книги / Основы научных исследований

дели граничным условиям, вытекающим из смысла за­ дачи, При этом проверяется, действительно ли гранич­ ные условия поставлены и учтены при построении иско­ мой функции и что эта функция на самом деле удовлет­ воряет таким условиям.

К о н т р о л ь м а т е м а т и ч е с к о й з а м к н у т о с т и

в рамках имеющихся данных о реальном объекте не при­ ведет к существенному изменению решения.

6.3. Аналитические методы

Вторым этапом решения практических задач математи­ ческими методами является выбор метода исследования модели. Выбор метода исследования математической модели непосредственно связан с такими понятиями, как внешнее и внутреннее правдоподобие исследования.

Под внешним правдоподобием исследования понима­ ется ожидаемая степень адекватности математической модели реальному объекту по интересующим исследо­ вателя свойствам.

Под внутренним правдоподобием исследования по­ нимается ожидаемая степень точности решения получен­ ных уравнений, которые приняты за математическую мо­ дель объекта.

Если вид модели уже выбран, то внешнее правдопо­ добие модели считается фиксированным и выбор мето­ да исследования будет целиком определяться необходи­ мой степенью внутреннего правдоподобия.

В подавляющем большинстве случаев при выборе метода исследования руководствуются принципом соот­ ветствия внешнего и внутреннего правдоподобия, ана­ логичным известному правилу приближенных вычисле­ ний: степень точности вычислений должна соответство­ вать степени точности исходных данных. Однако в зави­ симости от условий и задач исследования возможны от­ клонения от принципа. Перечислим некоторые из них:

161

1) если речь идет о разработке нового единого мето­ да исследований, который предполагается применять к широкому, заранее не фиксированному, классу моде­ лей, то, нужно стремиться к максимальному внутренне­ му правдоподобию исследования независимо от уровня внешнего правдоподобия;

2)если осуществляется проверка внешнего правдо­ подобия модели, то внутреннее правдоподобие избран­ ного метода проверки должно быть максимальным;

3)если модель настолько проста, что для нее легко получить точное решение, то искусственно понижать строгость решения бессмысленно.

Вдругих случаях предпочтение отдается «принципу равного правдоподобия».

Выбор метода исследования тем эффективнее, чем

больше имеется сведений о конечном решении задачи. Такие сведения могут быть получены путем прикидочных исследований модели или ее элементов.

В процессе прикидочных исследований осуществля­ ется сравнение величин отдельных членов уравнений в изучаемом диапазоне изменения переменных и пара­ метров задачи. Относительно малые слагаемые отбра­ сываются, нелинейные зависимости заменяются на ли­ нейные. Некоторые из компонентов модели аппроксими­ руются грубыми уравнениями. Все это позволяет быстро получить грубое решение задачи.

Знание, хотя бы самое грубое, качественных и коли­ чественных характеристик искомого решения помогает при выборе точности метода исследования. Иногда да­ же грубое решение оказывается достаточным. В качест­ ве примера можно привести задачу о поиске экспери­ ментального значения функции. Если точка экстремума является стационарной, то даже грубая ошибка в ее отыскании мало скажется на подсчете этого значения. Поэтому применение высокоточных методов поиска та­ кого экстремума нерационально. Громоздкие точные вы­ числения в этом случае создают лишь иллюзию точнос­ ти. В случае применения грубой математической моде­ ли не следует применять громоздкие вычислительные методы.

Выбор, метода исследования математической модели во многом предопределен ее видом.

Статические системы, представленные при помощи алгебраических уравнений, исследуются с помощью оп­ ределителей, метода итераций, методов Крамера и Гау-

162

обозначения

У = 2,; dy_

At

преобразуем исходное дифференциальное уравнение

всистему уравнений первого порядка:

=*2;

Z2= — (O2ZI;

при начальных условиях

Zi (0) = у0, г2 (0) = у0.

Частное решение имеет вид

zt = у0cos at + Уо sin at;

0)

z2 = — у0а sin at + y0cos at.

Из полученной системы урав­ нений для Z\ и г2, исключая t, имеем

Последнее уравнение описывает эллипс на плоскости ziz2. Следовательно, частное решение для z\ и z2 выра­ жается зависимостью от времени текущих координат точки M(t), которая начинает свое движение в момент

/= 0 от точки М0(уо,Уо) и движется по эллипсу (рис. 6.6). Точка М(() называется изображающей точкой. Тра­

ектория такой точки называется фазовой траекторией. Изменяя начальные условия, можно получить семей­

ство фазовых траекторий, которое называется фазовым портретом, а плоскость ZiZ2, на которой расположено это семейство, — фазовой плоскостью.

164

В строительстве ряд задач исследуется с помощью интегральных уравнений, содержащих искомую функцию ф(«) под знаком интеграла:

Интегральное уравнение является решением дифферен­

Это позволяет сводить решение дифференциальных уравнений к решению интегральных и наоборот.

Многие задачи исследуются с помощью вариационно­ го исчисления. Чтобы сформулировать задачу вариаци­ онного исчисления, вводят понятие функционала. Име­ ем плоскую кривую y=f(x) с областью определения xo^x^xi (рис. 6.7). Нетрудно видеть, что длина кри­ вой Si, площадь р криволинейной трапеции, объем тела вращения v зависят от вида заданной кривой y=f(x)

165

Таким образом, функция y = f ( x ) однозначно опреде­ ляет величины Si, Р-, v, т.е. она играет роль своеобразно­ го «аргумента».

