книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования

Коэффициентырегрессивноймоделипо(3.7)рассчитаныкак

a0 2.060

Aa1 1.1379 .a2 0.1695

Результаты моделирования регрессионных моделей представлены на рис. 3.1.

31

где р – степень погружения.

Задача в такой постановке определяется как авторегрессионная модель. Для расчета и исследования авторегрессионных моделей существуют собственные методы, которые будут рассмотрены ниже.

С точки зрения целесообразности и эффективности моделей прогнозирования есть смысл рассчитывать оба вида моделей и использовать их для прогнозирования.

3.3.НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ

Нелинейные регрессии делятся на два класса:

1) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ переменных. Например:

y a b1x b2x2 b3x3 ; y a bx ;

ya b1ex b2 2x ;

2)регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Например:

33

y axb ; y abx .

Очевидно, что нелинейные зависимости первого рода легко сводятся к линейному виду путем банальных замен переменных.

Для нелинейностей второго рода можно предложить процедуру линеаризации в узловых точках.

После соответствующих преобразований зависимости, приведенные к линейному виду, легко прогнозируются с помощью линейного регрессионного анализа.

ПРИМЕР 3.2. По данным примера 3.1 построить нелинейную регрессионную модель.

Анализируя исходные данные, можно предложить в качестве нелинейной регрессионной модели гиперболическую

зависимость типа y a bx , которая легко преобразуется к ви-

Расчет коэффициентов осуществляется аналогично примеру 3.1. Нелинейная регрессионная модель имеет вид

y 0.2775 0.4019x .

Результаты моделирования нелинейной регрессионной модели представлены на рис. 3.2.

Очевидно, что регрессионные модели имеют погрешность, поэтому необходимо оценить качество или адекватность моделей.

34

3.4.1. Основные понятия дисперсионного анализа

Проверка адекватности заключается в доказательстве факта, что точность результатов, полученных по модели, будет не хуже точности расчетов, произведенных на основании экспериментальных данных. Признание адекватности модели сводится к принятию нулевой статистической гипотезы [9, 10].

Нулевая гипотеза H0 – это основное проверяемое предпо-

ложение, которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений выборочных характеристик и т.п. Другое проверяемое предположение (не всегда строго противоположное или обратное первому) называется альтернативной гипотезой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку производят статистическими методами, то данная проверка называется статистической.

При проверке статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные суждения) двух видов [10, 11]:

1)можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка первого рода);

2)можно принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле не верна (так называемая ошибка второго рода).

Допустимая вероятность ошибки первого рода оценивается с помощью уровней значимости.

Уровень значимости – это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы). Альтернативные гипотезы принимаются, если опровергается нулевая гипотеза. Это бывает тогда, когда различия в статистических характеристиках экспериментальной и контрольной групп являются существенными.

1-й уровень – 5 % ( 0.05 ), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных та-

36

ких же экспериментов при строго случайном отборе для каждого эксперимента;

2-й уровень – 1 % ( 0.01), т.е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста;

3-й уровень – 0.1 % ( 0.001), т.е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи.

Статистика критерия – некоторая функция от исходных данных, по значению которой проверяется нулевая гипотеза.

Всякое правило, на основе которого отклоняется или принимается нулевая гипотеза, называется критерием проверки данной гипотезы.

Статистический критерий – это случайная величина, ко-

торая служит для проверки статистических гипотез. Критическая область – совокупность значений критерия,

при котором нулевую гипотезу отвергают.

Область принятия нулевой гипотезы (область допусти-

мых значений) – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу принимают. При справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что статистика критерия попадает в область принятия нулевой гипотезы, должна быть равна 1.

Процедура проверки нулевой гипотезы в общем случае включает следующие этапы:

задается допустимая вероятность ошибки первого рода

( 0.05 );

осуществляется выбор статистики критерия;

определяется область допустимых значений;

по исходным данным вычисляется значение статистики критерия;

если статистика критерия принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается (т.е. делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой гипотезе), в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

37

Основными составляющими дисперсионного анализа являются суммы квадратов, степени свободы и дисперсии различных источников происхождения (рассеяния) [10].

Сумма квадратов, обусловленная регрессией, определяет-

ся как

регрессии (3.3), здесь индекс m означает выход регрессионной модели.

Сумма квадратов, обусловленная регрессией QR , показы-

где n 1 – количество коэффициентов регрессии.

Остаточная сумма квадратов определяется как

где yi – значения выходной зависимого параметра

Остаточная сумма квадратов Qост отражает влияние всех

тех причин рассеивания результатов y, которые не может объяснить регрессия. По сути, остаточная сумма квадратов оценивает влияние неучтенных в уравнении регрессии параметров.

38

Число степеней свободы для Qост рассчитывается как

Общая (полная) сумма квадратов определяется по формуле

m

Q (yi yср)2 . (3.12)

i 1

Число степеней свободы для Q

Для вышеприведенных сумм квадратов справедливо следующее:

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений Q переменной y от среднего зна-

Для анализа адекватности используются оценки дисперсий:

дисперсия, обусловленная регрессией

39

Для оценки адекватности моделей используются статистические критерии Фишера и Стьюдента [10, 11]. Суть критериев заключается в расчете значения критерия и сопоставления его с табличным значением данного критерия.

При анализе адекватности уравнения регрессии (модели) исследуемому процессу возможны следующие варианты:

1.Регрессионная модель в целом адекватна и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для задач прогнозирования.

2.Регрессионная модель адекватна, но часть коэффициентов не значима. Модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозирования.

3.Модель адекватна, но все коэффициенты регрессии не значимы. Такая модель не может быть использована для задач прогнозирования.

40