круговыми отверстиями. |
Метод |
77 |
||||||
§ |
|
р я д о в ...................................................... |
|
|
..................................................................... |
|
|
|
|
|
7. Изгиб решетки с инородными упругими включениями . |
|
|
81 |
|||||||
4 |
В. Поперечный изгиб перекрытия, опирающегося па двоякоперио- |
|
||||||||
|
|
дпческуго систему к о л о л и ..................................................... |
|
|
|
|
|
82 |
||
§9. Поперечный изгиб топкой плиты, опертой па двоякоперподиче-
4 |
|
скуго систему точечных о п о р .............................................. |
|
89 |
||||
10. Дпоякопериодические задачи изгиба пластип. Обзор результатов |
91 |
|||||||
Г л а в а 3. Напряжсппя в регулярно перфорированных анизотропных |
|
|||||||
|
|
пластнпах |
............................................ |
|
|
.............................................................. |
93 |
|
§ |
1. |
Постановка основных траиичных задач для апнзотропной решетки |
93 |
|||||
4 |
2. |
Интегральное уравнение nepnoii краевой з а д а ч и ............................... |
• |
98 |
||||
§ |
3. |
Напряжения в регулярно перфорированных аппзотропных пла |
102 |
|||||
|
|
стинах |
. |
" . |
. . |
•...................................... |
|
|
§ |
4. |
Предельный |
случай (ffli-*-oo, |
0)г- * - о о ) ................................................. |
|
104 |
||
§ |
5. |
Интегральное |
|
уравнение |
второй основной задачи |
. . |
107 |
|
§ 6. Напряжеппп |
в решетке |
с жесткими включениями . . . . |
111 |
|||||
1* |
.3 |
§ 7. |
Теоремы единственности |
|
|
|
118 |
|
задач |
. |
119 |
||
§ 8. Существование решении основных граничных |
|||||
§ 9. Исследование напряжений в |
анизотропных решетках. Обзор ре |
123 |
|||
|
зультатов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 4. Осреднение упругих свойств регулярно |
перфорированных |
124 |
|||
|
пластин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ 1. |
Макромодель структуры при р астя ж ен и и .............................................. |
|
|
124 |
|
§ 2. |
Жесткость симметричной решетки с круговыми включениями |
130 |
|||
§ 3. |
при растяжении...................................................................................................... |
|
|
|
|
Жесткость решетки с круговыми отверстиями, подкрепленными |
143 |
||||
§ 4. |
упругими к о л ь ц а м и ............................................................................................ |
|
|
|
|
Осреднеппые жесткости решетки при и з г и б е ....................................... |
. . . . |
145 |
|||
§ 5. |
Жесткость симметричных решеток при изгибе |
150 |
|||
§ 6. Некоторые родствеппыс задачи об определеиии изгибпой жест |
158 |
||||
§ 7. |
кости густо перфорированной п л а с т и н ы ............................................... |
|
|
||
Осреднение упругих свойств анизотропных регулярпо перфори |
160 |
||||
|
рованных пластин .............................................................................................. |
|
|
|
|
§ 8. Проблема осредпения упругих свойств регулярпо перфорирован |
168 |
||||
|
ных пластин. Обзор результатов ............................................................... |
|
|
||
Г л а в а 5. Теория регулярных гармонических полей в анизотропных |
169 |
||||
|
ст р у к т у р а х ............................................................................................................... |
|
|
|
|
§ 1. |
Постановка основной з а д а ч и ........................................................................... |
|
|
169 |
|
$ 2. |
Интегральные уравнения регулярного п о л я ....................................... |
|
|
174 |
|
§ 3. |
Теоремы един ствен н ости ................................................................................ |
|
|
|
175 |
§ 4. |
Разрешимость системы ( 2 . 1 ) ....................................................................... |
|
|
177 |
|
5 5. |
Модель регулярного поля (регулярной структуры) . . . . |
179 |
|||
§ 6. |
