книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfСущественными являются следующие свойства фиктивных поверхностей текучести, которые могут быть строго доказаны:
а) Эта поверхность выпукла, если выпукла действитель ная поверхность текучести.
б) На поверхности появляются ребра (угловые точки), если существуют условия, при которых в результате измене ния одних лишь переменных напряжений в данном элемен тарном объеме возможна реализация более одного режима течения за цикл (независимо от того, является ли действи тельная поверхность текучести регулярной или сингулярной).
в) Между приращениями пластической деформации в пре дельном цикле (подсчитанными с учетом возможного возник новения различных режимов течения в точке тела за время цикла) и напряжениями на фиктивной поверхности текучести существуют зависимость, вытекающая из ассоциированного закона течения и по форме аналогичная ему. В простейшем случае, если действительная поверхность текучести или (и) объемлющий годограф переменных напряжений кусочно-ли нейны, это соотношение принимает вид
дфдК /.) |
(2. 2) |
М ' а 0, а — 1, 2, ••• |
(в дальнейшем применение данного соотношения основы вается на использовании критерия текучести Треска).
г) Исчезновение граней на фиктивной (кусочно-линейной) поверхности текучести, конгруэнтных граням действительной поверхности, означает, что соответствующее им распределение скоростей пластической деформации не может быть реализо вано в предельном цикле мгновенно, т. е. при каком-либо од ном значении переменных напряжений.
Введение фиктивных поверхностей текучести позволяет рас членить решение проблемы приспособляемости на два после довательных этапа: а) построение для каждой точки тела фиктивной поверхности текучести (I) и б) решение задачи предельного равновесия для тела, обладающего фиктивной пластической неоднородностью (II). Соответственно этому из меняются формулировки основных теорем [21, 22, 25]. В част
ности, для статической теоремы |
взамен ограничений (1.1), |
|
(1.2) имеем |
|
(2.3) |
ф(а°/) < 0 , |
||
aU./ + X°i = °> |
a> / = P°i> |
(2.4) |
где Х°, р° — постоянные составляющие объемных и |
поверх |
|
ностных сил, а функция <р (а°ф) = 0 определена согласно (2.1).
Аналогия с соответствующей теоремой предельного равно весия [147] здесь вполне очевидна. Однако использование фик тивных поверхностей текучести (вместо действительных) от ражает и существенную особенность задач приспособляемо сти, состоящую в том, что здесь возможны два принципиально отличающихся между собой типа предельных состояний.
Предельное состояние первого типа достигается, если хотя бы для одного из элементарных объемов тела область, ограни ченная фиктивной поверхностью текучести, вырождается в ли нию или точку. Согласно кинематической интерпретации (с использованием соотношения (2.2)), эта ситуация отвечает возникновению локального знакопеременного пластического течения, при котором приращения пластической деформации за цикл повсюду могут быть равны нулю (Ле',/и= Дц£0 = 0),
хотя в течение цикла скорости пластической деформации в от дельных элементарных объемах отличны от нуля.
Существенно, что для определения предельных значений параметров нагрузки в данном случае достаточно ограничить ся анализом изменения переменных напряжений, требуемым для построения фиктивной поверхности текучести (в каждой точке тела), т. е. по существу указанным выше первым этапом решения задач приспособляемости. Непосредственное исполь зование теорем о приспособляемости в каждой конкретной за даче в этих условиях перестает быть необходимым.
Можно доказать в общем виде, что знакопеременное тече ние обязательно возникнет, если наибольшее изменение напря жений в течение цикла (согласно критериям Треска или Мизеса) превысит в какой-либо точке тела удвоенный предел те кучести материала1). Это достаточное условие. К нему, в частности, сводятся многочисленные решения, полученные раз личными авторами с использованием как приближенных, так и строгих методов [45, 57, 83 и др.].
При многопараметрической нагрузке, когда траектория из менения напряжений не является прямолинейной, данное ус ловие в общем виде не является уже необходимым; например при трехзвенной замкнутой траектории предельное состояние (по условию знакопеременного течения) может быть достиг нуто, согласно условию текучести Треска, если наибольшее изменение напряжений в течение цикла превышает только 1,5 ат. Существенно, что для получения последнего результата (как и для анализа других случаев) достаточно рассмотреть изменение «упругих» напряжений в элементарном объеме.
