книги / Математические модели элементов интегральной электроники
..pdfфизических эффектов. Кроме того, они используются для проверки решений, полученных с помощью методов первой категории, что позволяет сделать выводы о при менимости тех или иных допущений.
Методы первой категории изучены и описаны в ли тературе достаточно подробно. Исчерпывающие сведе ния по этим методам читатель найдет в [4].
В дайной главе рассматриваются только методы вто рой категории, использующие численное решение урав нений полупроводника с помощью ЭЦВМ.
2.1. Одномерная модель
Основные уравнения и граничные условия. Преобра зуем одномерную систему уравнений переноса тока, не прерывности и Пуассона, заменив концентрации носите лей квазипотенциалами Ферми:
ip =-qNvV-p (*) Fp (¥/>, 9, 9a) {dtp!dx),
]n= - qNcV-n{x) Fn (?„, |
9, 9a) (dtnjdx), |
|||||
|
/см = |
— S {d fd t) (d<f>Jdx), |
||||
|
|
|
i — |
ip “Ь in |
j an |
|
VP |
i aa — |
qN ” |
|
?Q> |
dfa>-?) |
|
■ J T - r ^ S — |
d(fp — f) |
Ft |
||||
d i n _____ |
** |
дрп Ь п , Ч , Ч о ) |
Э (у - у „ ) |
|||
дх |
^ |
c |
— <tn) |
dt |
||
(2. 1)
(2. 2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
дхг |
~WvFp{9p, |
9, 90) ~ NcFn'ifn, 9, |
?0) + |
|
4-M (jc)] = |
Q(<pp, <fn, 9. N)- |
(2.7) |
Здесь Nv и Mc—эффективные плотности состояний в ва лентной зоне и зоне проводимости, определяемые сле дующими выражениями [5, 6]:
т*р, т*п — «средние» эффективные массы дырок и элек тронов; т —масса свободного электрона; Т —абсолют-
51
ная температура в К; cpG — ширина запрещенной зоны (1,12 В для Si и 0,66 В для Ge).
оо
FP(b> Ь |
9a) |
.[ |
|
r\112 drj |
|
1+ |
exp ( V) — |
|
|||
|
|
о |
|
||
|
|
ОО |
|
|
(2.8) |
|
|
|
|
|
|
F „ ( f n, «р. |
9 а ) = |
у = - f |
|
У '* dr, |
|
|
ехр^ т] - у — <рп |
Уо |
|||
|
|
о |
1+ |
||
|
|
|
|
¥г |
2<Рг |
— интегралы Ферми для дырок и электронов соответ ственно. Квазипотенциалы Ферми связаны с концентра циями следующими соотношениями:
р (х) = N VFP(<р„. <Р, <p'G),
(2.9)
n(x) = NcFn{<fn, % <?0).
В частных случаях для невырожденных областей, где (pWv) (n/Nc) выражения (2.9) можно переписать в виде
„ _ y . , x p ( t ^ ] 9 + £ )
и>для, сильно выраженных областей, где (p/Nv) (rc/Wc) >
1
В уравнении (2.5) g — скорость генерации-рекомбина ции носителей заряда.
Полагая справедливой модель рекомбинации Шок ли — Рида — Холла, имеем [7]
р { х ) п ( х ) — п ч |
(2. 10) |
|
® |
ХР (Л + rtl) + |
( р + p i ) * |
где
rt, = щ exp { b h T)\ Р 1= п*!/п,; |
(2.11) |
Фt —энергетический уровень рекомбинационных цен тров.
Для полупроводника, легированного золотом, реком бинационные центры имеют два энергетических уровня. Уровень акцепторов расположен на 0,57 эВ ниже края зоны проводимости, а доноров' на 0,35 эВ выше края валентной зоны [8]. Выражения Шокли — Рида — Хол ла (2.10), (2.11) справедливы только для рекомбинаци онных центров с одним энергетическим уровнем. Мо дель, описывающая кинетику рекомбинации на много уровневых рекомбинационных центрах, приведена в [9].
