книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

Отметим также, что переход от неравенства (7.48) к дифферен­ циальной постановке (с учетом зон застоя) достаточно сложен, и поэтому здесь заниматься этим не будем.

Если силы инерции пренебрежимо малы, то вариационное нера­ венство (7.48) (в котором pUibUi сх. 0) эквивалентно задаче миними­ зации функционала:

на множестве кинематически допустимых полей скоростей (напом­

ним, что в этом случае div и = 0 , v\s = g).

Доказательство последнего утверждения нетрудно получить на основании известных теорем из теории выпуклой оптимизации — нелинейного программирования, как это сделано, например, в ра­ боте [10] для деформационной теории пластичности.

Проводя рассуждения, аналогичные использованным выше, мож­ но показать, что для зависимости (7.14) квазистатические краевые

В заключение этого параграфа приведем вариационную поста­ новку задач о течении жестковязкопластического материала при граничных условиях (7.19) — (7.20), учитывающих трение движу­ щегося материала о жесткую границу (штамп, стенку). Будем пред­

поверхностных усилий, вместо уравнения возможных мощностей

которое даже при отсутствии сил инерции не сводится к задаче минимизации функционала. Предположим, что в процессе движения

ления и скольжения, граница между которыми заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения (как и истинная мгно­ венная зона контакта). Оценим плотность мощности внутренних

усилий Оцёц (би) по неравенству (7.46); мощность поверхностных усилий oNbuN оценивается следующим образом:

221

Мощность касательных усилий oT*6wt не меньше величины:

которое, как отмечалось выше, включает в себя физический закон (7.41), а также закон трения Кулона (7.19) и (7.20) (доказательство последнего утверждения достаточно громоздко — оно приведено в диссертации Кравчука А. С. — М.: МГУ, 1981 — и здесь опус­ кается).

Далее будут рассмотрены только задачи без трения; отметим, что трудности решения задач с учетом трения на границе преодоле­ ваются способами, аналогичными тем, которые изложены ниже при­ менительно к решению краевых задач теории жестковязкопластиче­ ских сред.

7.5.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Д ЛЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

а.Квазистатические задачи. Напомним, что эти задачи приво­ дятся либо к решению неравенства:

(которое при отсутствии зон застоя превращается в уравнение вида (7.38)), либо к задаче минимизации функционала

на множестве полей скоростей, удовлетворяющих условию несжима­ емости:

div v = О

и условию прилипания на Как уже отмечалось, точные решения данных задач удается по­

строить лишь в крайне редких случаях, в практически интересных задачах приходится использовать приближенные, в частности, чи­ сленные методы и ЭВМ. Одна из трудностей в использовании при­ ближенных методов заключается в необходимости удовлетворения условия несжимаемости; вторая, более существенная, обусловлена

тем, что функционал (7.56) при наличии зон застоя (ёи (и) = 0 во внутренних точках области Q) является недифференцируемым, и

222

классические прямые методы вариационного исчисления, основанные на приведении задач к системе нелинейных алгебраических уравне­ ний, здесь не работают. В настоящем параграфе будут изложены спо­ собы, позволяющие преодолеть указанные затруднения и эффективно строить решения (конечно, с применением численных методов и ЭВМ).

Рассмотрим сначала проблему, связанную с недифференцируе­ мостью функционала. Для ее решения к настоящему времени опро­ бованы методы регуляризации, двойственности и прямого поиска минимума функционала (7.56).

Метод регуляризации. В данном методе недифференцируемая часть

в области П, а разность | j (v) — je (о)) стремится к нулю при в -*-0. На практике для аппроксимации функционала (7.57) применяются следующие регуляризации:

При замене функционала (7.57) приближенным выражением (7.58) вместо неравенства (7.48) получается уравнение:

использование аппроксимации (7.59) приводит к такому уравнению:

| 1 й ( Й 1 ~ + 2 ц } м « ) Ы Й ^ = М Й - (7-ei)

Как уравнение (7.60), так и уравнение (7.61) надо решать при со­ блюдении условия (7.57).

