книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

являются сходящимися и дают результаты тем более близ­ кие к некоторому определенному значению, чем больше членов складывается... мы припишем слову «сумма» зна­ чение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выраже­ ние, из разложения которого возникает этот ряд» [113].

Последнее предложение является формулировкой зна­ менитого принципа Эйлера суммирования расходящихся рядов. Эта точка зрения предвосхитила ряд крупных идей последующего развития математики, в том числе идею аналитического продолжения. В частности, сам принцип Эйлера нельзя корректно сформулировать, не используя метода аналитического продолжения.

По Эйлеру, «сумма ряда» является первичным поняти­ ем, тогда как «ряд» — производным, вторичным. В обыч­ ном понимании картина противоположная: первичным яв­ ляется «ряд», а «сумма ряда» — вторичным.

Подобная же схема может быть использована при по­ строении операционного исчисления. В обычном понимании операционного исчисления изображение оригинала /(f) есть функция F(p) комплексного переменного р, получае­ мая умножением оригинала /(f) на е ~pt и интегрированием iio f на интервале от 0 до со. Следовательно, оригинал явля­ ется первичным, а изображение — вторичным: оригинал производит изображение.

Аналог эйлеровского принципа в операционном исчис­ лении предполагает такую процедуру построения простран­ ства изображений, при которой изображение было бы пер­ вичным, а оригинал — вторичным : изображение произво­ дит оригинал. Последовательно придерживаясь этой точки зрения можно получить пространство обобщенных оригина­ лов, где каждый из них понимается как класс эквивалент­ ности во множестве формальных рядов Лагерра. Простран­ ство обобщенных оригиналов изоморфно пространству всех аналитических функций комплексного переменного, кото­ рое выступает в роли пространства изображений. Таким образом, в рамках этой теории любая аналитическая функ­ ция является изображением, а пространство обобщенных Оригиналов выступает как новый тип пространства обоб­ щенных функций. Это пространство в общем случае не яв­ ляется ни полем, ни кольцом, ни линейным пространством. Вместе с тем принцип изоморфного вложения позволяет отождествить отдельные подмножества пространства обоб­ щенных оригиналов с пространством классических функцийоригиналов, с пространством обобщенных функций Do'*' Л. Шварца, с пространством Я. Минусинского.

В предлагаемой книге приводятся наиболее важные по­ нятия математического анализа и их распространение на обобщенные оригиналы: интегрирование, дифференциро­

Карсона на класс обобщенных оригиналов и т. п. Рассматриваются три стержневые проблемы, возникаю­

щие в связи с обобщением операционного исчисления:

1 ) распространение операционных правил на класс обоб­ щенных оригиналов;

2) изучение состава пространства обобщенных оригина­ лов, т. е. изучение вопроса о том, какие классы функций принадлежат пространству обобщенных оригиналов и ка­ кие (конкретно) изображения им соответствуют ;

3) исследование алгоритмов и приемов построения (реа­ лизации) неизвестного оригинала, когда известно изобра­ жение.

В связи с небольшим объемом книги материал, касаю­ щийся двух последних проблем, несколько ограничен.

За исключением первой главы, где излагаются элементы дискретного операционного исчисления над произвольным полем, по которым имеется обширная библиография, в кни­ ге приводятся библиографические замечания. Цель первой главы — показать идейное (структурное) родство дискрет­ ного и непрерывного операционных исчислений, проиллю­ стрировать на примере дискретных преобразований силу эйлеровских идей по обобщению понятия суммы расходя­ щихся рядов, подготовить идейный фундамент — ввести по­ нятие обобщенного ряда Лагерра для последующего обоб­ щения операционного исчисления.

Вначале каждой главы в краткой форме освещаются постановка задачи и содержание.

Вкниге принята трехместная нумерация формул (т, п,

s): т —. глава, п — параграф, s — формула. Ссылки наних внутри параграфа — одноместные (s), по главе — двумест­ ные (л, s), по книге — трехместные (т, п, $).

Автор глубоко благодарен профессорам В. А. Диткину

иА. П. Прудникову за неоднократное обсуждение материа­ ла и дружескую критику.

Р. Джаембаевым — § 2, 3 главы 6. Ж. Наурзбаевым оказана большая помощь в подготовке библиографического матери­ ала: Автор выражает им, а также Э. Альзамаровой свою признательность за помощь в работе над книгой.

Г л а в а 1

ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Принцип финитности. Пусть Р некоторое поле, N упо­ рядоченное множество целых чисел N = {0, 1 , 2, 3 , . .

Образуем совокупность всевозможных последовательно­ стей fajtew над Р, т. е.

1>(]«ен=(«о. «и «2. • • • )» V*6N : а,еР .

мых в дискретной математике, составляют отображения, удовлетворяющие принципу финитности.