Зависимость подвижности дырок и электронов от концентрации легирующей примеси и от величины элек трического поля может быть представлена в выраже ниях (2.1) и (2.2) следующей эмпирической формулой
.[10]:
р (лг, £ ) = |П»м|.п+ |
// |
|* 1 |
/ |
I Е |
|з\ I/P |
(2. 12) |
|
|
I |
«+ ж \ |
J |
0 + |
М |
) |
|
Значения параметров в выражении (2.12) |
для дырок и |
||||||
электронов приведены в табл. 2.1. |
|
|
Таблица 2.1 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Значения для |
Н-мин* |
Н-макс* |
ЛГ0, см"» |
|
Ео, В/см |
Р |
|
сма/В-с |
см*/В-с |
|
|||||
дырок |
47,7 |
447 |
6.3Л016 |
0,76 |
1,95-104 |
1 |
|
электронов |
65 |
1265 |
8,5- 10*«* |
0,72 |
8000 |
2 |
|
Граничные условия для одномерной транзисторной структуры (рис. 2.2) устанавливаются из следующих со ображений. На омических контактах имеет место термо динамическое равновесие и неограниченная скорость по верхностной рекомбинации. Это эквивалентно условиям
? р (0) = ? „ ( ( ) ) = £ / „ |
(2 .1 3 ) |
<fp(JCK) = 9п (Лк)= у К, |
(2.14) |
<Рр (Хб) = 0 , |
(2 .1 5 ) |
53
где U о и U K — внешние на пряжения, приложенные на эмиттерном и коллекторном контактах. Эти напряжения отсчитываются относитель но средней точки базы хв. Кроме того, предполагает ся, что вблизи омических контактов нет объемного за ряда, т. е. при х=0, хк
|
d2fl dx2= — (<7/е) [NvFp— |
||||
|
- N c F n + N] = 0. |
(2.16) |
|||
|
Если |
в |
качестве управляю |
||
|
щего |
воздействия |
задана |
||
|
плотность тока /3 или / и, то |
||||
|
граничные условия для |
это |
|||
|
го контакта имеют вид: |
|
|||
|
при (Х^х^Хб |
|
|
||
/ (0) = |
/ (JC) = |
/э, |
|
(2.17а) |
|
при Хб<Х^Хк |
|
|
|
|
|
! (*к) = |
/ (х) = |
/к, |
|
(2.176) |
|
при Х — 0, Хк |
|
|
|
|
|
dzf/d x 2 = 0. |
|
|
(2.18) |
||
Система уравнений (2.1) —(2.7) |
справедлива |
для |
|||
любых полупроводниковых структур независимо от про филя примеси и электрофизических параметров материа ла. Для различных типов полупроводниковых структур
меняются лишь граничные условия.
Для одномерной диодной структуры граничные усло вия являются частным случаем выражений (2.13) —
^ |
^ |
<Рр(0) = <рп(0)=1/. |
<?Р(*«) = <ря (Хб) = 0,
при х = Х6
d !<?/dx* = 0 .
Вслучае уп равлен и я током плотности J:
при О ^ х ^ х с
/(0) = /( * ) = /.
(2.19)
(2. 20)
(2.21)
( 2.22)
d2(p/dx*=0. (2.23)
Уравнения (2.1) —(2.7) с Граничными условиями (2.13)—,(2.23) описывают статические и импульсные ха рактеристики одномерной структуры в режиме большого сигнала. Пределы применимости уравнений для режи мов большого и малого сигналов с соответствующими граничными условиями обсуждались ранее в гл. 1.
Рис. 2.3. Пространственное разбиение транзисторной структуры для распределе ния концентрации дырок и электрического поля.
Pi Е1 Рг Ег |
Ej~1 Pj £] |
Ен-1Рм |
||
I [ |
1 [ I |
\ { I- |
i ' |
! |
\A*1 |
\ &*2 I |
I A -I |
14 |
|
—1_2_|---- 1----- 1 |
||||
х0вО |
xf xz |
Xj4 xj=Xs |
хм-1 |
хм=Хк |
Расчет переходных процессов. Общий подход к рас чету переходных процессов заключается в том, что си стема уравнений в частных производных (2.1) —(2.7) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей. Зна чения переменных ф3>, <рп и ф определяются для конеч ного числа точек, на которые разбивается диффузионная структура. Интервал 0 —хк разбивается*) на М подын тервалов (см. рис. 2.3) шириной Axi (£= 1, 2, М), так что
а» = 0, а-,= 2 Д-*Гк(« = 1, 2,..., |
М), х м= хк. |
|
|||
А=1 |
|
|
|
|
|
Пространственные |
производные |
в |
выражениях |
||
(2.1) —(2.7) записываются в конечно-разностном |
виде. |
||||
Тогда для внутренних точек х{ (i= l, |
2, ..., М) интерва |
