книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

выражения для плотности нормального распределения вероятности Гаусса [56]. В этом случае применительно к скорости изменения степени стеклования можно записать

где индекс «G » отмечает выбор гауссовского закона распределения. Дисперсия γ определяется через длину интервала стеклования по

формуле γG (Tg1 − Tg2 )6 , а в качестве математического ожидания выступает температура стеклования Tg . В общем случае Tg следует

принимать зависящей от скорости изменения температуры T , что хорошо известно из эксперимента [31, 38]. Знак «минус» указывает на увеличение степени стеклования N(T) при охлаждении. Степень стеклования, соответствующая температуре T (t ), будет определять-

ся интегрированием выражения для скорости стеклования:

Следует отметить неудобство использования формулы (2.7) при выполнении аналитических преобразований.

В качестве другой модели симметричной зависимости степени стеклования от температуры можно применить распределение Лапласа [56]

где γL – параметр, определяющий ширину интервала стеклования.

51

Формула (2.8), в отличие от (2.7), позволяет вычислять степень стеклования аналитически.

Из анализа экспериментальных термомеханических кривых для конкретных полимерных материалов (см. разд. 2.4) следует, что распределение N(T) может обладать явно выраженной асимметрией относительно условного центра интервала стеклования – температуры Tg . Поэтому более точную, по сравнению с (2.7, 2.8), аппрок-

симацию N(T) можно получить, используя несимметричные законы распределения вероятности, например, трехпараметрическое распределение Вейбулла [56].

Для применения соотношений (2.5) к конкретным материалам требуется определение температурной зависимости модулей упругости E1 и E2 , коэффициента температурного расширения α и кон-

стант кинетики стеклования, состав которых определяется выбором вида «кинетического» уравнения (2.7–2.9). Методика экспериментальной идентификации указанных величин приведена в разделе 2.5.

2.4. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

ПРОСТЕЙШИХ РЕЖИМОВ ОДНООСНОГО

ТЕРМОСИЛОВОГО НАГРУЖЕНИЯ

На примере одноосного напряженного состояния, не учитывая для простоты температурные деформации и зависимость модулей упругости от температуры, покажем, что соотношение (2.6) позволяет качественно верно описать закономерности деформирования полимерного материала в различных режимах термосилового нагружения в условиях релаксационного перехода. Будем также для простоты предполагать, что в рамках одного процесса охлаждение и нагрев производятся с одинаковыми постоянными скоростями.

52

Рассмотрим сначала процесс со следующими характерными состояниями (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Температурная зависимость деформации образца при нагружении на этапе нагрева

1. Пусть образец находится при температуре T1 > Tg2 в нена-

пряженном состоянии σ1 = 0. Тогда соотношение (2.6) примет вид

(N1 = 0)

σ1 = E1ε1 = 0.

Следовательно, ε1 = 0 .

2. Пусть далее произведено охлаждение образца из состояния 1 в состояние 2, причем нагрузка по-прежнему отсутствует (σ2 = 0), а температура T2 стала меньше Tg1 , т.е. N2 = 1. Поскольку темпера-

турные деформации не учитываются, а напряжения в любой момент времени при переходе из состояния 1 в состояние 2 отсутствуют, очевидно, что решением уравнения (2.6) в этих условиях будет

53

в подынтегральное выражение в уравнении (2.6), в данных условиях равна нулю ε* (t ) = 0, (t1 ≤ t ≤ t2 ).

3. При постоянной температуре T = T2 происходит нагружение образца напряжением σ0 , которое до момента времени t6 будет поддерживаться постоянным. Тогда состоянию 3 соответствует σ3 = σ0 , N3 = 1 и из соотношения (2.6) следует:

σ3 = σ0 = (E1 + E2 )ε3 ,

ε3 = E1 σ+0 E2 .

4.Происходит нагрев образца до температуры T6 = T1 > Tg2 при

деформация увеличивается от величины ε4 до величины ε5 = σ0 E1 . На участке 5–6 степень стеклования N = 0 и деформация не изменя-

ется (ε5 = ε6 = σ0 ).

E1

5.Снятие нагрузки приводит к переводу образца из состояния 6

всостояние 1 (σ1 = 0, ε1 = 0), поскольку N6 = N1 = 0 и ε* (t ) = 0.

Рассмотренный пример иллюстрирует значительное увеличение деформаций в процессе нагрева при постоянной нагрузке вследствие размягчения (расстекловывания) материала. Данный эффект вызван релаксационным переходом от состояния с относительно очень

54

большими характерными временами релаксации (значительно больше характерных времен протекания процесса 1–2–3–4) к состоянию с относительно малыми характерными временами релаксации (значительно меньше характерных времен процессов 1–2 и 5–6–1).

