книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

Приближенность решения будет связана с аппроксимацией уравнения (III. 105) линейным уравнением. Таким образом в точности удовлетворяются условия равновесия, но «портится» условие предельного равновесия. В каждом случае необходимо удостовериться, насколько велика ошибка по отношению к точному решению, получаемая при введении той или иной упрощающей предпосылки. Сложность оценки ошибки заключается в том, что точное решение неизвестно, следовательно, оценку приходится производить с помощью косвенных признаков. Удачным можно считать решение задачи, которое допускает шаг за шагом увеличение степени приближенности, т. е. итерационный способ вычисления.

Преобразуем исходную систему уравнений (III. 104) и (III. 105). Обратимся сначала к подстановке, примененной В. В. Соколов­ ским [42]:

<■>1 — угол между направлением большего главного напряжения и осью х (см. рис. Ш.$).

Уравнение (III, 105) с помощью подстановки (III. 107) удов­ летворяется тождественно. Однако возведем в квадрат урав­ нение (III. 105) и представим его в виде

a* f o O + sin2 ф) — О , cos2 ф] 4- Оу [о*(1 4- sin2 ф) —

— G y COS2 ф ] — 4 т Х9 Tjху = 0 , ( I I I Л 0 9 )

где учтены приведенные значения напряжений

141

Уравнение (III. 116) равноценно уравнению (III.114), но имеет более простой вид. Таким образом, получена замена уравне­ ния предельного^равновесия (III.111), содержащего три неиз­ вестных-а,, оу, аху или, с учетом зависимостей (III. 106), одно неизвестное — функцию напряжений F, системой уравнений (III.П4) и (III. 115), или (III.116), или (III.115) и (III.116), содержащих четыре неизвестных. Из зависимостей (III.115) и (III. 116) могут быть также получены:

состояния получаем два решения — минимального напряженного состояния (активного давления), для которого в уравнении

Наиболее простой вид, пожалуй, система имеет, если восполь­ зоваться зависимостями (IIIЛ17) или второй из зависимостей (III. 117) и уравнением (III. 118), где coi следует рассматривать как параметр, исключая который можно получить одно уравнение с одним неизвестным. Если это сделать точно, то тогда получим исходное уравнение предельного равновесия (III.105). Для этого следует возвести оба уравнения (III.117) в квадрат и сложить. В этом случае уравнение предельного равновесия будет удов­

142

Для того чтобы получить линейное уравнение относительно функции напряжений / \ следует выразить косинус через синус линейной функцией. Это можно сделать лишь приближенно. Будем считать; что угол о)| изменяется от начального значения о>Г до значения

Для поставленной цели воспользуемся разложением в ряд Тэйлора, причем ограничимся лишь линейной частью разло­ жения — двумя первыми членами;

Исключая из разложений (III.12I) и (ШЛ22) Д<оi, получим искомое соотношение в виде

= о>Г, а чем больше разность о>| — соГ, тем больше получающаяся

143

что накладывает определенные условия на wi. Это условие следую­

Считаем, что угол coi занимает какое-то промежуточное значение между начальным со!1 и конечным а>Г значениями:

условиях можно было с определенной степенью погрешности считать

Естественно, что чем менее интервал o>f — (оУ, тем лучше будет выполняться данное приближение.

Система уравнений для определения коэффициентов А и В будет иметь следующий вид:

cos 2«ii = А — В sin 2(1)";

(III.135)

cos 2<1>У= А — В sin 2(0i.

Решая эти уравнения, после преобразований находим:

144

или, что равносильно,

Совершенно естественно, что условие (III. 138) выполняется точно при col = соГ и о>1 = (of. Если обозначить абсолютную погрешность через б, то из условия (IIIЛ38) имеем:

6 = cos(<i)T + со'/ — 2щ) — cos (ti)| — ш?) = —2 sin (o>i— ci>i)sin((i>7 — coi). (III.139)

Выше указывалось, что coi в уравнениях (IIL117) является параметром, который подлежит исключению. Этот параметр имеет явный физический смысл и может быть получен для Границы рассматриваемой области исходя из контурных условий. Нужно отметить, что параметр о)| является достаточно «чув­ ствительным» индикатором удовлетворительности решения за­ дачи. Следовательно, возможны различные дальнейшие пути приближенного решения задачи предельного равновесия.