В этом случае величины Si, р, v называют функцио­ налами относительно функции y — f(x).

Суть задачи вариационного исчисления состоит в том, что если задан функционал F (у') в области JCO^ -^ .V I. TO требуется найти такую функцию y=f{x) в заданной об­ ласти определения функционала F(y'), при которой этот функционал принимает минимальное или максимальное значение.

При исследовании процессов методами вариационно­ го исчисления находят такие закономерности, при кото­ рых их развитие энергетически наиболее экономно. Очень часто они описываются экспоненциальными функциями, удовлетворяющими принципам вариационного исчисле­ ния.

При теоретических исследованиях широко использу­ ется теория функций комплексной переменной. В основе этой теориилежит положение о комфорном преобразо­ вании, согласно которому две пересекающиеся кривые z\Zi и ziz3 из области z всегда можно перенести в об­ ласть со соответственно кривым оцсог и а>2 <оз. сохраняя равенство углов между кривыми и в каждой паре. Это позволяет изменить координаты таким образом, чтобы упростить громоздкие математические преобразования.

Рассмотренные аналитические методы, как правило, позволяют успешно решать лишь относительно простые задачи. В то же время все чаще возникает необходимость использования сложных дифференциальных уравнений или их систем со сло&ными начальными и граничными условиями (часто нелинейными). Их решение весьма сложно или неизвестно, в этих случаях прибегают к тем или иным приближенным вычислениям с помощью чис­ ленных методов.

Идея численных методов (Методы конечных разнос­ тей или сеток) заключается в следующем:

1.В плоской области G, в которой разыскивается ре­ шение, строится сеточная область G/,, состоящая из оди­ наковых ячеек (рис. 6.8) и приближающаяся к облас­ ти G.

2.Заданное дифференциальное уравнение заменяется

вузлах построенной сетки соответствующим конечно­ разностным уравнением.

3.На основании граничных условий устанавливают­

166

ся значения искомого решения в граничных узлах облас­ ти G/,.

Решив полученную систему конечно-разностных урав­ нений (для чего необходимо решить алгебраическую си­ стему с большим числом неизвестных), найдем значения

гДе р — плотность бетонной смеси; t — время; х, у — де­ картовы координаты; vx — составляющая скорости бе­ тонной смеси вдоль направления распространения коле­ баний; Е — модуль упругости; I — смещение элемента бетонной смеси; т) — коэффициент динамической вязко­

сти.

Первый член в правой части уравнения, описываю­ щего процесс виброформования, представляет собой уп­ ругую составляющую среды, а второй — вязкую.

Решение полученного уравнения аналитическими ме­ тодами является чрезвычайно сложным и обычно в лите­ ратуре не приводится. Для практического использования оно может быть решено с использованием ЭЦВМ, для чего его необходимо представить в конечно-разностном (безразмерном) виде. Для этого введем следующие обо­

167

значения:

и = /Ми, W = vJAv,

d x = d y = cd<,

где с — скорость распространения колебаний в бетонной смеси; Л<в— амплитуда колебаний.

Тогда математическая модель процесса виброформо­ вания бетонной массы выразится уравнением

При численном интегрировании на ЭЦВМ это урав­ нение представляют в разностном виде, для чего произ­ водные заменяются конечно-разностными отношениями.

где fi+i, ft, ft-i — значения функции f в узлах интегриро­ вания соответственно.

Значение функции в данном нулевом узле через шаг

интегрирования по времени 6/ обозначается через Wo*, где Wо— значение функции в нулевом узле в данный момент времени. С учетом принятых обозначений мо­ дель виброформования бетонной массы примет вид

168

тематических задач является основным методом совре­ менного научного исследования. Однако громоздкость моделей и прямых методов решения уравнений затрудня­ ет получение конечных решений. Поэтому в решении практических задач (особенно управленческих) нашли

гг

■Сжатие Растяжение

Рис. 6.9. Распределение кривых ровного значения ди­ намического давления в модели формы с бетонной сме­ сью при верхней свободной поверхности.

Ф а з о в ы й у г о л с с - 0 ° , ч а с т о т а к о л е б а н и й 2 0 Г ц , а м п л и т у д а — 3 , 6 м м ; / — а — 2 , 0 М П а ; I — 0 = 1 0 М П а ; 3 — о - 0 , 3 М П а ; 4 —

O - 0 . 1 М П а

широкое применение методы преобразования исходных уравнений (логарифмирование, преобразований Лапласа, Фурье и т. д.).

Логарифмирование уравнений является простейшим способом преобразований.

Пусть нам необходимо получить решение простейше­ го уравнения

У = аол,

которое называется оригиналом функции.

Возведение числа а в степень 0,2 прямыми методами затруднительно. Поэтому осуществляется преобразова­ ние данного уравнения при помощи логарифмирования

log у = 0,2 logo

—это уравнение называется изображением функций При логарифмировании функция переводится из про­

странства оригиналов в пространство изображений и опе­ рация возведения в степень сводится к умножению чи­ сел 0,2 и logo, что не встречает никаких затруднений.

170