Принцип финитности формально выражается следую­ щим образом.

Пусть /={*<>, Хи * 2,. ••} упорядоченное множество пере­

ло операций поля Р над элементами из I (. Тогда последовательность формул

^ = U t(Ie)]feN= U 0(/0), А(Л), • • • )

представляет собой оператор, который осуществляет ото­ бражение Р[£] в себя.

Действительно, любой функции oi(t)= '(а0, ai, a2, ...) вР[£] оператор А сопоставляет функцию fi(t)=Aa(t) по правилу:

Таким образом, всякое отображение пространства P[ï] в себя удовлетворяет принципу финитности, если каждая компонента р, образа P(f) вычисляется посредством конеч­ ного числа операций поля Р.

Операторы описанного типа будем называть конечными операторами, а их компоненты A t( I t) конечными арифме­ тическими формулами.

Анализ (описание) конечных операторов, алгебраизация

ляется единственным ограни­ чением на операции над ф. с. р. в тех случаях, когда нет

необходимости или не имеет смысла рассматривать вопросы сходимости бесконечных процедур, как например, в случае, когда поле Р является конечным. Поэтому последователь­ ное применение принципа финитности в теории дискретных преобразований имеет самостоятельный интерес, особенно в теории дискретных преобразований над конечными поля­ ми. Л. Эйлер первый, кто широко использовал этот прин­ цип (не формулируя его) в своих знаменитых трудах [113].

В случае полей характеристики О (например, в поле ком­ плексных чисел) появляется необходимость рассматривать операции над ф. с. р., включающие в себя бесконечное чис­ ло арифметических действий. Теоретическим принципом, позволяющим избежать практические трудности, связанные с выполнением бесконечного числа операций, является ме­ тод Л. Эйлера суммирования расходящихся степенных ря­ дов. Иными словами, по Л. Эйлеру, не ряд производит сум­ му, а сумма производит ряд. Такой взгляд на понятие

суммы оказался наиболее благоприятным для теории дис­ кретных (а также непрерывных) преобразований.

Для последующего рассмотрения изучаемых вопросов существенное значение имеет пЬнятие формальных рядов Лагерра.

§ 1. Формальные степенные ряды (краткий обзор)

Совокупность сумм вида

где коэффициенты a k принадлежат P, a z — некоторый сим­ вол, называется формальным степенным рядом (ф. с. р.) и обозначается символом f(z).

Ф. с. р. можно складывать и умножать подобно сложе­ нию и умножению многочленов. В последнем случае пред­ полагается, что определена операция умножения степеней символа z : z n'Zm— 2т+л. Следовательно, совокупность всех ф. с. р. над Р образует кольцо, которое будем обозначать символом P[z].

Кольцо Р[г] не содержит делителей нуля, т. е. оно обла­ дает свойством: если произведение двух ф. с. р. /(z) и g(z) равно 0, то по крайней мере один из них равен 0.

Доказательство легко получить методом ложного поло­ жения, пользуясь правилом умножения ф. с. р. и замечая, что два ф. с. р. равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях г.

Это свойство позволяет расширить кольцо ф. с. р. P [z] до поля частных P(z), подобно тому, как кольцо целых чи­ сел расширяется до поля рациональных чисел.

Нетрудно видеть, что любой элемент f(z) поля частных

как положительным, так и отрицательным и обозначается символом О(/).

Очевидно, что

0 (f- g )= 0 (f)+ 0 (g ),

(1.1.3)

0 (f± g )> m in [0 (f), Ote)].

Нетрудно видеть, что P [t] образует коммутативное коль­ цо с единицей, со сверткой в качестве умножения, без дели­ телей нуля.

Следуя идее Я. Минусинского, для того чтобы обеспе­ чить во всех случаях разрешимость уравнения a(t)*x (t)~ b(t), можно построить операторное исчисление в классе P [f], расширив P [t] до поля отношений P(f)„

Однако для случая кольца Р[£] целесообразнее восполь­ зоваться изоморфизмом колец P [f] и P[z], которое устанав­ ливается согласно соотношению для у <p(t)6 P[f]

00

Действительно, в соответствии с правилами сложения и умножения ф. с. р. будем иметь:

если

В соотношении (1), которое будем называть операцион­ ным соотношением, функция <р(£) называется оригиналом, ф. с. р. Ф(г)— его изображением, а само преобразование

элементы поля Р(г) не могут быть представлены в виде по­ следовательности. Поэтому их называют обобщенными ори­ гиналами, а отвечающие им формальные ряды из поля ча­ стных B(z) — обобщенными изображениями.

Приведем несколько основных операционных соотноше­ ний дискретного преобразования.

Вначале рассмотрим изображения некоторых простей­ ших функций.

Ю