книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом
..pdfв последнем случае механизм снабжается возвратной пружиной. Электро механический привод делает схват более универсальным, так как в отли чие от пневмопривода с двухпозиционным цикловым движением от упора до упора электропривод позволяет реализовать многопозиционное управ ление.
В механических схватах используются различные исполнительные ме ханизмы для преобразования движения привода в движение губок схвата. При этом можно выделить две группы механизмов: с постоянным коэффи циентом передачи усилия, не зависящим от положения губок схвата; с переменным коэффициентом передачи усилия. Под коэффициентом пере дачи усилия понимается отношение k = P/F, где Р — усилие, развиваемое приводом, F — сила зажима, действующая на губках схвата. В случае переменного коэффициента передачи усилия сила зажима является функ цией перемещения губок схвата.
Исполнительные механизмы с переменным усилием могут создавать очень большие усилия при ограниченном диапазоне рабочих движений. Такой характеристикой обладают механизмы с нелинейной передаточной функцией — рычажные и кулачковые. Для надежного удерживания объек-
Рис. 3.19. Схемы схватов с рычажными механизмами
I
I
Щ
— I
Рис. 3.20. Пневматические центрирующие захватные устройства
тов манипулирования, имеющих широкий диапазон размеров, необходимо использовать механизмы с постоянным передаточным отношением: зубча тые, зубчато-реечные, некоторые рычажные (параллелограммы)—или пре дусматривать переналадку исполнительных механизмов с переменным передаточным отношением.
В захватных устройствах довольно часто применяются реечные переда чи, обеспечивающие большой диапазон раскрытия губок при малых габа ритах и удобной компоновке. Перемещение рейки осуществляется пневмоприводом. Вращательное движение губок с приводом от реечной передачи используется в центрирующих захватных устройствах.
В схватах с рычажным приводом применяются различные модификации плоских четырехзвенных рычажных механизмов. Они позволяют удовлет ворить различным требованиям в отношении усилия зажима или величины хода. На рис. 3.19 представлены некоторые варианты таких устройств.
Схема с кривошипно-ползунным механизмом или его модификациями (рис. 3.19, а) является наиболее простой и распространенной. Если необхо димо обеспечить сохранение ориентации губок, используется схема с па раллелограммами (рис. 3.19, б). Если нужно получить большой ход губок, применяют схват (рис. 3.19, в, г), у которого кривошипно-ползунный ме ханизм объединен с кулисным. Для длинных деталей при базировании по торцам применяется схема, построенная на основе сдвоенных тангенсных механизмов (рис. 3.19, б).
К захватным устройствам специального вида относятся устройства с захватными иглами, многочисленными пинцетами, специальными лента ми, снабженными крючками. Они применяются, например, в швейной про мышленности для захвата деталей одежды.
Пневматические захваты представляют гибкие и прочные камеры, в которые под давлением подается воздух. При этом камеры деформируются и охватывают предмет. Поверхность контакта может быть очень большой, что обеспечивает прочное удержание предмета; сила зажатия регулируется давлением. На рис. 3.20 представлены центрирующие захватные устройст ва для захватывания предмета за наружную или внутреннюю поверхность.
Рис. 3.21. Захватное устройство с эластичными камерами
Точность фиксации в таких захватах невелика, к тому же камеры быстро изнашиваются.
Разновидность пневматических захватных устройств с эластичными ка мерами представлена на рис. 3.21. При подаче сжатого воздуха в полость камеры происходит ее деформирование в направлении меньшей жесткости. Аналогичен принцип действия гидравлического схвата, показанного на рис. 3.22. Он выполнен на основе деформируемых металлических трубок, в которые под давлением подается жидкость. Такой схват более долговечен, чем пневматический, и обладает большей жесткостью.
Вакуумные захваты работают по принципу вакуумной присоски, кото рая используется для захвата плоских предметов или предметов с гладкой поверхностью из любого материала. Обычно они применяются для переноса хрупких стеклянных предметов, например кинескопов. Для захватывания
объектов сложной формы или с большими габаритами используются захваты с не сколькими присосками.
Разрежение в присоске может создавать ся вакуум-насосом, эжектором, а также за счет деформации ее упругой части. Наи большее распространение в роботах нашли эжекторные присоски благодаря простоте конструкции и удобству эксплуатации. Они работают от сети сжатого воздуха с давлени ем 0,5—0,6 МПа.
В магнитных захватных устройствах за хватывание и удержание объектов обеспе чивается электромагнитной сцлой. Эти устройства могут работать только с деталя ми из ферромагнитных материалов. Они об ладаю т большой точностью , высоким быстродействием, просты по конструкции. Постоянные магниты надежны, не расходу ют электроэнергию, но требуют специаль ного устройства для высвобождения детали. Электромагнитный схват представляет шайбу из магнитного железа, снабженную обмоткой, питаемой постоянным током. Он может работать с деталями любой'формы и массы, однако оставляет на них остаточный магнетизм.