Некоторые приложения теории гармонического регулярного поля |
181 |
|||
Г л а в а 6. Теория регулярно армированного волокнистого |
компози |
|
|||
|
ционного материала е изотропными компонентами структуры |
189 |
|||
§ 1. Средние компоненты тензоров деформации и напряжения в двоя |
|
||||
|
копериодической структуре |
........................................................................ |
|
|
190 |
§ 2. Сведение основных краевых задач теории КМ к регулярным ин |
|
||||
|
тегральным у р авн ен и я м .................................................................................... |
|
|
|
192 |
§ 3. О возможности сведения двумерных задач теории упругости для |
|
||||
|
кусочно-однородпой среды к |
сингулярным интегральным урав |
|
||
|
нениям. Учет дефектов тииа |
т р е щ и н ..................................................... |
|
|
195 |
§ 4. Сведение основных краевых гадач теории КМ с дефектами типа |
|
||||
|
трещин к сингулярным иптегральпым уравнениям . . . . |
196 |
|||
$ 5. Теоремы о единственности |
решений интегральных |
уравнений |
201 |
||
|
(4.10), (4.11). Некоторые частные случаи . . . . . . . |
||||
§ б. О числепной реализации сингулярных интегральных уравнений, |
|
||||
|
заданпых на кусочно-гладких л и н и я х ...................................................... |
|
|
204 |
|
5 7. Эффективные ynpynte постоянные регулярпо армированного во |
|
||||
|
локнистого композиционного |
материала ............................................... |
|
|
208 |
Г л а в а 7. Специальные модели линейно армированных КМ . |
213 |
||||
§ 1. Плоская деформация изотропного материала, армированного топ |
|
||||
|
кими л е п т а м и ........................................................................... |
|
|
|
213 |
5 2. Продольный сдвиг ЛКМ с пзотроппой м а т р и ц е й ............................. |
|
221 |
|||
$ 3. Плоская деформация ЛКМ с |
анкзотроппой матрицей |
|
225 |
||
| 4. Продольный сдвиг ЛКМ с апизотропной матрицей . . . . |
229 |
||||
§ 5. О корректности модели контакта по л и п и и ....................................... |
|
|
230 |
||
4
§6. Макромодель Л К М ..............................................................................................
§7. Влияпие края на напряженное состояние Л К М ...............................
§8. Модели КМ, армированных топкими лентами. Обзор результатов
П р и л о ж е н и е |
1. |
Эллиптические ф у н к ц и и .............................................. |
П р и л о ж е н и е |
2. |
Новые функции ( г ) ................................................ |
Пр и л о ж е н и е 3. Полигармоиические функции, инвариантные от носительно группы трапсляцип T ( z ) .......................................................
Пр и л о ж е н и е 4. О численной реализации интегральных уравне
ний теории регулярных с т р у к т у р ..............................................................
П р и л о ж е н и е 5. Макропараметры регулярных структур Список литературы
ПРЕД И С Л О ВИ Е
Впредлагаемой вниманию читателя книге излагается теория периодических упругих кусочпо-однородных структур, т. е. струк тур, обладающих геометрической и силовой симметрией относи тельно группы трансляции. В качестве примера можно указать на регулярно перфорированные пластины, липейпо-армпровап- •ные композиционные материалы, регулярно подкрепленные пла стины и оболочки и т. п.
Интерес к теории таких структур возник, особенно в послед ние годы, в связи с развитием современного энергетического и химико-технологического оборудования, созданием новых мате риалов, различного рода моделей сред с микроструктурой.
Вматематическом отношении определение физико-механиче ских полей в периодических кусочно-однородных структурах сво дится к решению краевых задач теории упругости или теории потенциала для бесконечпосвязных областей, обладающих соот ветствующей группой симметрии. Поэтому естественно стремле
ние в определенном смысле осреднить структуру, отождествить
ее«в большом» с некоторой однородной средой.
