книги / Основы метода конечных элементов

где 0 — наименьшее из минимальных собственных чисел элементар­ ных матриц масс.

Таким образом,

Amin (М ) = Ш1П------=----- ^ 0

(О7(0

и согласно (11.84)

К \ Л К )Ж (L )0.

Суммируя результаты, можно привести следующую оценку числа

обусловленности матрицы К системы уравнений МКЭ для любого типа элементов:

где С — некоторая положительная константа, зависящая от коэффи­ циентов k(x) и q(x)t А — максимальное собственное число из всех соб­

(L) — минимальное (первое) собственное число дифференциальной задачи, не зависящее от дискретизации, 0 — минимальное собствен­ ное число из всех собственных чисел N элементарных матриц масс

конкретных типов элементов. Рассмотрим вначале случай использо­

Непосредственными вычислениями нетрудно убедиться, что здесь

при достаточно малом значении h = min ht i

Л ^ " Г + “Г + P’ 9 = 1 Г '

т. е. Я = О (-1-).

а

-4 2 — 1 -

Поскольку абсолютные значения собственных чисел матрицы не превосходят любую из норм этой матрицы, то

Следовательно, согласно (11.86), (11.87) при достаточно малых

Так как матрица Л4, — положительно определенная при любом зна­ чении Н( Ф 0 , то ее минимальное собственное число

ah,

^min {М() = 20 »

где а > О — минимальное собственное число матрицы

нетрудно убедиться, что в данном случае при достаточно малом значе­ нии h

^ ^ 0 ( 5Л ) ’ 0 — 0 ( 420 ) ’ a i > °»

н =

Однако необходимо отметить, что и при использовании элемента Эрмита «13—2» решаемую систему линейных алгебраических уравне­ ний легко преобразовать таким образом, чтобы число обусловленности матрицы преобразованной системы по-прежнему имело порядок 1/Л2.

Для этого достаточно «масштабировать» матрицу системы (11.76) следующим способом:

К = П/Ш,

Такое «масштабирование» равносильно тому, что на каждом элементе вектор фиксируемых параметров имеет вид (ср. с (11.47), (11.48))

а элементарные матрицы жесткости и масс принимают вид

К\ = S~TR)S~\ М, = S- TR°CS~1.

В случае постоянных коэффициентов (ср. с п. 3 параграфа II.2):

в квадратурных формулах Гаусса и разрядность ЭВМ МИР-2) оста­ ются неизменными: четыре квадратурных узла на каждом элементе 1х(- 1, xt]y i = 1, 2, N\ N = 4, 8 , 16; разрядность R = 8 . Соответ­ ствующие значения полученных приближенных решений представле­ ны в табл. 5. Обозначения такие же, как в табл. 1, и, кроме того, лг — число квадратурных узлов на каждом элементе, пг = 4, t — время получения приближенного решения на ЭВМ МИР-2. Приведенные ре­ зультаты свидетельствуют о повышении точности приближенного ре­ шения с измельчением сетки, причем асимптотический порядок схо­ димости согласуется с предсказанным теоретическим — О (ft2) (см.

что обеспечивает поточечную сходимость Л2.

В табл. 6 приведены значения приближенных решений, получен­ ные на тех же сетках, что и в табл. 5, но при использовании квадра­ турных формул Гаусса с одним узлом на каждом элементе R = 8 . В этой же таблице даны значения числа обусловленности H(N) матрицы

системы уравнений МКЭ. (Время t указано без вычисления Нт). Нетрудно убедиться, что и в данном случае (/ir = 1) асимптотический порядок сходимости приближенных решений остался прежним — О (/г2) : в частности, в узловых точках сетки выполняется соотношение

Сравнение временных затрат на получение приближенных решений при использовании различных квадратурных формул (см. данные табл. 5 и 6) показывает, что можно обеспечить требуемую точность искомого решения за меньшее время ЭВМ, если применять квадратур­ ные формулы с минимально необходимым числом узлов, но на более мелких сетках. Однако это возможно лишь при условии достаточного объема оперативной памяти ЭВМ.

с этим рассмотрим сейчас построение некоторых видов базисных функ­ ций и установим их связь с допустимыми функциями, используемыми в предыдущих параграфах при описании варианта метода Ритца.

1.Кусочно-линейные базисные функции. Предположим, что иско­

мое решение некоторой краевой задачи принадлежит пространству

(0 , /)» т. е. является непрерывной функцией на интервале (О, /) и имеет суммируемые с квадратом первые производные. Пусть при­

точно построить систему базисных функций (ф^ (х)} следующим об­ разом.

Разобьем отрезок [0, /] определения искомого решения на N эле­ ментарных отрезков [xi-u х(], i — 1 ч- N, х0 = 0 , XN = I. Определим базисную функцию ф^ (х) на всем отрезке [О, Л как кусочно-линейный полином, удовлетворяющий следующим условиям:

Очевидно, что ф^ (х) на элементарных отрезках [х<_ь х,1 и [х(, Xj+il представляет собой отрезки линейных интерполяционных поли­ номов Лагранжа, построенных по заданным значениям, т. е.

он состоит из двух элементов с общим узлом в точке х(. Заметим, что

Очевидно, что построенные базисные функции ф* (х) (рис. 19) не­ прерывны на [О, I] и имеют разрывные первые производные, интегри-

руемые с квадратом. Иными словами, использование их обеспечит для

п

приближенного решения vN(х) = £ с,фЛ (х) принадлежность простран­

ству W\ (0 , [).

Построенная система базисных функций обладает свойством, ко­

В силу построения базисных функций (11.94) числовые коэффи­

Действительно, на основании соглашения об определении допусти­

hl

что подтверждает представление (11.95).