1. Исключение параметра coi из уравнений (III.117) точным приемом — путем возведения обоих уравнений в квадрат и последующего их сложения. В этом случае имеем обычную систему уравнений и нелинейное уравнение предельного равно­ весия.

2.Исключение параметра (0| с помощью приближенного приема, основанного на уравнении (III.123). В этом случае по­ лучаем приближенное решение задачи, но уравнение предельного равновесия оказывается линейным и, следовательно, интегри­ руемым в замкнутом виде. Такая подстановка может быть сделана

вуравнение (III.114) или введена в уравнения (III.117) с объеди­ нением их путем исключения параметра он.

3.Сохранение уравнения (III. 114), если удастся «угадать» значения coi, т. е. заранее «знать» изменение угла в зависимости от координат рассматриваемых точек; чем удачнее будет введена

coi, из условий задачи получить функцию напряжений F с при­

Если разница в этих напряжениях, полученных йз левого и пра­ вого уравнений (III.117), будет невелика, можно считать задачу решенной удачно; если этого не произойдет, можно по средним значениям.напряжений получить уточнение значения o>i и снова повторить решение уравнений. Таким образом подойдем к итера­ ции такой же, как и та, которую можно применить в предыдущем случае. Для связи напряжений с углом «н используется формула (IIIЛ15).

Обратимся к уравнениям (III.117) и (111.118), куда следует

145

подставить значения напряжений из зависимостей (III. 106), а также учесть выражения (III.110). Из уравнения (III.118)

о у (1 -+• sin <pco$2©i) — Ох(1 — sin <р cos 2coi) = 0

получим после преобразований:

Таким образом получена система из двух уравнений относи­ тельно функции F и параметра coi. Оба уравнения — гиперболи­ ческого типа, в чем легко убедиться. Действительно, если обратиться к уравнению (III. 140), то получим уравнение ха­ рактеристик

которые оказываются действительными, так как под корнем имеется заведомо всегда неотрицательная величина.

Обратимя ко второму полученному дифференциальному урав­ нению (IIIЛ41), характеристики которого следующие:

всегда действительные, следовательно, и оно гиперболического типа. Однако характеристики этих уравнений различные.

Поскольку уравнение (111.114) получено непосредственно из условия предельного равновесия, то подставляя в него за­

Как и следовало ожидать, в данном случае характеристики совпадают с линиями скольжения, а угол между ними составляет я /2 — ф.

146

Если угол (Oi считать постоянным, то интеграл уравнения (III.144) получить весьма просто. При ioi = const

Таким образом независимыми остаются коэффициенты А\, Аь As, А 7.

Решение уравнения (II 1.146) дано в форме Даламбера. Одна­ ко, поскольку исходное уравнение (IIIЛ44) линейное, интеграл, его может также быть представлен и в форме Фурье. Функция напряжений будет в этом случае иметь вид

х, Yi — функция координаты у . Они определяются подстановкой в уравнение (III. 144) и решением его без правой части. Получаю­ щиеся при этом дифференциальные уравнения являются обыкно­ венными и интегрируются. Особенно легко это сделать при по­ стоянстве угла (oj. Однако принципиально можно учесть и пере­ менность угла со] в зависимости от координат х и у. Аналогичный прием может быть использован для решения задачи в полярных координатах. В этом случае используются следующие уравнения равновесия:

T,t=7W~ 7Ш " T° ь)cos 0 sm29-

Уравнение предельного равновесия удовлетворится, если ввести, как *и ранее, обозначения:

147

Подставляя зависимости (III.150) в выражения, находя­ щиеся в квадратных скобках уравнения (III.154), получим после сокращения на а Ф 0 уравнение

о, (sin ф — cos 2т) + оо (sin ф + cos 2<D2) — 2т,о sin 2G>2 = 0, (III.155)

Уравнения линий скольжения, которые совпадают с характе­ ристиками уравнения (III.156), будут [42J:

(M U 5.)

откуда следует

о

jclg [en’± ( n / 4 - 9/2)]d0

148

Если угол (02 постоянен, то получаем два семейства логарифмических спиралей. Решение уравнения (III. 158) следует искать методом Фурье. Однако в уравнение (III.157) входит угол fi)2r являющийся параметром. Угол сог не произволен и определя­

исключить о)2 и получить одно нелинейное уравнение относи­ тельно функции напряжений Ф.

