книги / Начертательная геометрия

УДК 514.18 (075.8) Л 46

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор кафедры механики и инженерной графики ПВВКИУ РВ

В.С. Елтышев

Кандидат технических наук, профессор кафедры Пермского государствен­ ного технического университета

Б.П. Свешников

Лалетин В.А. и др.

Л 46. Начертательная геометрия: Учебное пособие. 2-е изд., перера­ ботанное и дополненное /В.А. Лалетин, Е.П. Александрова, Т.В. Грошева, Е.С. Дударь, Е.В. Корнилкова; Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2005. - 204 с. ISBN 5-88151-039-9

Изложены основные способы изображений и исследований геомет­ рических образов, рассматриваются позиционные и метрические задачи, имеющие практическое значение.

Пособие составлено с учетом современных требований к геометри­ ческой науке, отличается более полной проработкой основных теоретиче­ ских положений курса и обобщением приемов решения задач, что способ­ ствует более глубокому изучению курса.

Предназначено для студентов втузов всех специальностей, изучаю­ щих курс начертательной геометрии.

Авторы приносят благодарность С.В. Томиловой за предоставленные материалы.

УДК 514.18 (075.8)

© Пермский государственный технический университет, 2005

ISBN 5-88151-039-9

Предметом начертательной геометрии является изложение и обосно­ вание способов построения изображения пространственных форм на плос­ кости и способов решения геометрических задач по заданным изображени­ ям этих форм.

Основными требованиями, предъявляемыми к методам изображения на плоскость, являются наглядность, точность изображения и его обрати­ мость, геометрическая равноценность оригиналу. Изображения, построен­ ные по правилам начертательной геометрии, дают возможность решать с помощью плоских изображений общегеометрические и прикладные зада­ чи.

Наряду с задачей изображения пространственных форм в плоскости чертежа начертательная геометрия дает возможность решать с помощью плоских изображений различные задачи в пространстве. Все задачи начер­ тательной геометрии условно делятся на три основных класса: позицион­ ные, метрические и комплексные.

Позиционными называются задачи на определение общих элементов геометрических фигур. Вопросы принадлежности точки или линии како­ му-либо геометрическому образу, задачи на пересечение и параллельность геометрических фигур относятся к классу позиционных. В позиционных задачах выясняются вопросы, связанные с взаимным расположением гео­ метрических образов, а вопросы измерений не затрагиваются.

Метрическими называются задачи, в которых требуется определить геометрические величины: расстояния, углы, площади, объемы и т.д. К этому классу относятся задачи на определение длины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекции, расстояния между различными геометрическими образами и др.

Комплексные задачи включают в себя как вопросы взаимного распо­ ложения геометрических образов, так и вопросы их измерения.

Начертательная геометрия по своему содержанию и методам занима­ ет особое положение среди других наук. Обогащая точные науки нагляд­ ностью и простотой решения многих проблем, начертательная геометрия находит применение в механике, кристаллографии, оптике, то есть всюду, где возникает необходимость в пространственных построениях. Все зада­ чи, изучаемые в аналитической геометрии, могут быть решены графиче­ скими методами начертательной геометрии.

Как и другие точные науки, начертательная геометрия развивает ло­ гическое и абстрактное мышление, пространственное воображение.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГГ, По - плоскость проекции и поле проекций (прописная буква гре­ ческого алфавита [пи]);

П! - горизонтальная плоскость проекций;

П2- фронтальная плоскость проекций;

П3- профильная плоскость проекций;

П4, П5, Пб - новые плоскости проекций, отличные от указанных выше;

x ,y ,z - оси проекций (строчные буквы латинского алфавита);

буквы латинского алфавита, кроме х, у, z, h,f, р)\

h - горизонталь;

/- фронталь;

р- профильная прямая уровня;

0 [тэта], А [дельта], Л [ламбда], Р [ро], Т [тау],1 [сигма], Q [омега] - плоскости и поверхности (прописные буквы греческого алфавита, кроме П, Г, Ф, 40;

Г [гамма] - горизонтальная плоскость уровня;

Ф [фи] - фронтальная плоскость уровня;

'Р [пси] - профильная плоскость уровня;

а - угол наклона прямой (плоскости) к горизонтальной плоскости проекций ГГ;

Р - угол наклона прямой (плоскости) к фронтальной плоскости про­ екций П2;

у - угол наклона прямой (плоскости) к профильной плоскости про­ екций П3.