Проблему осреднения перфорированных структур, армирован
ных сред можно рассматривать на различных уровпях. Сущест вует довольно обширная литература, в которой изложены раз личные приближенные подходы к ее решению, использующие те или иные допущения, симметрию трансляционного элемента и т. и. Такие подходы привлекательны простотой, по они не «ра
ботают» |
в более |
сложных случаях, например, при наличии |
иерархии |
структур, |
анизотропии упругих свойств компонент |
и т. п. |
|
|
Более общий, но зато и более тяжелый путь решения пробле мы осреднения заключается в том, чтобы рассматривать ее как следствие из решения соответствующих краевых задач для структуры. При таком подходе метод получения макрохаракте ристик среды становится нечувствительным к усложнению ее структуры, важно лишь то, что среда обладает геометрической
исиловой симметрией.
Вкниге последовательно развивается второй подход к реше нию проблемы осреднения. Под макромоделыо регулярной струк
туры понимается однородная среда, упругие свойства которой определяются закопом связи между средними напряжениями и средними деформациями в структуре.
Существо дела заключается в том, что макропараметры структуры определяются точно в виде некоторых функционалов, построенных на решениях интегральных уравнении соответст вующих краевых задач. При этом отражается та точка зрения, что макромодель структуры есть функция классов возможных проектов, а типичным представителем класса является проект структуры с заданными функционалами, фиксирующими ее мак ропараметры.
Интерпретация .макропараметров как некоторых функциона лов, содержащих всю необходимую информацию о структуре, не видимому, открывает пути для рационального проектирования композиционных материалов и конструкций из них.
При решении краевых задач развиваются концепции метода интегральных уравнений: конструируются общие представления решения краевой задачи и доказывается пх корректность, т. е. показывается, что построенные представления удовлетворяют ус ловиям инвариантности, статическим п иным дополнительным условиям. Затем краевая задача сводится к интегральному урав нению того илп иного типа.
Такая схема исследования и решения краевых задач теории кусочно-одпородпых регулярных структур оказывается весьма эффективной, ибо помимо своей общности она дает возможность, используя аппарат теории интегральных уравнений и функций комплексного переменного, строго обосновать полученные алго ритмы. Важио также и то, что интегральные уравнения теории структур сравнительно просто поддаются численной реализации на ЭВМ.
В первых четырех главах книги излагается теория регулярно перфорированных пластин (решеток) из изотропных и анизо тропных материалов. Рассматриваются вопросы, связанные с оп ределением напряженного состояния при растяжении и изгибе решеток, а также осреднением их упругих свойств.
Главы 5—7 посвящены проблемам, связанным с анализом физико-механических полей в регулярно армированных (волок нистых) композиционных материалах. Особое место уделяется также решению проблемы осреднения тепловых, электрических, механических свойств регулярных структур.
Вопросы рационального проектирования конструкций пз ком позиционных-материалов (КМ) требуют для своего решения рас смотрения миогопараметрпчеекпх структур с большим количест вом варьируемых параметров. В этой связи в книге излагается теория волокнистых КМ с весьма произвольной микроструктурой ячейки.
В приложения вынесены сведения |
справочного характера, |
к которым можно «обращаться в случае |
необходимости при чте |
нии того или иного раздела. |
|
7
После выхода в свет книги авторов «Перфорированные пла стины и оболочки» прошло более 15 лет. За это время теория
регулярных упругих структур получила существенное |
развитие |
и возникла необходимость в написании новой книги, |
отражаю |
щей современное состояние вопроса.
В предлагаемой вниманию читателей книге обобщены иссле дования авторов, их учеников и сотрудников по проблемам теории регулярных кусочно-однородных упругих структур. На деемся, что книга окажется полезной специалистам в области механики твердого деформируемого тела, а также в практике проектирования НИИ и КБ. В то же время мы сознаем, что ряд важных направлений в теории кусочно-однородных структур не был или почти не был затронут в книге, за что заранее прино сим читателям свои извинения.
