книги / Теплофизика в металлургии

первого рода (а=°°). Решении задачи методом сеток дает систему урав­ нений с граничными условиями

=; S n+, = s n

При числе разбиений N = 4, граничных условиях 5„=100,5П=200 система имеет следующее решение: 5^=125,5'3=150,54=175. Запишем эту систему в векторно-матричной форме:

, + з ( 1- " - )

Неизвестные с номерами, кратными 2, но не кратными 4, определяются из уравнений

где A=l, 2,....

Из уравнения (10.127) следует, что после (n-l)-ro шага исключения остается одно уравнение для S 2._, = S N/2 с известной правой частью:

D ^ ' S j = F . ("_l) + 5 0 + j = 2n-' (10.130)

Объединяя его с группой уравнений (10.128), получим последова­ тельность уравнений

которая в совокупности с уравнениями (10.129) описывает метод полной редукции. Сначала по формулам (10.129) преобразуются правые части, а из уравнений (10.131) находится решение исходной задачи (10.120).

Графическая иллюстрация описанного алгоритма для N=8 представле­ на на рис. 10.11. Сначала показана последовательность вычисления правых

частей F jk\ причем в заштрихованных квадратах информация запоминает­

ся для последующего использования. На обратном ходе (рис. 10.11,6) по найденным правым частям и граничным условиям последовательно вычис­ ляются значения искомого параметра во всех узловых точках, обозначен­ ных окружностями.

F ® r -

F 0> -

F f -

b

ь

m

Рис. 10.11. Геометрическая интерпретация прямого ( а)

и обратного ( б) ходов метода полной редукции

Поскольку в Фортране цикл начинается с 1, то перейдем от индексаj к первоначальному индексу / и запишем алгоритм полной редукции:

£)(*) = [£,(*-')]2 _ 2у

который реализуется в программе: SUBROUTINE RED (D,F) DIMENSION F(101) COMMON NM, S(101)

N = 2**NM N1=N+1

NM1=NM-1

DO 1 K = 1,NM1 Ю=2**К

11= 10+1

I2=N 1 -10

D=D**2-2.

DO 1 1=11,12,10

1F(I)=F(I-I0+2)+D*F(I)+F(I+I0-2) DO 2 K=l, NM

KK=NM-K+1 I0=2**(KK-1) *2 11=1+10/2

I2=N 1-10/2

DO 2 1=11,12,10

2S(I)=(F(I)+S(I-I0/2)+ S(I+I0/2))/D RETURN

END

В качестве примера приведем решение методом редукции одномер­ ной тестовой задачи о температурном поле плоского слоя. Постановка конечноразностной краевой задачи имеет вид

Получили искомое линейное распределение искомого параметра. Метод редукции позволяет уменьшить по сравнению с методом про­

гонки число арифметических действий для нахождения решения задачи. Существенным преимуществом редукции является то, что она дает меньшие ошибки округления при обращении матриц высокого порядка, чем прогонка.

10.12. Метод последовательной линейной верхней релаксации

Наряду с прямыми методами для решения сеточных уравнений при­ меняются итерационные методы, дающие решения в виде предела после­ довательности однообразных итераций. Основное их преимущество пе­ ред прямыми методами заключается в самокорректирующемся решении, дающем минимальные ошибки округления. Привлекает в них и простота вычислительного алгоритма.

Рассмотрим один из эффективных итерационных методов - метод по­ следовательной линейной верхней релаксации, итерационная процедура которого применительно к разностному уравнению (10.100) имеет вид

/ = 2,3,..., N, (10.134)

О

где q - номер итерации; у - параметр релаксации. При у = 1 получаем про­ цесс последовательных смещений, или процесс Зейделя. Введение пара­ метра верхней релаксации 1 < у < 2 позволяет ускорить сходимость ите­ рационного процесса (10.134), причем наибольшая скорость сходимости имеет место при оптимальном значении параметра релаксации у = уопт. Последнее зависит от порядка системы и может быть вычислено через число разбиений расчетной области,

Эта формула применима для одномерной области с регулярной сеткой. Расчет по формуле (10.134) с учетом (10.135) продолжается до тех пор, пока искомое решение не будет удовлетворять требуемой точности,

— (10.136)

S 4

где s s - требуемая точность. С использованием обозначений: IT - теку­ щий номер итерации q; МАХ - максимальное число итераций; EPS - тре­ буемая точность; GAMMA - оптимальный параметр релаксации; PI - число л; D - ячейка с максимальной относительной погрешностью запи­ шем Фортран-программу, реализующую итерационный алгоритм:

SUBROUTINE POLE (А, В, С, F)

DIMENSION F(101)

COMMON S(101), N, MAX, EPS, PI

SI=SIN(PI/2/N)

GAMMA=2./( 1 .+SQRT(SI*(2.-SI)))

G l=l.-G A M M A

IT=1

1D=0

DO 21=2, N

SS=GAMMA/B*(F(I)-A*S(I-1)-C*S(I+1))-KJ 1*S(I) R=ABS (1-S(I)/SS)

IF (R.GT.D) D=R

2S(I)=SS

IF (D.LE.EPS) GO TO 3

IT=IT+1

IF (IT.GT.MAX) GO TO 3

GOTO 1

3RETURN END

Вкачестве теста для контроля итерационного процесса рассмотрим систему уравнений с граничными условиями

+S | —О,

^1 = » ^ЛГ+1 = 5 , -

При числе разбиений N=4, граничных условиях 5'n=200, S„=100 и у=1 результаты первых итераций представлены в нижеследующей табл. 10.1

составляет 3,7 %, это далеко от требуемой точности, которую выбирают в пределах е^ =-5 • 10-3 - 1-1(Г4, поэтому итерационный процесс необходи­ мо продолжить.

10.13. Алгоритм решения сопряженных уравнений конвективного теплообмена

Рассмотрим в общих чертах процедуру решения сопряженной зада­ чи конвективного теплообмена. Для конкретности опишем вычисли­ тельный цикл на примере нестационарных уравнений со-ц/-/- системы (рис. 10.12).

Исследуемая область покрывается конечно-разностной сеткой, в уз­ лах которой определяется решение. Процедура счета начинается с зада­ ния начальных условий для функций со, у, t, причем для нахождения ста­ ционарного решения вид начальных условий несущественен.

Далее для некоторого приращения по времени Ат вычисляются за­ вихренность и температура во внутренних узлах сетки с помощью конеч­ но-разностных аналогов соответствующих уравнений переноса. Затем решается конечно-разностный аналог уравнения Пуассона для функции тока, в котором используются новые значения завихренности, вычислен­ ные во внутренних узловых точках. Отметим, что решение уравнения Пуассона включает в себя итерации, которые называются внутренними. В процессе внутренних итераций завихренность не изменяется. После выхода из внутренних итераций по наперед заданной точности вычисля­ ются компоненты скорости.

Следующий шаг вычислительного цикла связан с уточнением гранич­ ных условий для завихренности и температуры. При этом используются новые (уже вычисленные) значения со, у, t во внутренних приграничных точках области. Расчет oo-\|/-f- системы с уточнением граничных условий повторяют до достижения наперед заданной точности. Одновременно Мо­ гут уточняться неоднородные свойства, например, вязкость, температуро­ проводность и др. Эти повторения называются внешними итерациями (в отличие от внутренних итераций для уравнения Пуассона).