В другой ситуации, при невырожденных (для всего тела) фиктивных поверхностях текучести приспособляемость воз-
Имеются в виду изотермические условия нагружения.
можна лишь тогда, когда в области допустимых значений по стоянных напряжений (т. е. внутри фиктивных поверхностей текучести) существует статически возможное распределение напряжений, уравновешенных, согласно (2.4), заданными не зависящими от времени составляющими внешних нагрузок. При нарушении условий приспособляемости в этом случае воз никает прогрессирующее разрушение (накопление односторон ней деформации с каждым циклом). Именно при этой ситуа ции проблема приспособляемости сводится к нетривиальной задаче предельного равновесия.
Отсюда, в частности, следует, что задача определения ус ловий прогрессирующего разрушения является основной в тео рии приспособляемости. Ее актуальностью для ряда областей современной техники оправдывается развитие методов дан ной теории, применение современного математического аппа рата и вычислительных средств.
Преобразование кинематической теоремы, в общем анало гичное рассмотренному преобразованию теоремы Мелана, при менительно к условиям прогрессирующего разрушения [10,
21—22] дает взамен (1.5) следующее неравенство: |
|
Х° Aui0 d v + ^ Д«<0 dS > ^ a°llt Де"0 dv, |
(2.5) |
S P
причем входящие в правую часть напряжения на фиктивной поверхности текучести определяются равенством (по существу эквивалентным (2.1))
АеГ/о = |
min £ [(<т„ - |
Де"0], = |
|
|
= |
min £ [(<xf/ - |
Де"0],. (2.6) |
Здесь k = |
1, 2, . . . , n — число режимов течения в точке тела, |
||
которые могут быть реализованы при изменении (в установ ленных пределах) действующих в ней переменных напряже
ний; min означает минимальное значение суммы произведе- k, X
ний, стоящих в квадратных скобках, достигаемое при некото ром числе (п) реализуемых режимов течения. В частном слу чае для гладкого участка фиктивной поверхности текучести (т. е. не в угловой точке) п = 1
Аналогия между неравенством (2.5) и известной форму лировкой кинематической теоремы предельного равновесия [147] вполне очевидна. Преобразованная формулировка (2.5) отчетливо иллюстрирует необходимое условие возникновения односторонней циклической неупругой деформации.
Реализация кинематически возможного механизма разру шения является общей чертой прогрессирующего и «мгновен ного» разрушения упругопластической конструкции. Особен ность первой ситуации состоит в неодновременности- возник новения состояния текучести в различных точках тела. Следо вательно, неизохронность определяющих значений переменных напряжений отвечающих, согласно (2.6), фактически
реализуемому механизму разрушения, является характерной чёртой (и необходимым условием) прогрессирующего накоп ления деформаций.
В конкретных задачах, еще до получения количественных результатов, предварительный анализ позволяет иногда уста-
Рис. 2. Предельное равновесие, P0 ^ 7 a |
TF. |
Прогрессирующее |
разрушение, |
|
PQ> 5,75<Jj.F |
(механизм «мгновенного» |
и |
прогрессирующего |
разрушений |
показан |
пунктиром). Знакопеременное течение, PQ> 9,14a TF. |
|||
новить возможность (иЛи, наоборот, невозможность) возник новения прогрессирующего разрушения. Циклическая односто ронняя деформация, например, явно невозможна в круглой свободно опертой пластине при повторных нагружениях рав номерным давлением, поскольку распределение определяющих напряжений при очевидном механизме разрушения является изохронным. Применение численной процедуры метода линей ного программирования без необходимого анализа привело к неточному выводу о том, что значения нагрузок, отвечающие «мгновенному» и прогрессирующему разрушению, в данной задаче мало отличаются друг от друга [181].