Систему (III.156), (III.157) можно решать с помощью итера­ ции, задавшись значениями сог, подставить их в уравнение (III.157), затем, получив функцию Ф в результате этого реше­ ния, вычислить по ней напряжения с помощью зависимостей (III. 149). После этого из уравнения (III. 156) установить новое значение сог, которое вновь подставить в уравнение (III. 155), и так далее до тех пор, пока разница в угле сог не будет существенной. Параметр ©г является весьма «чутким» индикатором, реагирую­ щим на изменение напряжений. Ошибка в угле ©2 вызывает относительно меньшую ошибку в величинах нужных нам* напря­ жений.

Если отдельно проанализировать уравнение (III. 156), то, подставив в него значения напряжений по выражениям (III.149), получим также дифференциальное уравнение второго порядка, которое является гиперболическим. Несложно убедиться, что характеристики его будут взаимно ортогональны, причем уравне­ ние их уже не будет содержать углы внутреннего трения ф, а будет лишь функцией угла о)2.

Решение уравнения (III. 157) следует искать методом Фурье. В случае постоянного значения угла саг отыскание функции Ф не представляет труда. Если же угол сог будет переменным, интегрирование в конечном виде может быть затруднительным, в связи с чем придется прибегнуть к численному интегрирова­ нию этого уравнения.

7. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КИНЕМАТИКИ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ

Более 90 лет назад В. И. Курдюмов впервые (1889) предло­ жил использовать фотографию для определения границы зоны и характера смещения грунта при выпирании его из-под модели фундамента.

Предложенный В. И. Курдюмовым метод, названный методом фотофиксации, оказался весьма эффективным и им впоследствии пользовались многие экспериментаторы как у нас, так и за рубе­ жом. Этот метод впоследствии был применен также нами, а затем и другими исследователями для фиксирования очертания упругого ядра под штампом, для чего фотоаппарат жестко скреплялся

149

Под линиями скольжения В. И. Курдюмов понимал «геометри­ ческое место плоскостей скольжения эллипсов напряжений в различных точках сыпучего тела». Развившаяся в наше время, особенно благодаря трудам В. В. Соколовского, В. Г Березанцева и других, теория предельного равновесия сыпучей среды также использует термин «линии скольжения», причем они опре­ деляются как линии, касательные к которым совпадают с пло­ щадками скольжения [42]. Вдоль последних выполняется усло­ вие предельного состояния Кулона

В теории предельного равновесия понятие линий скольжения является чисто статическим, хотя совершенно логично, что отно­ сительное смещение будет наблюдаться именно вдоль площадок, где касательное напряжение достигает величины, при которой

Так как имеются два семейства линий скольжения, то Г А. Ге­ ниев, например, считает [9] , что видимые смещения происходят вдоль одного из них, которое он назвал активным. Последнее приводит к тому, что «активные» площадки скольжения должны совпадать с направлением'максимальных скоростей деформаций сдвига. Для того чтобы связать напряжения и скорости де­ формаций, была предложена гипотеза о пластическом потенциале [18], из которой вытекает свойство коаксиальности главных осей напряжений и скоростей деформаций. Р. Шилд принял [54J в качестве пластического потенциала функцию, совпадающую с уравнением прочности Мора и решил задачу о выпирании грунта из-под фундамента. Согласно его решению несущая спо­ собность основания осталась той же, что и у Прандтля [42], и векторы скоростей в зоне максимально напряженного состоя­ ния не совпадают с линиями скольжения, а отклонены от них на угол <р (рис. III.16). Последнее заставило сомневаться в правдо­ подобности решения Шилда [54], которое обсуждалось впослед­ ствии Ю. И. Соловьевым (1969).

Всвязи со сказанным рассмотрим вопрос о том, что полу­ чается на фото при использовании метода фотофиксации или аналогичных способов с применением закопченых стекол, парафи­ нированного экрана и др.

Вдальнейшем будем исходить из положения, что метод фото­ фиксации позволяет видеть не линии максимальных скоростей деформаций, а лишь траектории перемещений частиц грунта.

150