Проекции геометрических образов обозначают теми же буквами, ка­ кими обозначены их оригиналы, и добавляют подстрочный индекс, соот­ ветствующий индексу плоскости проекций:

А1, А2, Аз - горизонтальная, фронтальная и профильная проекции точки А;

а ь ^2, а3- горизонтальная, фронтальная и профильная проекции ли­ нии а;

Хь 1 ,2, £3 - горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости L.

Символы:

G, С - принадлежность;

|| - параллельность;

П- пересечение;

—- скрещивание;

_1 - перпендикулярность;

=- совпадение;

=- результат геометрических операций;

У- касание;

ь th. - прямой угол;

=> - следует;

—> - соответствует;

| | - расстояние;

U - соединение.

Наклонная черта (/), перечеркивающая тот или иной символ, означает отрицание данного действия:

а $ b - прямая а не параллельна прямой Ь.

Примеры использования символов:

данной проекции А\ строится проекция Л2 при определенном условии;

Сокращения:

н.ч. - начертательная геометрия; г.о. - геометрические образы; пл. пр. - плоскость проекций;

г.м.т. - геометрическое место точек; н.в. - натуральная величина; т. - точка.

I.МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

1. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО И ЕГО РЕКОНСТРУКЦИЯ

Воснове начертательной геометрии лежит метрд проекций (проеци­ рования). Слово «проекция» (projecere) - латинского происхождения. Оно означает «бросить вперед, вдаль». Таким образом, под проекцией предмета на плоскость подразумевают его изображение, «отброшенное» на эту плоскость с помощью воображаемых проецирующих лучей, подобно тому, как предмет, освещенный солнцем, отбрасывает тень на землю (рис. 1).

Рис. 1

При проецировании решается прямая задача начертательной геомет­ рии, т.е. трехмерные объекты (предметы, оригиналы) изображаются на плоскости, строится чертеж.

Геометрическое пространство, в котором рассматриваются трехмер­ ные объекты и их элементарные составляющие - геометрические образы (г.о.) (точка, прямая, плоскость, поверхность), до некоторого времени име­ новалось Евклидовым пространством. Для него справедливы описанные геометром древности Евклидом пять аксиом: сочетания, порядка, движе­ ния, непрерывности, параллельности.

Однако принятие аксиомы Евклида о параллельности приводит к трудностям, связанным с неоднородностью евклидова пространства и по­ груженных в него г.о., когда речь заходит о проецировании.

Действительно, пусть даны две прямые а и Ъ, принадлежащие плос­ кости (рис. 2).

В плоскости L через произвольную точку S проводится прямая /, ко­ торая пересекает прямую а в точке А и прямую b в точке В. Точка А на прямой а однозначно соответствует точке В на прямой Ь. Аналогично рас­

Если проводится / к параллельно b и / ' параллельно а, то однород­ ность прямых а и b нарушается, так как на прямой а нет точки А 1и на прямой b нет точки В к, которые соответствовали бы точкам В 1 и A k Та­ ким образом, прямые а и b вследствие свойств параллельности являются неоднородными, следовательно, будет неоднородным и плоское поле (евк­ лидова плоскость), определяемое этими прямыми.

Русский математик Н.И. Лобачевский (1792-1856) предложил счи­ тать пространство (плоскость) однородным, подвергнув сомнению сущест­ вование аксиомы о параллельности. Ученый дополнил плоскость £ беско­ нечно удаленными (несобственными) точками А 1 и В к, в которых парал­ лельные прямые I 1и а, I k и b пересекаются. Собственными элементами принято называть прямые и плоскости, расположенные в ограниченном (конечном) пространстве.

Добиться однородности трехмерного евклидова пространства можно путем добавления к нему несобственных (бесконечно удаленных) прямых.

Евклидовы плоскость и пространство, дополненные бесконечно уда­ ленными точками, прямыми и плоскостями, называются проективными.

Для проективной плоскости справедливы утверждения:

-через любые две различные точки проходит прямая, и только одна;

-любые две прямые имеют общую точку, и только одну.

В проективном пространстве:

любые две прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересека­

ются;

- любые две плоскости пересекаются по прямой; всякая прямая, не лежащая в плоскости, всегда пересекает плос­

кость.

Создав пространство, в котором без всяких исключений может осу­ ществляться операция проецирования, рассмотрим способы получения центральных и параллельных проекций.