книги / Сборник задач по аналитической геометрии

УДК 378 Б Б К 51 К 4 8

Клетеник Д. В.

К 48 Сборник задач по аналитической геометрии: Уч. пособие для вту­ зов. — 17-е изд. — СПб., Изд-во «Профессия», 2010 — 200 с., ил.

Содержит около 1300 задач по аналитической геометрии на пло­ скости и в пространстве. Настоящее (семнадцатое) издание практически не отличается от предыдущего (1986 г.).

Для студентов высших технических учебных заведений.

ISBN 5-93913-037-2

Издательство «Профессия» Санкт-Петербург, 191002, а/я 600

Факс: (812) 740-12-60, e-mail: bookpost@profcssija.ru

Подписано в печать 15.11.2010. Формат 60x88'/,,.. Объем 12,5 п.л.

Печать офсетная. Бумага офсетная. Тираж 2000 экз. Заказ № 169.

Отпечатано в типографии ООО «ИПК “Бионт”» 199026, Санкт-Петербург, Средний нр. ВО., д. 86,

тел. (812) 322-68-43

УДК 378 Б Б К 5 1

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ч а с т ь п е р в а я

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Н А П Л О С К О С Т И

Г л а в а 1. П ростейш ие задачи аналитической геометрии на

п лоскости ..................................................................................................

§1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямо» (5). §2. Декартовы прямо­ угольные координаты на плоскости (7). §3. Полярные координаты (8). §4. На­ правленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции от­ резка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками (11). §5. Деление отрезка в данном отношении (14). §6. Площадь треугольника (17). §7. Преобразование координат (18).

Г л а в а 2. Уравнение линии.................................................................................

§8. Функция двух переменных (21). §9. Понятие уравнения линии. Зада­ ние линии при помощи уравнения (22). § 10. Вывод уравнений заранее данных линий (24). § 11. Параметрические уравнения линии (27).

Г л а в а 3. Л инии первого п ор я д к а.................................................................

§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффици­ ентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпенди­ кулярности двух прямых (29). § 13. Неполные уравнения прямой. Совмест­ ное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «о от­ резках» (36). § 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (39). §15. Уравнение пучка прямых (43). §16. Полярное уравнение прямой (46).

Г л а в а 4. Геом етрические свой ства линий второго п оряд ка...

§17. Окружность (48). §18. Эллипс (53). §19. Гипербола (62). §20. Па­ рабола (70). §21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы (74). §22. Диаметры линий второго порядка (76).

Г л а в а 5. Упрощ ение общ его уравнения линии второго поряд­ к а. Уравнения некоторы х кривых, встречаю щ ихся в м атематике и ее п рилож ениях.............................................

§23. Центр линии второго порядка (79). §24. Приведение уравнения цен­ тральной линии второго порядка к простейшему виду (81). §25. Приведение параболического уравнения к простейшему виду (85). §26. Уравнения некото­ рых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях (87).

4

Ч а с т ь в т о р а я

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я В П Р О С Т Р А Н С Т В Е

§27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве (93). §28. Рас­ стояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении (94).

§35. Уравнение поверхности (113). §36. Уравнения линии. Задача о пере­ сечении трех поверхностей (115). § 37. Уравнение цилиндрической поверхности

§38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор (118). § 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках» (121). § 40. Нормаль­ ное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости (122). § 41. Уравне­ ния прямой (126). §42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравне­ ния прямой. Параметрические уравнения прямой (128). §43. Смешанные зада­ чи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой (132). §44. Сфе­ ра (137). §45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символи­ ке (140). §46. Поверхности второго порядка (143).

§ 1. Определители второго порядка и система двух уравнений первой сте­ пени с двумя неизвестными (153). §2. Однородная система двух уравнений

Ча с т ь первая

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Г л а в а п ер вая

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

§ 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А к В, называется направ­ ленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается симво­ лом АВ. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к кон­ цу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина от­ резка АВ обозначается символом А В , его длина— символом |АВ |. Если точки Л и В совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = В А = 0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределенным).

Пусть дана произвольная прямая о. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какуюнибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:

х = ОМ.

Точка О называется началом координат, ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М (х) означает, что точка М имеет координату х.

Если Mi (x i) и Мг (х г )— две произвольные точки прямой а, то формула

Ml М2 = Х2 —Х\

выражает величину отрезка Mi М2, формула

IM1M2 |= |Х2 — xi |

выражает его длину.)*

*) Обычно на чертежах у горизонтальных осей положительным назначается направление слева направо.

F { / 2 ) , Я (-ч/ б).

2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют урав­

6) | * - 5 | £ 1; 7) |® — 1 1 ^ 2; 8) | s - 3 | £ 1; 9) |® + 1| < 3;

10) |®+ 2|> 1; 11) |® + 5 1^ 1; 12) |® + 11^ 2.