Интересно, что из указанного необходимого условия не сле дует, что при повторном однопараметрическом нагружении прогрессирующее разрушение конструкции вообще невозмож
но. Примеры, когда сформулированное условие выполняется при воздействиях, пропорциональных общему параметру, не трудно найти (не только при «смешанном» нагружении — теп ловом и механическом [10], но и при чисто механическом на гружении). Один из них иллюстрируется рис. 2. Можно заме тить, что распределение определяющих — согласно условию (2.6) — напряжений (усилий) при обозначенном механизме разрушения является неизохронным.
Преобразование статической теоремы, аналогичное рассмо тренному выше [10, И, 21, 22], в дальнейшем было предложено также авторами работы [104] в связи с применением к реше нию' задач приспособляемости методов линейного программи рования. Здесь же на основании двойственности статической и кинематической теорем была получена и известная преобра зованная формулировка кинематической теоремы (неравен ство типа (2.5)).
3. ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
ВЗАДАЧАХ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ
Включение в сферу теории приспособляемости объектов типа оболочек и пластинок связано с вопросом о возможности использования обобщенных переменных и соответствующих поверхностей текучести (взаимодействия). Не сразу было об наружено, что в условиях повторно-переменного нагружения данная проблема в общем случае не является тривиальной (даже для бруса).
Известно, что в качестве основы для введения обобщенных переменных обычно используется некоторая гипотеза о законе распределения деформаций (или напряжений) по толщине оболочки (или поперечному сечению бруса). В тех случаях, когда повторное нагружение приводит к локальному знакопе ременному течению, какие-либо основания для предположе ний относительно закона распределения пластических дефор маций отсутствуют. Вместе с тем в данной ситуации нет и не обходимости в использовании обобщенных переменных, по скольку задача определения параметров предельного цикла естественным образом решается в локальных напряжениях (в частности, по условию вырождения фиктивной поверхности текучести (2.1)).
Таким образом, применение обобщенных переменных имеет смысл лишь при определении условий прогрессирующего раз рушения оболочек и пластинок. При этом традиционное (ха рактерное для теории предельного равновесия) определение обобщенных усилий при действии переменных нагрузок допу стимо лишь в задачах, в которых неизохронность пластиче
ского течения по толщине отсутствует, либо может не учиты ваться в связи с принятыми допущениями [210—212 и др.]. Од нако в общем случае необходимо исходить из возможности (довольно характерной при механических и в особенности при тепловых воздействиях) неодновременного достижения поверх ности текучести напряжениями в точках, принадлежащих одной нормали к срединной поверхности оболочки [10, 21, 25].
Наиболее общий и строгий подход состоит в использова нии фиктивных поверхностей текучести, ограничивающих об ласти допустимых значений не зависящих от времени состав ляющих напряжений. Действуя вполне аналогично тому, как это принято в теории предельного равновесия [34, 139], из со отношения
h |
h |
|
\ < 0 . Леа0 d z = |
S СТ°аР . ( 2 Д*а0 + |
ЛеаР) d z = |
—Л |
—h |
|
|
= М0ар .Д” ар + |
ЛГаР.ДеаР («’ э = 1. 2) (3.1) |
можно определить обобщенные напряжения (усилия)
h h
*= S a°dP.Zdz’ |
N%. = Saafi.dz |
(3-2) |
- h |
- h |
|
для различных отношений обобщенных деформаций в равен стве, следующем из гипотезы Кирхгофа:
Лвар = z Лиар + Лвар. |
(3.3) |
Это позволяет построить фиктивную поверхность взаимодей ствия, ограничивающую область допустимых значений по стоянных составляющих усилий. Соответствующий пример для цилиндрической оболочки, подверженной воздействию по стоянной кольцевой нагрузки и циклически изменяющегося температурного поля, приведен в работе [21]. Для практиче ского использования здесь, как обычно, может быть приме нена кусочно-линейная аппроксимация. Существенно, что фор ма фиктивной поверхности и соответственно наиболее подхо дящая аппроксимация при этом могут изменяться по мере увеличения интенсивности переменных внешних воздействий.
Однако трудоемкость определения фиктивной поверхности взаимодействия оказывается существенно большей, чем для действительной поверхности, в связи с тем, что фиктивные по верхности текучести (2.1) для точек, расположенных на одной нормали к срединной поверхности оболочки, не только не сов падают, но и могут иметь различные очертания (число гра ней). Правда, если не учитывать возможную нереализуемость отдельных режимов течения в предельном цикле (что отра
жается исчезновением на фиктивных поверхностях текучести соответствующих граней), обнаруживается возможность су щественно более простого подхода [10, 21], хотя и менее стро гого, но в большинстве случаев приемлемого в приложениях:
М!ф. = Nafi - N(a%-
Здесь Мар, Мар — обобщенные усилия на действительной по верхности взаимодействия (определяемые в теории предель
ного равновесия [34, 139 и др.]); Мар,, Л ^ . —• обобщенные
Рис. 3. Циклическое нагружение изгибающим моментом предварительно растянутого бруса; —М ^ М ( т ) ^ М.
усилия от переменных воздействий, которые находятся из со отношения
h |
|
\ max К , (z Дкар + Леар)] dz = < > . Дха(3 + N%. ЛеаВ |
(3.5) |
—Л |
|
Приведем простой пример, иллюстрирующий определение обобщенных усилий в задачах приспособляемости. Пусть брус, изображенный на рис. 3, подвергается действию постоянной нормальной силы и переменного (изменяющегося по симме тричному циклу) изгибающего момента. Предположим, что ме ханизм разрушения состоит в увеличении с каждым циклом длины бруса (Де2 > 0 , Ди = 0). Тогда, согласно (3.5), полу чим
h |
|
|
Де2 \ шах [а (т)] dz — N{f |
Де2, |
а (т) = ± М \г ■■ (3.6) |
-н х |
|
|
Откуда |
|
|
^ = 4 |
^ - . |
(3.7) |
Таким образом, действие переменного изгибающего мо мента приводится в данных условиях к дополнительной нор мальной силе, вследствие чего брус действительно (при
определенном соотношении нагрузок) может претерпевать про грессирующую с каждым циклом деформацию растяжения1).
Нетрудно заметить, что при традиционном подходе к опре делению обобщенных усилий этот результат не мог бы быть получен, поскольку изгибающий момент «в целом» не совер шает работу на продольном перемещении.
Введение обобщенных усилий базируется на кинематиче ских представлениях и соответствующей теореме о приспособ ляемости. Формулировка статической теоремы в обобщенных усилиях в связи с этим требует формального доказательства; оно может быть проведено вполне аналогично доказательству этой теоремы в локальных напряжениях (применительно к определению условий, при которых прогрессирующее разру шение отсутствует).
Применение обобщенных переменных в теории приспособ ляемости рассматривалось с несколько иных позиций Кёнигом [150, 152, 213].
4. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Нетрудно показать, что при использовании преобразован ных формулировок теорем о приспособляемости происхожде ние переменных «упругих» напряжений а$х вообще несуще
ственно; они могут включать, в частности, и напряжения от тепловых воздействий. Накопление односторонней деформа ции является довольно характерным эффектом, наблюдаемым при теплосменах достаточной интенсивности. Оно может про являться как при наличии механических нагрузок, так и при их несущественном влиянии [10]. В последнем случае условие прогрессирующего формоизменения (2.5) принимает вид
\o °l t AB"0d v < 0 . |
(4.1) |
Возникновение прогрессирующего формоизменения тем бо лее вероятно, чем равномернее распределены по объему тела определяющие (неизохронные) напряжения сг^. Предельны
ми свойствами в данном отношении обладают температурные поля, квазистационарные по отношению к системе координат, движущейся вместе с источником тепла. Такие поля возмож ны в однородных конструкциях (пластина, цилиндрическая оболочка) при достаточной протяженности последних.)*
*) Здесь было определено усилие, к которому приводятся переменные воздействия, так, как это принято при приближенном подходе (см. (3.5)). Но отличия от строгого решения (3.1), (3.2) нет, поскольку напряженное состояние линейное.
Другим крайним случаем являются однопараметрические распределения температур: в этих условиях, как нетрудно по казать, нарушение условий приспособляемости (при неизменяющемся пределе текучести) возможно лишь в связи с воз никновением знакопеременного течения [10].
Применение теории приспособляемости к проблеме оценки несущей способности конструкции при циклическом .неизотер мическом нагружении связано с вопросом о влиянии темпера туры на физико-механические характеристики материала. Это влияние может оказаться существенным, особенно в отноше нии характеристик пластичности (предел текучести). С другой стороны, как было выяснено, температурная зависимость пре дела текучести отражается на условиях приспособляемости; в некоторых случаях (при отсутствии механической нагрузки) ею может быть определена сама возможность возникновения эффекта прогрессирующего накопления деформаций [10].
Принципиальная возможность учета указанной зависимо сти в теоремах о приспособляемости может быть обоснована при использовании представления о поверхности текучести, определяемой параметром, зависящим от фактической темпе ратуры в точке тела, и предположения о том, что свойства вы пуклости этой поверхности и ортогональности к ней вектора скорости пластической деформации сохраняются. Заметим, что в преобразованные формулировки теорем (разд. 2) темпе ратурная зависимость предела текучести может быть введена наиболее естественным образом.
Температурное изменение предела текучести учитывалось при анализе приспособляемости в целом ряде исследований, в том числе в работах [84, 89, 175 и др.] зарубежных авторов.
Влияние температурной зависимостиупругих характери стик (модуля упругости) в задаче о приспособляемости изу чалось Кёнигом [151, 154]. В связи с тем, что при изменяющем ся (во времени и по объему) модуле упругости остаточные напряжения в состоянии приспособляемости становятся пере менными, автором цитированных работ была предложена соот ветственно измененная формулировка статической теоремы:
Конструкция приспособится, если можно найти такое рас пределение не изменяющейся во времени пластической де формации, для которого
/ Ы < о. |
(4.2) |
Здесь напряжения оц должны удовлетворять условиям
ач .1 “Ь = |
aunf = Pt> |
(4.3) |
ЁИ"Ь гИ= |
V2(ui, I "Ь и/, {)> |
(4.4) |
|
|
(4.5) |
где е" — не зависящая от времени пластическая деформация,
t — температура.
Следует отметить значительные трудности, возникающие при реализации теоремы (4.2) —(4.5) применительно к кон кретным задачам. Авторам обзора представляется более удобной альтернативная формулировка:
Конструкция приспособится, если можно найти такое ста тически возможное распределение остаточных напряжений
в некоторый момент времени цикла, принимаемый за началь ный (т = 0), при котором суммарные (остаточные и от внеш них воздействий) напряжения, вычисленные в предположении идеальной упругости материала, образуют безопасное напря женное состояние во всех точках тела и во все моменты вре мени цикла.
Переменность модуля упругости (при неизменяющейся пластической деформации) отражается в данной формули ровке соответствующим изменением «упругих» напряжений, уравновешивающих заданную нагрузку, и некоторыми прира щениями самоуравновешенных напряжений Ар//, которые к концу цикла (т = Т) снова принимают нулевые значения. От сюда на основании двойственности соответствующих задач ли нейного программирования следует также формулировка ки нематической теоремы (она не приводится здесь ввиду ограни ченности объема статьи).
Заметим, что интерес к данной постановке задачи о при способляемости определяется еще и тем, что с аналогичной си туацией (в смысле изменения самоуравновешенных напряже ний при постоянных пластических деформациях) приходится сталкиваться также при анализе влияния геометрических эф фектов в условиях циклического нагружения. Что касается практического значения, то Кёниг [154] на основании несколь ких выполненных им примеров отмечает, что поправки, вноси мые при учете температурной зависимости упругих характери стик, малосущественны.
Результаты экспериментальных исследований основных за кономерностей прогрессирующего накопления односторонних деформаций в условиях теплосмен, проводившихся на стерж невых системах, приведены в работах [10, 86, 89, 144, 215, 216]. Они показали удовлетворительное соответствие с расчетом.
5. ПОЛЗУЧЕСТЬ
Если фактические температуры достаточно высоки, наряду с изменением характеристик кратковременного деформирова ния существенное значение приобретают временные свойства металлических сплавов. Следует заметить, что закономерно