||||
ла 0 —лгк уравнения |
(2.5) —(2.7) |
преобразуются |
к сле |
||
дующему виду: |
|
|
|
|
|
h ( X . ) - i „ ( x t _ i ) + q g |
( X. ) ДА. = - |
q N v |
|
Х |
|
х 2 Ы £ й р Н 1 , |
|
|
(2.24) |
||
*> Возможны и другие варианты разбиен |
пространственного |
||||
интервала. |
|
|
|
|
|
|
|
. , . |
|
SFn (xi) ix i |
\ y |
|
]n(xi) — in(x,. i) — qg (Xi) &Xi — q N cd [1?п №) _ f (*,)] л |
||||||
|
v, |
a [?»(*<)-?(*<)!. |
|
(2.25) |
||
|
X |
------- |
|
|
|
|
Л ч )- * ( « .,) |
, ? |
A«+ I |
|
о |
2 |
(2.26) |
2C5 |
+ |
|
|
|
||
где i= 1, 2, . . |
M. |
для |
дырок b(Xi) |
и электронов |
||
Плотности |
токов |
|||||
jn(Xi) в выражениях |
(2.24) —(2.26) соответственно рав |
|||||
ны |
|
|
|
|
|
|
Jp (х д ^ |
— qNvPp (Xi) Fp (Xi) X |
|
|
|||
у Ы*|)— <?P(xi-i))bxi4.i/&xi+ (vp(xi+i)-fp(xi)) &xj/hxi+\_' |
||||||
|
|
AXI + |
Ддс»+1 |
|
(2.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
jn (-Xi) = — qN#n (xi) Fn (Xi) X |
|
|
||||
\ / (Уд (лс/)— ?/t ( X j - i ) ) b X { + i / b X i |
+ |
(?Я (**+i) |
( X j ) A x t / b x t + i ^ |
|||
S ' |
|
b X l - { - & X i + i |
|
(2.28) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вместо дифференциальных уравне ний в частных производных (2.5) —(2.7) получили систе му из 3М обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно переменных ф Р (Х г), dq)P(Xi)/dt,
.ф п (^ г ), dq>n(Xi)/dt, <p(*t), dyiXi)/dt при i= 1, 2, ..., М. Если приложены напряжения UDи UK, то граничные
условия |
для системы ,(2.24)—*(2.26) имеют |
вид |
|
||||
|
|
<Рр (ЛСо) — Trt (*.) = |
Ua, |
|
|
(2.29) |
|
|
|
9р (хм) = <рп (хм) = и к, |
|
|
(2.30) |
||
|
|
9р (Xj) = |
О, X/ = |
Хб, |
|
|
(2.31) |
NvFp[<рр (х,), |
9 (х,)] — N CF„ [<fnfa), |
<f(х,)] + |
N (x.) = 0, |
||||
где i = 0, M. |
|
|
|
|
|
(2.32) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если плотность тока через контакт (например, |
|||||||
эмиттерный) задана, то граничное условие |
имеет вид |
||||||
'.Ю = Ы * .)+ М * о ) |
. d Г |
У (-« 0 — |
У (дсо) ' |
(2.33) |
|||
dt [ |
Axi |
|
|||||
Заметим, |
что |
уравнения |
(2.24) — (2.28) |
и |
граничные |
||
условия |
(2.29) — (2.33) являются математическим описа |
||||||
нием эквивалентной электрической цепи (рис. 1.11), рассмотренной в § 1.4.
Сформулированная задача характеризуется двумя особенностями.
il. Из-за большой разницы в значениях концентраций дырок и электронов в диффузионных областях прибора система уравнений :(2.24)—.(2.28) отличается сильной нелинейностью и имеет значительный разброс постоян ных времени.
2.Система уравнений (2.24) —(2.28), помимо обыкно
венных дифференциальных уравнений (2.24) —(2.25),
содержит также н алгебраические уравнения |
(2.26) — |
(2.28). |
|
Перепишем систему уравнений (2.24)—(2.28) в век |
|
торной форме |
|
ф(1 я, 0 = 0, |
(2.34) |
где £ — вектор, компонентами которого являются значе ния переменных фР, <рп и <р для точек разбиения струк туры; \= d \fd l— вектор производных.
Решение систем дифференциально-алгебраических уравнений осуществляется на ЭЦВМ с помощью неяв ных методов численного интегрирования. Для сформу лированной задачи наиболее эффективными являются методы, изложенные в [11—14].
Рассмотрим неявный разностный метод интегрирования первого порядка 114]. В этом методе на каждом г-шаге интегрирования для
определения векторов | fr) |
и £(г> необходимо |
решать |
систему урав |
нений |
|
|
|
|(г + 1) — |(г) __ |<г+о/, = о. |
) |
(2.35а) |
|
ф (|(г+1), |
£(г+ О, /<г+ 0) = о, |
J |
(2.356) |
где h — шаг интегрирования по времени.
Суть метода заключается в использовании одной ныотон итерации для решения системы :(2.34).
Пусть |(г+ 0 и |(r+i) — начальные приближения векторов |<r+l) и
£(г+0. Обозначим |
|
Д = £(r+1) —‘|(Нм); Д' = |(г + 1) —gcr+i). |
(2.36) |
А = дФ/ag; В = дФ/дЪ; С = Ф (|(г+г), f(r+i). *<г+1)) |
(2.37) |
Линеаризуем функцию Ф относительно поправок А и Д': |
|
|
(2.38) |
57
В качестве начального приближения векторов |
|<г+|) и £(г+1> вычис |
|
лим прогноз по формуле Эйлера |
|
|
|(r + i)==g(r)+4<r)Af |
1 |
(2.39а) |
|( г + 0 = |( г ) . |
/ |
(2.396) |
Вычитая (2.39а) из (2.35а), найдем зависимость между А и А':
Д = ЛД' |
(2.40) |
Подставив (2.40) в (2.38), получим выражение для поправки по производным
A '=-i(A h + B)-'C. |
(2.41) |
Затем из выражения (2.40) находим А, а из (2.36) — скорректиро
ванные значения £(г+1> и | (г+1). После этого можно переходить к следующему шагу.
Рис. 2.4. Переходный процесс для тока коллектора при включе нии (а) и выключении (б) одномерной транзисторной структуры пе
репадами напряжения с различной длительностью фронта (т„ =
= 0,1 нс).
Погрешность в решении на каждом шаге оценивается по норме вектора ||А||. Это позволяет при заданной величине погрешности б вести процесс интегрирования с автоматическим выбором шага (15]. Шаг выбирается таким образом, чтобы удовлетворить условию
6>IIA||.
Внешние электрические характеристики, рассчитан ные описанным методом для одномерной транзисторной структуры рис. 2.2, приведены на рис. 2.4. На этом рисун ке показаны зависимости от времени тока коллектора при включении и выключении одномерной транзистор ной структуры перепадами напряжения с различной дли тельностью фронта.
Мы рассмотрели обычную разностную аппроксима цию уравнений (2.1) —(2.7), при которой каждая прост ранственная ячейка характеризуется тремя переменны ми фр, ф„ и ф. Этому рассмотрению свойственна относи тельная простота при формировании разностной систе мы уравнений и возможность решать задачу методами теории электрических цепей с помощью автоматизиро ванных программ анализа. Основной недостаток — боль шая размерность системы разностных уравнений, рав ная 3М.
Важнейшими требованиями, предъявляемыми к про граммам анализа полупроводниковых .приборов, явля ются их экономичность по объему занимаемой памяти ЭВМ и затратам машинного времени. По этим показа телям предпочтительнее метод, в котором каждая ячей ка пространственного разбиения структуры характеризу ется только двумя переменными: концентрацией дырок/? и напряженностью электрического поля Е [16]. Метод состоит в том, что концентрация электронов п исключа ется из одномерной системы уравнений (1.4) —(1.9) с по мощью уравнения Пуассона, записанного в виде
Л (X) = p (x )+ N (х) - (е/0 (дЕ/дх). |
(2.42) |
Тогда выражение для плотности электронного тока мож но переписать
/• W = (*) Е{х) [р (*) + N (х) — ~ Щ +
(2.43)
Плотность дырочного тока является функцией перемен ных р п Е:
ip (х) = |
<7|Ар (я) рЕ — qDp (др/дх). |
(2.44) |
В результате уравнение непрерывности для Дырок |
|
|
4 г |
= - т - з г - * ю |
<2-45> |
дЕ |
(2.46) |
dt —~ (/ ip in) |
могут быть решены относительно р{х, t) и Е(х, t). Если к контактам транзисторной структуры приложены на пряжения U Q и U к, то граничные условия выглядят сле дующим образом:
Л'б
и, = - ея [п (0)] + и [а (Лй)] + J Е (л) dx, (2.47)
о
[/K= -^[№ (.vK)]4-E [//(x6) ] - j E{x)dx. |
(2.48) |
Зависимость между концентрацией электронов и хи мическим потенциалом gn в выражениях (2.47), (2.48) задается интегралом Ферми
n = Nc |
2 |
г |
у /2 dv) |
(2.49) |
Уъ |
J |
ехр — (|п/«Р7’)] |
о
Задача решается следующим образом. Пространст венный интервал 0 —хк разбивается на М подынтервал лов (рис. 2.4). Неизвестные величины р вычисляются
.в центрах ячеек, а Е —на их границах и представляют ся в виде векторов
+ ^ ) ] ’ |
<25°} |
Е = [Е (xl), Е (х,),.... Е (хм_,)]. |
(2.51) |
Значения pt=p(0) и рм = р (х к) на границах структуры определяются из условия электронейтральности на оми ческих контактах
dE/dx = (q/e) (р — п -\-N) = 0.
В соответствии с пространственным разбиением преоб разуем (2.45) и (2.46) к (2М—1) уравнениям с (2М—1)
60