шение Л, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

9. Определить отношение Л = М\М/ММ2 , в котором данная точка М (х) делит отрезок Mi М2 , ограниченный данными точка­

1)координату точки М , симметричной точке Л относительно точки В ;

2)координату точки iV, симметричной точке В относительно точки Л.

15. Отрезок, ограниченный точками Л ( - 2) и В (19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

16. Определить координаты концов Л и В отрезка, который точками Р (—25) и Q (—9) разделен на три равные части.

§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линей­ ной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, за­ нумерованных в каком-нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси— коор­ динатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая— осью ординат.

Начало координат обозначается буквой О, ось аб­ сцисс— символом Ох, ось ординат — символом Оу.

Координатами произвольной точки М в заданной системе указывают числа

х = ОМх , у = ОМу

(рис. 1), где Мх и Mv суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМх обозначает величину отрезка ОМх оси абсцисс, ОМу— величину отрезка ОМу оси ординат. Число х называется абсциссой точ­

Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, называется правой, дру­ гая— левой. Точно так же ось Ох разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу, назы­ вается верхней, другая нижней.

Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, ко­ торые нумеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью на­ зывается та, которая лежит одновременно в правой и верхней полуплоскости, второй— лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей— лежащая в левой и в нижней полуплоскости, четвертой— лежащая в правой и в нижней

полуплоскости.

17. Построить точки Л (2 ;3 ), £ ( - 5 ; 1 ) , С ( - 2 ; - 3 ) , D (0; 3), Е ( - 5; 0), F { - 1/3; 2/3).

18. Найти координаты проекций на ось абсцисс точек А (2; - 3 ), В (3 ; - 1 ) , С ( - 5 ; 1), D { - 3; - 2 ) , Я ( - 5 ; - 1 ) .

. 25. Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М {х\ у), если: 1) ху > 0; 2) ху < 0; 3) х - у = 0; 4) х + у = 0; 5) х + у > 0; б) х + у < 0; 7) х - у > 0; 8) х - у < 0.

§ 3. Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, на­ зываемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказа­ но, какие повороты вокруг точки О считаются по­ ложительными (на чертежах обычно положитель­ ными считаются повороты против часовой стрел­

ки).

ОА Полярными координатами произвольной точки

числа р — ОМ и в — ZAOM (рис. 2). Угол в при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или полярным радиусом, число в — второй координатой, или полярным углом точки М (0 называют также амплитудой) *).

Символ М (р; в) обозначает, что точка М имеет полярные координаты р ив . Полярный угол в имеет бесконечно много возможных значений (отличаю­ щихся друг от друга на величину вида ± 2п7г, где п— целое положительное чис­ ло). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам —7г < 0 ^ +7Г,

называется главным.*

Здесь ОМ обозначает д л и н у отрезка, понимаемую, как в элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учета знака). Употреблять более громоздкий символ \ОМ\ в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рас­ сматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных случаях часто делается и дальше.

§3] ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 9

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем ко­ ординат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при опреде­

лении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т.е. ось Ох на­ правлена вправо, а ось Оу— вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, т.е. положительными следует считать те углы, которые отсчитыва­ ются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с на­ чалом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с поло­ жительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

x = pcosO, y = ps\nO.

В этом же случае формулы

р = у/ х2 + у2 , tg 0 = |

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременном рассмотрении о дальнейшем двух полярных систем ко­ ординат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб

зуясь транспортиром).

27. Определить полярные координаты точек, симметричных

стеме координат.

28 . Определить полярные координаты точек, симметричных от­

ресечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить

жительное направление полярной оси изменено на противополож­ ное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе.

М 2 (1; 2тг/3), М3 (2; 0), М 4 (5; тг/4), М 5 (3; -2тг/3) и М 6 (1; Птг/12). Полярная ось повернута так, что в новом положении она прохо­

36. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата Mi (12; -я/Ю ) и М2 (3; 7г/15). Определить его площадь.

37. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата Р ( 6; —7я-/12) и Q (4; 7г/6). Определить его площадь.

38 . В полярной системе координат даны две вершины пра­ вильного треугольника А (4; -тг/12) и В (8; 77г/12). Определить его площадь.

39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (рх; 01) и В (р 2; 02). Вычислить площадь этого треугольника.

40 . Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (5; 7г/4) и В (4; тг/12). Вычислить площадь этого •треугольника.

41 . Вычислить площадь треугольника, вершины которого А (3; тг/8), В (8; 77г/24) и С (6; 5тг/8) заданы в полярных координатах.

42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе коорди­ нат даны точки M i (6; я/2), М 2 (5; 0), М 3 (2; 7г/4), М 4 (10; —7г/3), М5 (8; 27г/3), Мб (12; —тг/6). Определить декартовы координаты этих точек.

43 . Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной