книги / Прикладная статистика

1т

У1= —

/=1

По аналоги» с индексом корреляции, корреляционное отно­ шение »1уявводится так:

Напомним, что к — число интервалов группировки по составляющей х дву­

мерной выборки;

—середина /-го интервала группировки по составляющей л;

и.— частота г-го интервала группировки по составляющей х,

/= 1, 2Р..., А;

у; — серсд|ша /-го интервала фупнировкн по составляющей у,

т— число интервалов группировки по составляющеиу;

— частота /-го интервала группировки по составляющей у,

>= 1,2 ......т;

и— объем двумерной выборки.

Если все точки на диаграмме рассеяния сгруппированной выборки лежат на горизонтальной прямой, то все частные сред­ ние у равны у.

г= 1, 2, . 1^ = ».

Тогда говорят об отсутствии связи между значениями х и у. Бели вес точки на диаграмме рассеяния сгруппированной вы­ борки лежат на некоторой прямой (кроме горизонтальной), то

числа интервалов группировки по переменной х корреляционное

61

отношение растет. По аналогии с числом ц}г можно рассчитать число т\^Ф если считать х зависимой переменной, а у — неза­ висимой переменной.

Пример. На металлообрабатывающем заводе у 60 марок стали провели замеры предела текучести Р{х, кг/мм2) и преде­ ла прочности аш(у, кг/мм2). В итоге получили 60 пар значений, представленных в табл. 3.6. Предполагается, что большие зна­ чения обуславливают большие значения ; марки стали с низ­ ким пределом текучести имеют и низкий предел прочности. Для обоснования гипотезы о высокой положительной корреляции между пределом прочности и пределом текучести сгруппируем выборку (табл. 3.7) н рассчитаем числовые характеристики.

Внешний вид табл. 3.7 несколько отличается от вида табл. 3.5, иллюстрирующей двумерную группировку. Табл. 3.7 пост­ роена так, чтобы можно было легко вообразить диаграмму рас­ сеяния, не строя со саму.

6 2

Имеем:

« = 60; к ^7; т = 8; к = Л = 20 (длины интервалов груп­ пировки)^

= _ ± (200x2 + 180x2 + 160x5 + 140x9 + 120x13 + 100x14 +

У60

+60x10+ 60x5) =114,7;

63

± ( у, - у У>)= 2х(2О0 - 114,7)? + 2х(18» - 114,7)’ 4- 5*(160 -

/•I

-1 14,7>2+9х(140-114,7)2+13х(12О -114,7)*+14*(100-1 И,7)2+ +10х(*0 - 114,7)* + 5х(60 - 114,7)? = 69493,4;

г .= Э,82.

Для справки: коэффициент корреляции г = 0,92, предел про­ чности и предел текучести связаны сильной линейной зависи­ мостью.

3 .9 . З А Д А Ч И

1. Как выражаются коэффициенты лIшейного уравнения рег­ рессии через выборочный коэффициент корреляции г7

2. Показать, что выборочный коэффициент корреляции г нс изменится, если значения г, у. подвергнуть преобразованию:

X, =*, + ЪУ, =У,+ Ь \: = 1,2,..., я.

Как изменится выборочный коэффициент корреляции г, сеян лее числа*, умножить на одно кто же число </, все числау умно­ жить на одно и то же число &, г = 1,2, л?

3. В соответствии с методом наименьших квадратов соста­ вить систему уравнений для определения коэффициентов следу­ ющих уравнений регрессии:

у =а + Ье, у = а + Ьх5\п(т) + с*со${ш)

, х Ь (ф — заданное число), У = л + —.

В задачах 4-19 нужно найти числовые характеристики вы­ борки н определить (если г > 0,7) коэффициенты линейного уравнения регрессии х на у, если у можно принять за независи­ мую переменную.

4. Результаты тестирования (баллы) 10 студентов. Первый тест проверяет память (к), второй — способность к логическому мышлению (у):

64

5. Оценка затеет по способностям (.г) шести продавцов-прак- тпкаптоз и результаты их работы за первый год (у) в сотнях фун­ тов проданного товара:____________________

8. В книге «Основы химии» Д.И. Менделеева приводятся данные о растворимости азотнокислого Есатрия № N0^ в зави­ симости от температуры воды. Указывается, сколько условных частей N81^ О1) растворяется в 100 частях воды при соответс­ твующих температурах в °С (х):

65

10. Средняя температура июня в г. М.оскве (к) н в г. Ярослав­ ле (у) измерялась в течение 40 л е т : _____________________

Определяется ли доход объемом продажи?

12.Среднегодовые уровни воды в озере Виктория-Нмлза

(я)относительно некоторого фиксированного значения и числа солнечных пятен (у) за 1902-1921 гг.;

66

13. Число айсбергов, наблюдавшихся помесячно к югу от Ньюфаундленда (.г) и к югу от Большой отмели (у) за 1920 г.:

14. Число разводов на 1000 жителей в 20 штатах США (у), средний доход на семью (ху) в тыс. долларов; процент городско­ го населения (л2):

]5. На сталелитейном заводе обследовали 15 плавок опреде­ ленного сорта стали. Учитывался угар кремния (х)„ измеряемый в процентах, и выход стали (у), также измеряемый в процентах.

16. Продолжительность послеоперационного лечения в кли­ нике (у) в днях и возраст больных (х) в годах, оперировавшихся по поводу грыжи:

67

17. При исследовании некоторой химическом реакции через каждые 5 минут определялось количество вещества (у) в %, ос­ тавшееся в системе. Подобран» коэффицнсЕПы уравнения у - а + + Ьх + сх1, где* — время после начала реакции в мешутях:

1В. Барометрическое давление связано с высотой следующим

соотношением:

р / р „ = е т

гдер — барометрическое давление на высоте г;

Т— температура;

ран к — параметры.

По методу наименьших квадратов оценить значения пара­ метров ШТ и р0 по результатам наблюдении, проведенных при постоянной температуре:

19. Для исследования зависимости давления р насыщенного пара (Н/см2) от удельного объема V (м3/кг) составлена таблица опытных данных:

63

20. Функциональная зависимость удельного сопротивления кристаллического кварцар (Ом-см) от абсолютной температуры

Т’(К) имеет вид р = ю ^ *

Используя опытные данные, оценить значения параметров

а и Ь:

2], Получена пыборка наблюдений переменных х и у:

Для представлення этих данных предлагается выбрать луч­ шую из предложенных моделей:

1) >> = — ^7- . 2 ) у = Ь а * . 3 ) у = Ь х п . 4 ) у = я 1 ф ; ) + А.

а+Ьх

Оценить значения параметров а и Ь.

22. На заводе производят некоторый материал, твердость которого хотят повысить. Для этого увеличивают содержание некоторого химического вещества. Ниже приведены данные для 20 случайно отобранных образцов. Значения у — твердость об­ разца (условные единицы), значения х — процентное содержа­ ние химического вещества относительно некоторого уровня:

69