Методы двойственности. Применительно к рассматриваемым

которое на плоскости, например, означает, что скалярное произве­

дение векторов имеет максимальное значение, когда переменный

223

ограниченный по модулю вектор р, совпадает по направлению с век­

тором /, и если | р | < 1, то максимум будет равен | f |.

Используя эту идею, заменим «нерегулярное» слагаемое следую­

в функционал (7.56), придем к следующей задаче: найти минимум по v и максимум по /п,7- функционала:

Применив теоремы о необходимых и достаточных условиях экстре­ мума функционала с ограничениями, получим следующие соотноше­ ния:

Методы прямого поиска представляют собой алгоритмы миними­ зации функций с ограничениями без использования производных; к этим методам относится метод локальных вариаций и его модифи­ кации; об этом методе будет сказано ниже, после преобразования полу­ ченных здесь задач к конечно-мерным (пространственной дискрети­ зации).

Рассмотрим теперь вопрос о методах учета условия несжимаемо­ сти (7.57), позволяющих без труда реализовать это условие на ЭВМ.

тельно, для его учета можно применить классический метод множи­ телей Лагранжа, в соответствии с которым задача минимизации функционала (7.56) с ограничением (7.57) заменяется задачей разы­ скания седловой точки функционала:

224

(минимума по v и максимума по р), где р — множитель Лагранжа, являющийся средним давлением в материале (последнее утвержде­ ние устанавливается с использованием необходимых условий ста­ ционарности функционала).

Преимущество данного метода — его простота и наглядность, недостаток — увеличение числа искомых функций на 1: например, при использовании регуляризации (7.58) вместо одного уравнения (7.60) получим систему связанных уравнений:

относительно функции и, р.

Метод штрафа (псевдовязкости). Формально алгоритм данного метода можно построить, применив метод множителей Лагранжа к задаче минимизации функционала (7.56) с условием

(div u f = 0

эквивалентным условию несжимаемости, причем дополнительно по­ требовать, чтобы соответствующий множитель Лагранжа был задан­ ным положительным числом. Если этот множитель обозначить че­ рез fc/2, то получается задача минимизации функционала:

о

которая, в свою очередь, при использовании регуляризации (7.58)

вечает некоторому фиктивному материалу (жидкости) со следующим законом поведения:

т. е. линейно вязкой жидкости Ньютона с ненулевой объемной (вто­ рой) вязкостью, чем и объясняется второе название метода (псевдо­ вязкости). Очевидно, при os Ф 0 получается некоторая нелинейно вязкая жидкость, коэффициент вязкости которой зависит от скоро­ сти деформации и параметра регуляризации е. Отметим в заключе­ нии этого пункта, что изложенный прием приближенного учета не­ сжимаемости представляет собой один из вариантов широко исполь­ зуемого в задачах нелинейной оптимизации метода штрафа.

225

Если рассматриваются плоские задачи, то, вводя функцию на­ пряжений и функцию тока — как это сделано в п. 7.2 — также из­ бавляемся от необходимости удовлетворять условию несжимаемости, однако, очевидно, и в дифференциальной и в вариационной поста­ новке задач будут фигурировать вторые производные от искомых функций, что, конечно, осложняет численное решение соответствую­ щих уравнений.

б. Динамические задачи. В динамических задачах учитываются силы инерции, следовательно, эти задачи не сводятся к минимизации функционалов типа (7.56). Если во всей области Q материал нахо­ дится в состоянии пластического течения, то, как показано выше, задачи динамики здесь приводятся к вариационному уравнению (7.38), которое для краткости перепишем следующим образом:

возникают после дискретизации по времени t, об одной из них ска­ зано ниже.

применяются различные шаговые процедуры по времени, простей­ шей из которых является схема Эйлера:

торых определяется решение. Схема Эйлера, как известно, приводит к значительному накоплению погрешности с увеличением времени t и,

226

кроме того, условно устойчива, однако она чрезвычайно проста в реализации и экономична по затратам машинного времени и памяти и до настоящего времени используется в расчетах.

На практике чаще используются стандартные программы инте­ грирования по методу Рунге — Кутта с автоматическим контролем точ­ ности, что избавляет от необходимости заранее обеспечивать устой­ чивость, хотя приводит к большим затратам времени и памяти ЭВМ.

Рассмотрим подробнее вопрос о использовании неявных разност­ ных схем на примере простейшей схемы:

неявная схема обладает тем преимуществом, что формально она сво­ дится к задаче минимизации функционала:

7» Й = j Й + J 23Г Р Й 2 dn — J-S7 р й -' dQ, (7.78)

ОQ

где J (v) определяется по формуле (7.56), элемент vn~l считается из­ вестным из предыдущего шага; сформулированное утверждение по­ лучается как следствие уже цитированных в § 7.4 теорем из теории нелинейной оптимизации и естественного предположения о том, что плотность материала р > 0.

Аналогичное утверждение справедливо и при наличии зон за­

X [ёп (о) — ёп (n)n+l]dQ — L (Ьи11-И), 6un+l = v — ип+1.

Соответствующий данному неравенству функционал совпадает с функ­ ционалом (7.78) и минимизируется на множестве полей скоростей, удовлетворяющих условию несжимаемости и условию прилипания на части поверхности Sw.

Отметим, что проблемы, связанные с несжимаемостью и с недиф­ ференцируемостью функционала (7.78), решаются при помощи спо­ собов, рассмотренных выше для случая квазистатических задач.

7.6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ЖЕСТКОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД*

Рассмотрим теперь один универсальный метод дискретизации по­ лученных выше задач, позволяющий фактически строить с помощью ЭВМ их приближенные решения. Речь пойдет о методе конечных элементов, который получил широкое распространение для решения

* Данный параграф, будучи естественным продолжением гл. 8 , излагается здесь применительно к расчету течений жестковязкопластнческих сред.

227

задач механики и вообще задач, приводимых к краевым и начально­ краевым задачам для дифференциальных уравнений. Популярность данного метода обусловлена его относительной простотой и нагляд­ ностью, нечувствительностью к форме области, коэффициентов урав­ нений и виду внешних воздействий; кроме того, к настоящему вре­ мени на базе метода конечных элементов созданы пакеты приклад­ ных программ и системы автоматизированного проектирования раз­ личных машиностроительных и строительных конструкций, что сде­ лало метод конечных элементов доступным широкому кругу пользо­ вателей, не являющихся профессиональными вычислителями. По ме­ тоду конечных элементов опубликовано большое число руководств, учебников и учебных пособий; сршлемся здесь лишь на книгу авто­ ров [10], идеи которой будут использованы ниже.

Рассмотрим для определенности задачу о плоской деформации жестковязкопластического материала; проблему недифференцируе­ мости решим с помощью метода регуляризации (7.59), проблему не­ сжимаемости — по методу штрафа (7.72), в результате придем к урав­ нению:

которое необходимо решать при условии прилипания на части гра­ ницы So в начальном условии

(которое не нужно при решении квазистатических задач). Будем

предполагать, что задана начальная конфигурация области Й, т. е. что

и построим по методу конечных элементов систему обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих уравнению (7.80) и оп­ ределяющих мгновенное поле скоростей в некоторой текущей конфи­

можем проследить область й в ее движении; для этого можно исполь­ зовать либо перестройку сетки конечных элементов, либо алгоритмы типа «крупных частиц».

Для того, чтобы иметь возможность в процессе вычислений из­ менять параметр штрафа k, аппроксимируем отдельно квадрат ин-

228