Контрольные вопросы
1.Укажите основные способы построения манипуляционных систем роботов. Каковы их достоинства и недостатки?
2.В каких случаях возникает взаимосвязь движения звеньев?
3.Какие требования предъявляются к приводам звеньев манипулятора?
4.Что такое рабочий орган манипулятора? Приведите примеры рабочих органов.
5.Какие требования предъявляются к рабочим органам сборочных роботов?
6.Как достигается очувствление рабочих органов адаптивных манипуляторов?
7.Какиехарактеристики объекта манипулирования должны приниматься во вниьдение при выборе захватного устройства?
8.Перечислите основные виды захватных устройств. Дайте их сравнительную оценку.
4.КИНЕМАТИКА МАНИПУЛЯТОРОВ
4.1.Элементы матричного исчисления и линейной алгебры
Приведем необходимые сведения из теории матриц и линейной алгебры, составляющие математическую основу для описания механики манипуля торов.
Матрицей называется прямоугольная таблица, элементами которой мо гут быть числа, функции, другие матрицы и т.п. Для определенности оста новимся на числовых матрицах. Элементы матрицы образуют ее строки и столбцы. Число строк т и число столбцов п определяют размерность мат рицы. Если число строк равно числу столбцов, матрица называется квад ратной, в противоположном случае — прямоугольной размерностьют х п . Матрица, содержащая только один столбец (размерностью т х 1), называ ется вектором.
К понятию матрицы можно прийти, рассматривая, например, две декар товы прямоугольные системы координат, имеющие общее начало и повер нутые друг относительно друга произвольным образом (рис. 4.1). Положение системы ÇTÎÇ относительно системы xyz будет определено, если известно направление трех ее осей. Положение каждой оси Ç , т? или Ç
. задается значениями трех углов относительно осей JC, у, гили, что удобнее, значениями косинусов этих углов (направляющих косинусов). Целесооб разно записать их в виде таблицы:
X |
? |
|
С |
|
* и |
* 1 2 |
* 1 3 |
||
У |
||||
* 2 1 |
* 2 2 |
* 2 3 |
||
Z |
* 3 1 |
* 3 2 |
* 3 3 |
|
|
В ней первый, второй и третий столб цы составлены соответственно из на правляющих косинусов осей Ç, т), Ç относительно осей х, у, z. Такая таблица и есть матрица. Ее можно записывать в развернутом виде или обозначать сим волически с помощью полужирной буквы:
Рис. 4.1. Задание ориентации системы коорди нат с помощью направляющих косинусов
а 12 |
а I 3 |
|
(4.1) |
а 22 |
а 23 |
[ e mn] = Л- |
|
а Ъ2 |
а 33 |
|
|
Д о с то и н с тв о матриц состоит в том, что они позволяют формализовать и упростить запись громоздких многоразмерных систем и тем самым сосредо точить внимание на содержательной части задачи.
Познакомимся кратко с алгеброй матриц. Матрицы А и В одинаковых размеров складываются, образуя новую матрицу С, каждый элемент кото рой
Стп = (2пт + Ьпт
(при записи элементов первый индекс является номером строки, второй — номером столбца). Возможно также выполнение обратных операций—раз ложение матрицы на составляющие и вычитание матриц. Умножение двух матриц дает новую, каждый элемент которой cw*, стоящий в m-й строке и к-м столбце, вычисляется по правилу
п ) .
Умножаться могут только согласованные матрицы, у которых число столбцов А равно числу строк В , причем размерность полученной матри цы С определяется по правилу (тхп) (nxl)=mx I . Воспользовавшись этой схемой, легко установить, что результатом умножения матрицы на век тор является вектор, результатом умножения матрицы-строки на ма трицу-столбец — скаляр. Матричное произведение некоммутативно, т.е.
АВФВА.
Квадратная матрица называется симметрической, если элементы, рас положенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Матрица называется кососимметрической, если на главной диагона ли стоят нули, а элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по величине, но противоположны по знаку. Транспонированной называется матрица, полученная из исходной простой перестановкой местами строк и столбцов. Матрица, транспонированная по отношению к данной матрице А , обозначается А Т Тогда для симметриче ской матрицы А А Т =А, для.кососимметрической матрицы В Вт- -В.
Единичной называется матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Ее будем обозначать 1.
Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называет ся невырожденной. Для такой матрицы существует обратная матрица, т.е. такая, при умножении которой на исходную матрицу с любой стороны получается единичная матрица. Обратная матрица используется при реше-
нии систем линейных уравнений. |
|
Обычную |
систему линейных |
ура- |
||||
внений |
|
|
|
|
|
|
|
|
*i |
- |
|
+ |
“ 12*2 + |
+ а \пУп’ |
Ч |
|
|
Х2 |
" |
« 21*1 |
+ |
а 22У2 + |
+ |
агпУп' |
[ |
(4.2) |
х п |
= |
ап\У\ |
+ |
ап2У2 + |
+ |
аппУп> |
J |
|
где xit у/ — переменные;^ — коэффициенты (некоторые из них могут равняться нулю), можно представить в матричной форме
х \ |
— |
Г " и |
а хг |
х 2 |
|
“ 2 1 |
“ 2 2 |
х п . |
|
-а п\ |
а п2 |
а \ п 1
2 /1
1 |
1 |
ч г ч - KJ ^ |
_______ |
■ |
|
с >> |
|
или в краткой символической операторно-матричнои записи
х = Ау. |
(4.3) |
Запись (4.3) означает, что вектор у оператором А преобразуется в другой вектор х. Умножим обе части матричного равенства (4.3) на обрат ную матрицу, которую будем обозначать А~1, тогда
А‘ 1х = А~1Ау.
Всилу того, что по* определению А~{А = 1 и 1у = у, получаем решение системы (4.2), записанное в матричном виде
У= А~1х .
Произведение матриц имеет следующие свойства:
(АВ)1 |
ВТАТ , {кА)В = А(кВ) |
= |
к (А В ), |
(А + В)С |
= АС + ВС,С(А + В) |
= |
СА + СВ, |
А(ВС) = |
(АВ)Су |
|
|
где к — скалярный множитель.
На рис. 4.2 дано геометрическое пред ставление вектора в трехмерном евкли довом пространстве. Компонентами век тора аслужат его проекции на оси ах, ау,
’ |
“ * |
' |
| а*| co sa |
а = |
а у |
|
|5 | cos/3 |
|
“ г |
J |
\ а \ cosy |
|
|
Компонентами орта е служат направля ющие косинусы: cosa, cos/3, cosy. В курсе теоретической механики используется представление вектора через орты T, J, "к осей базиса xyz:
Рис 4.2.Вектор в трехмерном простран стве
а = |
а х 1 |
+ |
a y j |
+ |
a zk ' |
(4.4) |
аналогично |
|
|
|
|
|
|
е = |
е х 1 |
+ |
е у Т |
+ |
e zk, |
(4.5) |
где ех = cosa, еу = cos/3, еъ= cosy. |
|
|||||
Формулы |
(4.4) и (4.5) дают представление о разложении векторов по |
|||||
тройке других векторов, образующих базис, причем базисные векторы Г, I |
||||||
к представляются следующим образом: |
|
|||||
Т - |
[1 . |
о , |
0 ) т |
|
J = [0 , 1, 0 ) т, к = [О, О, |
I ] 7" |
Здесь для удобства вектор-столбец с помощью символа транспонирова ния записан в виде вектор-строки.
С помощью матриц можно представить операции векторной алгебры — скалярное и векторное умножение векторов. Под скалярным произведе нием двух векторов а иъ понимается скалярная величина, равная произве
дению модулей |
\а\ и \b\ этих векторов, умноженному на косинус угла |
|
между ними: |
|
|
â |
b = | a | |
I 5 I cos (5 \ b) = a x b x + a yby + a zb z . |
Тот же результат получится, если рассматривать матричное произведе
ние вектор-строки cF на вектор столбец b: |
|
|
â |
b = а тЪ = £ a f b i t i = 1, 2, 3. |
(4.6) |
|
L |
|
Два вектора, скалярное произведение которых равно нулю, являются ортогональными. Это очевидно, так как их скалярное произведение опре деляет проекцию одного вектора на направление другого. Скалярное произ ведение находит приложение в рассматриваемыхдалее задачах, коща возни кает необходимость проецирования одного вектора на направление другого.
Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
аТЬ = ЪТ(2, (я + Ъ)тс = атс + Ътс , ата = |я | 2 .
Под векторным произведением двух векторов я и Ь> определенных в трехмерном евклидовом векторном пространстве, понимается вектор "с , выражающийся через компоненты векторов я и b по правилу
с |
= |
я х Ъ = [я„й_ |
a |
z |
b |
. a b |
а х ^ z i |
а х Ъу |
Üybx V |
|
|
у *• |
|
|
у* Z х |
|
|||
Тот же результат можно представить в операторной форме: |
|
||||||||
с |
= |
Л (5 )Ъ, |
|
|
|
|
|
|
|
где оператором X (а) является матрица
О
(4.7)
a r L‘ û y
Элементами матрицы Л (5) служат элементы вектора а = [ах, Ду, а7]т . Такой вектор называется сопутствующим. Матрица Л (5) является кососимметрической. Результат векторного умножения двух векторов-третий вектор, ортогональный к ним и численно равный площади параллелограм ма, построенного на этих векторах. Векторное произведение находит ши рокое применение в механике. В частности, момент силы относительно некоторой точки представляет векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы, линейная скорость — векторное произведение вектора угловой скорости на радиус-вектор точки и т.д. Мож но отметить следующие свойства векторного произведения:
A (â ) b =_-А (5 )д , А(д + Ъ)с |
= А {Юс + А (Ь)су |
ХС5)[Х(Ь)с] « A(c)[A(ï)ff] |
A(S)[A(c)e]. |
Произведение трех векторов à • (Ъхс) называется смешанным произве дением и является скаляром. Его можно представить в виде атХ(Ь)с. Для смешанного произведения возможны перестановки векторов по правилам:
âTX Cb)c = bTX (с) а = сХ{а)Ъ, атХ(Ъ)с = -атХ( с ) Ь .