Мы весьма признательны профессору Г. А. Вапипу за по лезные замечания, высказанные им при прочтении рукописи.
Помощь при написании и оформлении книги оказали наши ученики и сотрудники М. Г. Грингауз, В. Н. Долгих, 10. Д. Ко валев и Н. Е. Севидова. Всем этим товарищам авторы выражают свою искреннюю благодарность.
Авторы
Г л а в а 1
РАСТЯЖ ЕН И Е РЕГУЛЯ РН О ПЕРФ ОРИРОВАННЫ Х ИЗОТРОПНЫ Х ПЛАСТИН
Ниже рассматриваются основные граничные задачи теории упругости для изотропной среды, ослабленной двоякоперподической системой одинаковых отверстий. Такая регулярно перфори рованная среда (решетка) вполне определяется своей фундамен тальной ячейкой П (параллелограмм периодов, трансляционный элемент), характеризуемой тем свойством, что любые две кон груэнтные точки z и z + Р (Р — комплексный период) не могут одновременно принадлежать П.
Из множества напряженных состояний, возможных в описан ной области, выбирается класс состояний, инвариантных относи тельно той же группы трансляции T(z) = z + Р.
Таким образом, рассматриваются двумерные граничные зада чи теории упругости, в которых область и поля напряжений в ней имеют одинаковую (периодическую, двоякопериодическую) структуру.
Такая идеализация оказывается полезной при исследовании напряженного состояния и жесткостных свойств густо перфори рованных регулярным образом пластин, трубных решеток, арми рованных сред.
§ 1. Постановка двоякопериодической задачи теории упругости
Рассмотрим неограниченную изотропную упругую среду (пла стину), ослабленную двоякопериодической системой групп непересекающихся между собой отверстий.
Пусть (01 и ©г (Im<Di = 0, Im (002/0)1) > 0) — основные перио ды структуры. Обозначим контур отверстия в пределах основной
фундаментальной ячейки По через ^оо = ^5 (/ = |
1.2, . . . , к). Все |
остальные отверстия в среде Цлп (пг, гг = ± 1, ± |
2, . . . ) получа |
ются из Ь} сдвигом на величину Р = mcoi + ггюгЭтот факт запи сывается символическим тождествомL in s L o ^ m c d © !,^ ).
9
Обозначим, далее, область, занятую средой, через 0 Ха конеч ную односвязную область, ограниченную контуром Lh через 0 , (рис. 1.1.1). Будем предполагать, что Ц — простой замкнутый контур с непрерывной по Гельдеру кривизной [47]. Начало сис темы координат Оххх2 поместим в области 0 \ .
а |
б |
Рпс. 1.1.1. К определению |
области, обладающей группой симметрии T (z). |
а) Область 2>,- б) трансляциопвый элемент
В области 3 ) имеет место закон Гука
еи — я" (а И V(T22)' е22 = |
~g (°22 — V(Tll)> в12 = |
jj" a i2> |
С ^ ) |
|
связывающий компоненты тензоров |
деформации |
e{j и |
напря |
|
жения а«. |
|
|
|
|
Угол поворота е и величины е,-,- выражаются через компонен |
||||
ты вектора упругого смещения и{ по формулам |
|
|
||
е11 — &1и11 е22 — ^2М2> |
— |
|
|
|
2е = d\U2 — д2их, |
2 ех2 = д хи2 + д2их. |
|
( 1.2) |
|
|
|
|||
Компоненты деформации ei} удовлетворяют условию совместности Сен-Венана.
Вводя в рассмотрение комплексную переменную z = х х+ ix2, можно выразить смещения через две аналитические в 0 функ ции по формуле [46]
2|X (HI + iu2) = xqp(z) — zO(z) — ij)(z), |
(1.3) |
причем для плоского напряженного состояния к = (3 — v)/ (l + v ).
10