книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Sp, поэтому из уравнения виртуальных работ

Для жестко-пластического тела имеет место цепочка неравенств (3.36). Доказательство следует из результатов § 4 этой главы, если положить компоненты упругой де­ формации равными нулю (Cijhh = 0). Отметим, что для кусочно гладких поверхностей из (3.34), (3.35), (1.55) следует

Для жестко-пластических тел можно установить также принцип максимальной пластической работы. Согласно принципу максимума Мизеса при фиксированных etj,

Напряжения в упрочняющемся упруго-пластическом теле могут быть представлены в виде:

где рij — так называемые остаточные напряжения, ос­ тающиеся в теле после снятия всех нагрузок.

Деформации в упрочняющемся упруго-пластическом теле могут быть представлены в виде:

ствуют остаточные перемещения т]г-, связанные с компо­ нентами формулами Коши

= ~2~('Hi* J“b i)'

Остаточные напряжения pi7самоуравновешены и удов­ летворяют нулевым граничным условиям на Sp. Ос­ таточные деформации таковы, что остаточные переме­ щения т]г- удовлетворяют нулевым условиям на Su•

Отметим разницу между упругими деформациями упру­

Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и у т в е р ж д а - е т, что при данном распределении пластических деформа­

ций е%, нулевых нагрузках и перемещениях на S рас­ пределение остаточных напряжений единственно. В соот­ ветствии с теоремой виртуальных работ, имеем

|(р8>- р« И 6 « - $ ))Л' =

местности и соответствует нулевым перемещениям на Su. Кинематически возможные остаточные перемещения

обозначим через ц?, тогда

чУ.*)-

Максимальный принцип для остаточных деформаций формулируется следующим образом: абсолютный макси­ мум выражения

определенного для заданных пластических деформаций

^Р. и для всех распределений кинематически возможных даточны х деформаций, отвечает действительному распре­ делению остаточных деформаций. Доказательство впол­ не аналогично доказательству второго неравенства (3.52).

НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКИХ

ИСЛОЖНЫХ СРЕД

А.Т Е О Р И И Т Е Ч Е Н И Я

§1. Теории изотропного и анизотропного упрочнения

Предположим, что функции нагружения упрочняю­ щегося пластического материала полностью определяют­ ся компонентами тензоров напряжений и пластических деформаций

Пусть данный путь нагружения приводит ко вполне определенному деформированному состоянию независимо от ориентации тела относительно некоторой декартовой системы координат xt. Тогда функции нагружения могут зависеть лишь от инвариантов напряженного и деформи­ рованного состояния. Инвариантами напряженного и деформированного состояния будут инварианты тензоров

Oij, efj, а также совместные инварианты этих тензоров. Число основных, базисных инвариантов, через которое

могут быть выражены все инварианты тензоров cri7, efj (в том числе и совместные), равно девяти. Это обстоятель­ ство соответствует тому факту, что данное напряженное и деформированное состояние полностью определяется шестью величинами главных компонент напряженного и деформированного состояния, а также тремя независимы­ ми величинами, характеризующими взаимную ориента­

цию главных направлений тензоров оц и е%.

Таким образом, можно записать

где Oi, ef\ — главные компоненты тензоров напряжений и пластических деформаций; а, |3, у — три величины, на­ пример эйлеровы углы, характеризующие взаимную ориен­

Очевидно, что если функции нагружения (4.1) зависят только от инвариантов (4.3), то материал является пер­ воначально изотропным.

Если материал является первоначально анизотропным или становится анизотропным в процессе пластического деформирования таким образом, что данный путь нагру­ жения приводит к различным деформированным состояни­ ям в зависимости от ориентации тела в системе координат Xi, то подобная анизотропия материала характеризуется некоторым вполне определенным тензором или тензорами анизотропии (которые могут быть различных порядков), и функции нагружения в этом случае зависят от различ­

ных инвариантов тензоров а*;, efj и анизотропии.

а. Изотропное упрочнение. В теории изотропного уп­ рочнения предполагается, что функции нагружения за­ висят только от инвариантов тензоров напряжений и тен­

В этом случае функции нагружения всегда инвариантны относительно преобразования системы координат и тело сохраняет свойства изотродии во дремя процесса пласти­ ческого деформирования.

В случае, когда пластические свойства материала не зависят от действия гидростатического давления, функ­ ции нагружения имеют вид:

где Si, 2з, Е'ъ, Е'р — соответственно второй и третей инварианты девиаторов напряжений и пластических де­ формаций.

Простейшие варианты теории изотропного упрочнения определяются следующими видами функций нагружения:

е% — аи для других функций нагружения.

б. Анизотропное упрочнение. В теории анизотропного упрочнения ограничимся рассмотрением следующей функ­ ции нагружения:

f q) (а, 2 „ 2 „ Л E l Е 1 П21 П12) П21, А») = 0. (4.10)

Как уже было сказано, в этом случае данный путь нагру­ жения приводит к определенному деформированному состоянию независимо от ориентации тела в системе ко­ ординат Xi.

В случае, когда пластические свойства материалов не зависят от действия гидростатического давления, функ­

Рассмотрим один из вариантов теории анизотропного упрочнения. Введем тензор активных напряжений

о?у =*= dij — stj, где stj = aefj. Величина а может зависеть

от инвариантов тензоров ai;-, efy, в простейшем случае она постоянная. Очевидно, что совокупность независимых

вительного тензора напряжений аи они испытывают пере­ нос как жесткого целого на величину компонент . По­ добные теории носят название трансляционных теорий анизотропного упрочнения.

Рассмотрим частный вид зависимости (4.12), а именно:

Очевидно, что в данном случае имеет место линейное уп­ рочнение т = А + ау. Ассоциированный закон течения имеет вид:

Отметим, что соотношения теории анизотропного уп­ рочнения, использующие функции нагружения в виде:

кон упрочнения, вообще говоря, меняется с переходом от первоначального пространства напряжений к простран­ ству меньшего числа измерений (переход от общего про­ странственного случая к частным случаям плоской задачи, чистого сдвига и т. п.). В частных случаях поверхность нагружения не перемещается по направлению ассоцииро­ ванного вектора скорости.

В работе [21] предложена модификация закона уп­ рочнения; для устранения отмеченных особенностей

предлагается принять

В этом случае закон упрочнения (4.15) не меняется для любого подпространства.

§ 2. Об ограничениях, налагаемых постулатом Драккера на функции нагружения

Условие устойчивости, следующее из постулата Драк­

кера, предполагает выполнение неравенства a^efy > 0 для всех путей нагружения. Это условие накладывает ограничение на виды законов упрочнения или, другими словами, на характер изменения функций нагружения при пластическом деформировании.

Для простоты предположим, что функция нагружения

Соотношение (4.17) является условием устойчивости для рассматриваемого вида функций нагружения. Рассмот­ рим выполнение неравенства (4.17) для некоторых моде­ лей упрочняющегося пластического тела. В случае ва­ рианта теории изотропного упрочнения, определяемого