Опишем поведение образца в другом процессе (рис. 2.4).

1. Образец находится в состоянии 1 при температуре T1 > Tg2 в ненапряженном инедеформированном состоянии (σ1 = 0, ε1 = 0 , N1 = 0).

2.Пусть произведено нагружение образца постоянным напряжением σ2 = σ0 . Тогда, в соответствии с уравнением (2.6), в состоянии 2

ε2 = σ0 E1 .

3.Осуществляется процесс охлаждения образца под приложенной нагрузкой до температуры T3 < Tg1 , так что в процессе 2–3

σ(t ) = σ0 , ε(t ) = ε2 = ε3 , (t2 ≤ t ≤ t3 ).

Рис. 2.4. Температурная зависимость деформации образца при нагружении на этапе охлаждения

Для доказательства последнего утверждения запишем соотношение (2.6) в виде

55

σ(T ) = ε(T )E1 + E2 T [ε(T (t)) – ε(T (τ))]dN (T (τ))

T1

ивозьмем производную по температуре

σ'T = ε'T E1 + E2 (ε'T N + N 'T ε − N 'T ε) = ε'T (E1 + E2 N ),

откуда

Напряжение на данном этапе не меняется, поэтому постоянной остается и деформация: ε'T = 0, ε(T ) = const = ε2 = ε3 .

4. Переведем образец в состояние 4 при постоянной температуре T3 = T4 < Tg1 (отметим, что N3 = N4 = 1), снимая приложенное напря-

жение σ0 . Тогда уравнение (2.6) для условий состояния 4 примет вид

σ4 = 0 = E1ε4 + E2ε4 − E2 1 ε*dN . 0

Но в процессе 2–3 «замороженная» при охлаждении деформация ε* (t ) = ε2 = σ0 E1 , так как в течение всего времени стеклования

( N изменялось от 0 до 1) деформация поддерживалась постоянной. Тогда имеем

56

упругой деформации застеклованного материала с модулем E1 + E2 при действии напряжения σ0 .

Деформацию ε4 можно называть «замороженной» при охлаждении из состояния 2 в состояние 3. Она сохраняется в образце при отсутствии внешних сил.

5. Производится нагрев ненагруженного образца из состояния 4 через состояния 5 и 6 в конечное состояние 1, в котором σ1 = 0,

Принимая во внимание характер зависимости N(T), можно записать величины деформаций в различных состояниях по процессу

4–5–6–1 как

ε5 = ε4 , ε6 = ε1 = 0 .

Изложенное выше можно обобщить в виде следующей программы модельного термомеханического эксперимента:

Этап 1. При температуре T1 > Tg2 образец нагружается напряже-

нием σ = σ1 .

Этап 2. Производится охлаждение с постоянной скоростью и напряжением до T2 < Tg1 .

Этап 3. Разгрузка (догрузка) при T = T2 до напряжения σ = σ2 . Этап 4. Нагрев с постоянной скоростью и напряжением до T = T1.

57

На рис. 2.5, а показана деформация, рассчитанная по приведенным формулам, со следующими параметрами, качественно соответствующими программе установочного эксперимента из раздела 2.5.3:

σ1 = 0; σ2 = –0,5 106 Па; Tg = 80 °С; γ = 4 °С;

T1 = 140 °С; T2 = 20 °С; E1 = 100 МПа; E2 = 500 МПа;

Рис. 2.5, б иллюстрирует аналогичный результат для проверочного эксперимента: σ1 = –0,5 МПа; σ2 = 0.

58

риментальных термомеханических кривых получены все параметры уравнений (2.5), (2.8), (2.9). Достоверность модели подтверждается достаточно хорошим количественным описанием экспериментальных результатов в сложных режимах термосилового нагружения.

2.5.1. Описание прибора для измерения переходных процессов в полимерах

При исследовании процесса стеклования полимеров использовалась установка УИП-70М (рис. 2.6, 2.7).

Машина предназначена для изучения полимеров термомеханическим методом с целью определения температур структурного стеклования и вязкотекучего состояния в диапазоне температур от –150 до 400 °С, а также исследования процесса развития деформации одноосногосжатияполимероввовремениприразличныхтемпературах.

Установка обеспечивает автоматическое измерение деформаций и перемещений, возникающих при одноосном сжатии полимерного образца под действием различных фиксированных нагрузок и температур.

Рис. 2.6. Испытательная машина УИП-70М: а – общий вид; б – рабочий узел со снятой оболочкой термокамеры

60