Особое значение для приложений имеет матрица направляющих коси нусов (4.1), которую в дальнейшем будем обозначать т. Направляющие косинусы Tÿ(i, / = 1, 2, 3) связаны известными соотношениями
T? t т 221+ тз21= 1 -т122 + т74 27 + тЛ42 = 1 .тЛ + тЛ43 + тя432я = 1 (4.8)
и представляют проекции ортов осей Ç, т), Ç на базис хyz. Из ортогонально сти ортов следуют уравнения:
Т 1 1 Т 1 2 |
+ |
+ |
|
т 2 1 Т 2 2 |
Т 3 1 Т 3 2 |
(4.9) |
|
Т 1 2 Т 1 3 |
Т 2 2 Т 2 3 |
Т 3 2 Т 3 3 - О, |
|
|
+ |
+ |
|
Т 1 1 Т 1 3 |
+ |
+ |
|
Т 2 1 Т 2 3 |
Т 3 1 Т 3 3 |
|
Соотношения (4.8) и (4.9) называются условиями ортогональности. Из девяти значений т,у, входящих в матрицу т, только три независимые, так как между ними существуют шесть уравнений связей (4.8), (4.9).
Рассмотрим транспонированную матрицу
т '
II=
" и |
|
Т |
1 2 |
. Т |
1 3 |
Т 2 1 |
Т |
3 1 |
|
т |
2 2 |
т |
3 2 |
т |
2 3 |
т |
3 3 . |
Произведение матрицы х ти матрицы т дает единичную матрицу 1 (для этого следует учесть приведенные выше условия ортогональности). Следо вательно, тт= т"1, где т " 1 — обратная матрица. Матрицы, обладающие таким свойством, называются ортогональными.
Преобразование переменных, описываемое системой линейных уравне ний, называется линейным преобразованием. Ему соответствует опреде ленная матрица. Декартова система координат представляет ортонор
мированный базис, так как се орты (единичные векторы) ортогональны между собой. Линейное преобразование, переводящее вектор из одного ортонормированного базиса в другой, называется ортогональным преобра зованием. Оператором преобразования служит ортогональная матрица. Приведем некоторые свойства ортогонального преобразования. Всякое ор тогональное преобразование является невырожденным и для него сущест вует обратная матрица, причем т -1 = тт, а определитель матрицы равен единице. Ортогональное преобразование не изменяет скалярного произве дения двух векторов:
(т а)ттb = атЪ .
Для векторного произведения справедливо следующее правило:
тА(д )/> = Х(та)тЬ.
Матрицу можно рассматривать либо как оператор, действующий на систему координат, либо как оператор, действующий на вектор и преобра зующий его в другой вектор. Рассмотрим случай, когда имеют место обе интерпретации. Это задача о преобразовании оператора при изменении системы координат. Пусть А означает оператор, действующий на вектор je и преобразующий его в вектор у:
у = Ах.
Пусть теперь рассматриваемая координатная система преобразуется матрицей В. Тогда в новой координатной системе компоненты вектора У будут определяться равенством
By = ВАх,
что можно также представить в виде
By = BAB' 1В х .
Здесь Вх — вектор х , выраженный в новой системе координат. Полученное уравнение показывает, что если на вектор Je, выраженный
в новой системе координат, воздействовать оператором ВАВ~1 , получается вектору, также выраженный в новой системе. Поэтому произведение ВАВ~Х можно рассматривать как оператор А , преобразованный к новым осям. Такое преобразование оператора называется подобным. Всякий раз, когда будет встречаться выражение вида ВАВ' *, это означает,что имеет место преобразование оператора к новым осям.
При изучении линейных преобразований также часто рассматривается
векторное уравнение вида |
|
Ах = Ах, |
(4.10) |
в котором А — некоторая постоянная, возможно комплексная. Значения А, при которых уравнение имеет отличные от нуля решения, называются характеристическими или собственными значениями матрицы А. Поэтому задачу об отыскании векторов х, удовлетворяющих этому уравнению, на зывают задачей о собственных значениях данной матрицы. Векторы, удов-