книги / Общие вопросы теории граничных задач

22.16 Д 26

УДК 517

Д е з и н А. А. Общие вопросы теории граничных задач.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

Книга посвящена актуальной проблеме описания граничных задач для общих дифференциальных операторов, безотносительно к их типу в классическом смысле. Под граничной задачей пони­ мается система условий, определяющих сужение так называемого максимального дифференциального оператора, порождаемого об­ щей дифференциальной операцией в конечной области евклидова пространства. Это сужение должно одновременно быть расширением минимального оператора и обеспечивать однозначную разреши­ мость соответствующего дифференциального уравнения при любой правой части из гильбертова пространства функций с суммиру­ емым квадратом. Описанная задача связана с рядом специальных вопросов спектральной теории операторов, изложению которых отводится значительное место.

Библ.— 41 назв.

литературы, 1980

ПРЕДИСЛОВИЕ

Постараемся прежде всего разъяснить смысл заглавия предлагаемой книги. Основным объектом изучения в ней являются граничные задачи для линейных дифференци­ альных уравнений в частных произвбдных, рассматривае­ мых в конечной области n-мерного евклидова простран­ ства. Исследуемая проблема — вопрос о зависимости характера разрешимости данного уравнения от способа выбора граничных условий, т. е. от дополнительных тре­ бований, которым на тех или иных частях границы долж­ но удовлетворять решение.

Раздел математического анализа, занимающийся изу­ чением граничных задач для уравнений в частных про­ изводных, называют зачастую математической фи­ зикой.

В классических курсах, посвященных этому предмету, рассматриваются, как правило, строго определенные клас­ сы уравнений, задачи для которых имеют непосредствен­ ный физический смысл, или же некоторые обобщения та­ ких задач.

В связи с расширением сферы приложений математи­ ческих методов в настоящее время часто возникают зада­ чи, связанные с исследованием уравнений в частных про­ изводных, не принадлежащих ни к одному из классиче­ ских типов. Выяснение правильных постановок задач и исследование специфических свойств решений для по­ добных уравнений оказываются тесным образом связан­ ными с изучением вопросов общего характера.

Ктаковым можно отнести, например, следующие:

1.Чем определяется особое положение классических уравнений математической физики (и их обобщений) сре­

ди всех возможных уравнений?

2. Можно ли указать разумную (в том или ином смыс­ ле) граничную задачу для взятого наугад уравнения, и ес­ ли да, то как это сделать?

3. Какова природа патологических явлений, возни­ кающих при «неправильной» постановке граничной за­ дачи?

Вопросы подобного рода нуждаются, разумеется, в уточнении и весьма далеки от полного решения. Но в свя­ зи со сказанным выше ясно, что не следует считать их имеющими чисто умозрительный характер. Умение ори­ ентироваться в нестандартных ситуациях оказывается зачастую весьма ценным для математика или физика, за­ нятого решением конкретных задач. Учитывая это, ав­ тор старался сделать книгу доступной для возможно бо­ лее широкого круга читателей.

Граничная задача для уравнения в частных производ­ ных — объект богатый и сложный и допускает рассмот­ рение с весьма различных точек зрения. Основой подхо­ да, используемого в книге, является теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. В некоторых построениях используются и пространства иной струк­ туры, но гильбертово пространство функций с интегри­ руемым квадратом является основным. При этом во мно­ гих случаях весьма удобным оказывается формулировать свойства разрешимости той или иной граничной задачи в терминах свойств спектра сопоставляемого задаче опе­ ратора.

Первая (вводная) глава «Элементы спектральной тео­ рии» посвящена краткому изложению необходимых све­ дений из соответствующих разделов функционального анализа.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ

Во второй главе рассмотрены общие приемы сопостав­ ления граничной задаче линейного оператора в гильбер­ товом пространстве.

Общность перечисленных выше вопросов вынуждает в дальнейшем наложить на изучаемые операторы ряд весьма жестких ограничений. Выяснение правильных по­ становок задач и исследование специфических свойств ре­ шений для «неклассических» уравнений удобно начинать

ми при замене части граничных условий условиями перио­ дичности, что позволяет применять различные варианты метода разделения переменных. На использовании приемов такого типа основывается по существу основная часть книги (главы IV—VI). С их помощью исследование сво­ дится к рассмотрению специальных классов операторных уравнений, для которых удается получить содержатель­ ные и достаточно полные результаты.

Дополнительные сведения о содержании книги чита­ тель может почерпнуть из подробного оглавления. Мно­ гочисленные замечания общего характера содержатся во вводных пунктах, отмеченных цифрой «О».

В заключение хотелось бы сделать еще следующее замечание. Если книги, в которых методы функциональ­ ного анализа применяются при исследовании граничных задач, условно разбить на две группы:

_ 1) руководства по функциональному анализу, в кото­ рых дифференциальные операторы используются в качест­ ве конкретных примеров,

2) руководства по теории уравнений в частных произ­ водных, в которых функциональный анализ является од­ ним из методов исследования, то, относя данную монографию ко второй группе, хоте­

лось бы при этом оговорить, что по замыслу автора важ­ нейшей ее темой должно являться раскрытие именно са­

мого механизма использования общих понятий функцио­ нального анализа при изучении определенного класса конкретных классических объектов.

В заключение пользуюсь случаем выразить призна­ тельность профессору Ш. А. Алимову, прочитавшему ру­ копись и сделавшему ряд ценных замечаний.

А. А. Дезин

ПАМЯТКА ЧИТАТЕЛЮ

при ссылках на другой параграф данной главы указывается допол­ нительно параграф (или параграф и пункт). В остальных случаях указывается и глава.

Цифра в квадратных скобках означает ссылку на соответству­ ющую книгу в списке литературы; при добавлении буквы «О — на статью. Наличие ссылки не означает, что указываемая книга или статья является единственным (или первоначальным) носите­ лем нужной информации.

Использование «знака Халмоша» Щ, обозначающего конец до­

казательства (быть может, лишь намеченного) или подчеркиваю­ щего отсутствие такового, не является до конца формализованным. В некоторых ситуациях, и без того предельно ясных, он не употреб­ ляется.

Определения далеко не всегда выделены в специальный абзац. Зачастую они находятся непосредственно в тексте. Определяемое понятие набирается при этом курсивом.